Страница 97 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

405. Представьте выражение в виде арифметического квадратного корня или выражения, ему противоположного:

a) $3\sqrt{\frac{1}{3}}=\sqrt{9}·\sqrt{\frac{1}{3}}=\sqrt{9·\frac{1}{3}}=\sqrt{3}$

б) $2\sqrt{\frac{3}{4}}=\sqrt{4}·\sqrt{\frac{3}{4}}=\sqrt{4·\frac{3}{4}}=\sqrt{3}$

в) $\frac{1}{3}\sqrt{18}=\sqrt{\frac{1}{9}}·\sqrt{18}=\sqrt{\frac{1}{9}·18}=\sqrt{2}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}-10\sqrt{0,02}=-\sqrt{100}·\sqrt{0,02}= \\ =-\sqrt{100·0,02}=-\sqrt{2} \end{gathered}$$

д) $5\sqrt{\frac{a}{5}}=\sqrt{25}·\sqrt{\frac{a}{5}}=\sqrt{25·\frac{a}{5}}=\sqrt{5a}$

е) $-\frac{1}{2}\sqrt{12x}=-\sqrt{\frac{1}{4}}·\sqrt{12x}=-\sqrt{\frac{1}{4}·12x}=-\sqrt{3x}$

ж) $$\begin{gathered} 0,1\sqrt{1,2a}=-\sqrt{0,01}\sqrt{1,2a}=-\sqrt{0,01·1,2a}= \\ =-\sqrt{0,012a} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{з) }}-\frac{1}{3}\sqrt{0,9a}=-\sqrt{\frac{1}{9}}·\sqrt{0,9a}=-\sqrt{\frac{1}{9}·0,9a}= \\ =-\sqrt{\frac{1}{9}·\frac{9}{10}a}=-\sqrt{\frac{1}{10}a}=-\sqrt{0,1a} \end{gathered}$$

и) $-6\sqrt{6b}=-\sqrt{36}\sqrt{6b}=-\sqrt{36·6b}=-\sqrt{216b}$

а) Чтобы внести положительный множитель 3 под знак корня, нужно возвести его в квадрат и умножить на подкоренное выражение. Выполняем преобразование: $3\sqrt{\frac{1}{3}} = \sqrt{3^2 \cdot \frac{1}{3}} = \sqrt{9 \cdot \frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{9}{3}} = \sqrt{3}$. Ответ: $\sqrt{3}$

б) Вносим положительный множитель 2 под знак корня, возведя его в квадрат и умножив на подкоренное выражение: $2\sqrt{\frac{3}{4}} = \sqrt{2^2 \cdot \frac{3}{4}} = \sqrt{4 \cdot \frac{3}{4}} = \sqrt{3}$. Ответ: $\sqrt{3}$

в) Вносим положительный множитель $\frac{1}{3}$ под знак корня, возведя его в квадрат: $\frac{1}{3}\sqrt{18} = \sqrt{(\frac{1}{3})^2 \cdot 18} = \sqrt{\frac{1}{9} \cdot 18} = \sqrt{\frac{18}{9}} = \sqrt{2}$. Ответ: $\sqrt{2}$

г) В случае отрицательного множителя -10, знак минус остается перед корнем, а под корень вносится его модуль (положительное число 10), возведенный в квадрат: $-10\sqrt{0,02} = -\sqrt{10^2 \cdot 0,02} = -\sqrt{100 \cdot 0,02} = -\sqrt{2}$. Ответ: $-\sqrt{2}$

д) Вносим положительный множитель 5 под знак корня. Для того чтобы исходное выражение имело смысл, должно выполняться условие $a \ge 0$. $5\sqrt{\frac{a}{5}} = \sqrt{5^2 \cdot \frac{a}{5}} = \sqrt{25 \cdot \frac{a}{5}} = \sqrt{5a}$. Ответ: $\sqrt{5a}$

е) Знак минус остается перед корнем, а положительный множитель $\frac{1}{2}$ вносится под корень в квадрате. Подразумевается, что $x \ge 0$. $-\frac{1}{2}\sqrt{12x} = -\sqrt{(\frac{1}{2})^2 \cdot 12x} = -\sqrt{\frac{1}{4} \cdot 12x} = -\sqrt{\frac{12x}{4}} = -\sqrt{3x}$. Ответ: $-\sqrt{3x}$

ж) Знак минус остается перед корнем, а положительный множитель 0,1 вносится под корень в квадрате. Подразумевается, что $a \ge 0$. $-0,1\sqrt{1,2a} = -\sqrt{(0,1)^2 \cdot 1,2a} = -\sqrt{0,01 \cdot 1,2a} = -\sqrt{0,012a}$. Ответ: $-\sqrt{0,012a}$

з) Знак минус остается перед корнем, а положительный множитель $\frac{1}{3}$ вносится под корень в квадрате. Подразумевается, что $a \ge 0$. $-\frac{1}{3}\sqrt{0,9a} = -\sqrt{(\frac{1}{3})^2 \cdot 0,9a} = -\sqrt{\frac{1}{9} \cdot \frac{9}{10}a} = -\sqrt{\frac{1}{10}a} = -\sqrt{0,1a}$. Ответ: $-\sqrt{0,1a}$

и) Знак минус остается перед корнем, а положительный множитель 6 вносится под корень в квадрате. Подразумевается, что $b \ge 0$. $-6\sqrt{6b} = -\sqrt{6^2 \cdot 6b} = -\sqrt{36 \cdot 6b} = -\sqrt{216b}$. Ответ: $-\sqrt{216b}$

406. Замените выражение арифметическим квадратным корнем или выражением, ему противоположным:

a) $2\sqrt{2}=\sqrt{4}·\sqrt{2}=\sqrt{4·2}=\sqrt{8}$

б) $5\sqrt{y}=\sqrt{25}·\sqrt{y}=\sqrt{25y}$

в) $-7\sqrt{3}=-\sqrt{49}\sqrt{3}=-\sqrt{49·3}=-\sqrt{147}$

г) $-6\sqrt{2a}=-\sqrt{36}\sqrt{2a}=-\sqrt{36·2a}=-\sqrt{72a}$

д) $\frac{1}{3}\sqrt{18b}=\sqrt{\frac{1}{9}}·\sqrt{18b}=\sqrt{\frac{1}{9}·18b}=\sqrt{2b}$

е) $$\begin{gathered} -0,1\sqrt{200с}=-\sqrt{0,01}·\sqrt{200c}= \\ =-\sqrt{0,01·200c}=-\sqrt{2c} \end{gathered}$$

а) Чтобы внести положительный множитель под знак арифметического квадратного корня, необходимо возвести этот множитель в квадрат и записать его под знаком корня. Множитель 2 является положительным числом.
$2\sqrt{2} = \sqrt{2^2 \cdot 2} = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{8}$.
Ответ: $\sqrt{8}$.

б) Множитель 5 является положительным числом. По определению арифметического квадратного корня, подкоренное выражение $y$ должно быть неотрицательным ($y \ge 0$). Внесем множитель 5 под знак корня, возведя его в квадрат.
$5\sqrt{y} = \sqrt{5^2 \cdot y} = \sqrt{25y}$.
Ответ: $\sqrt{25y}$.

в) Чтобы внести отрицательный множитель под знак корня, знак "минус" оставляют перед корнем, а под корень вносят модуль этого множителя, возведенный в квадрат. Множитель -7 является отрицательным числом.
$-7\sqrt{3} = -\sqrt{7^2 \cdot 3} = -\sqrt{49 \cdot 3} = -\sqrt{147}$.
Ответ: $-\sqrt{147}$.

г) Множитель -6 является отрицательным числом. Подкоренное выражение $2a$ должно быть неотрицательным ($2a \ge 0$, следовательно $a \ge 0$). Оставляем знак "минус" перед корнем, а множитель 6 вносим под знак корня.
$-6\sqrt{2a} = -\sqrt{6^2 \cdot 2a} = -\sqrt{36 \cdot 2a} = -\sqrt{72a}$.
Ответ: $-\sqrt{72a}$.

д) Множитель $\frac{1}{3}$ является положительным числом. Подкоренное выражение $18b$ должно быть неотрицательным ($18b \ge 0$, следовательно $b \ge 0$). Вносим множитель под знак корня.
$\frac{1}{3}\sqrt{18b} = \sqrt{(\frac{1}{3})^2 \cdot 18b} = \sqrt{\frac{1}{9} \cdot 18b} = \sqrt{\frac{18b}{9}} = \sqrt{2b}$.
Ответ: $\sqrt{2b}$.

е) Множитель -0,1 является отрицательным числом. Подкоренное выражение $200c$ должно быть неотрицательным ($200c \ge 0$, следовательно $c \ge 0$). Знак "минус" оставляем перед корнем, а множитель 0,1 вносим под знак корня.
$-0,1\sqrt{200c} = -\sqrt{(0,1)^2 \cdot 200c} = -\sqrt{0,01 \cdot 200c} = -\sqrt{2c}$.
Ответ: $-\sqrt{2c}$.

407. Сравните значения выражений:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}}\mathbf{ }3\sqrt{3}>\sqrt{12} \\ \sqrt{9}\sqrt{3}>\sqrt{12} \\ \sqrt{9·3}>\sqrt{12} \\ \sqrt{27}>\sqrt{12} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}}\mathbf{ }\sqrt{20}<3\sqrt{5} \\ \sqrt{4·5}<3\sqrt{5} \\ \sqrt{4}·\sqrt{5}<3\sqrt{5} \\ 2\sqrt{5}<3\sqrt{5} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в)}}\mathbf{ }5\sqrt{4}>4\sqrt{5} \\ \sqrt{25}·\sqrt{4}>\sqrt{16}·\sqrt{5} \\ \sqrt{25·4}>\sqrt{16·5} \\ \sqrt{100}>\sqrt{80} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г)}}\mathbf{ }2\sqrt{5}>3\sqrt{2} \\ \sqrt{4}\sqrt{5}>\sqrt{9}·\sqrt{2} \\ \sqrt{4·5}>\sqrt{9·2} \\ \sqrt{20}>\sqrt{18} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д)}}\mathbf{ }-\sqrt{14}>-3\sqrt{2} \\ -\sqrt{14}>-\sqrt{9}·\sqrt{2} \\ -\sqrt{14}>-\sqrt{9·2} \\ -\sqrt{14}>-\sqrt{18} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{е)}}\mathbf{ }-7\sqrt{0,17}<-11\sqrt{0,05} \\ -\sqrt{49}·\sqrt{0,17}<-\sqrt{121}·\sqrt{0,05} \\ -\sqrt{49·0,17}<-\sqrt{121·0,05} \\ -\sqrt{8,33}<-\sqrt{6,05} \end{gathered}$$

Для сравнения значений выражений, содержащих квадратные корни, удобно привести их к одному виду. Чаще всего для этого вносят множитель под знак корня. Для любого неотрицательного числа $a$ верно равенство $a = \sqrt{a^2}$. Используя это, можно записать $a\sqrt{b} = \sqrt{a^2}\sqrt{b} = \sqrt{a^2b}$ для $a \ge 0$ и $b \ge 0$. После приведения обоих выражений к виду $\sqrt{c}$ их легко сравнить, сравнивая подкоренные выражения.

а) Сравним $3\sqrt{3}$ и $\sqrt{12}$.

Внесем множитель 3 под знак корня в первом выражении: $3\sqrt{3} = \sqrt{3^2 \cdot 3} = \sqrt{9 \cdot 3} = \sqrt{27}$.

Теперь сравним полученное выражение $\sqrt{27}$ с $\sqrt{12}$.

Так как $27 > 12$, то и $\sqrt{27} > \sqrt{12}$.

Следовательно, $3\sqrt{3} > \sqrt{12}$.

Ответ: $3\sqrt{3} > \sqrt{12}$.

б) Сравним $\sqrt{20}$ и $3\sqrt{5}$.

Внесем множитель 3 под знак корня во втором выражении: $3\sqrt{5} = \sqrt{3^2 \cdot 5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}$.

Теперь сравним $\sqrt{20}$ и $\sqrt{45}$.

Так как $20 < 45$, то $\sqrt{20} < \sqrt{45}$.

Следовательно, $\sqrt{20} < 3\sqrt{5}$.

Ответ: $\sqrt{20} < 3\sqrt{5}$.

в) Сравним $5\sqrt{4}$ и $4\sqrt{5}$.

Сначала упростим первое выражение: $5\sqrt{4} = 5 \cdot 2 = 10$.

Теперь сравним число $10$ и выражение $4\sqrt{5}$. Для этого представим оба числа в виде корней.

$10 = \sqrt{10^2} = \sqrt{100}$.

$4\sqrt{5} = \sqrt{4^2 \cdot 5} = \sqrt{16 \cdot 5} = \sqrt{80}$.

Сравним $\sqrt{100}$ и $\sqrt{80}$. Так как $100 > 80$, то $\sqrt{100} > \sqrt{80}$.

Следовательно, $5\sqrt{4} > 4\sqrt{5}$.

Ответ: $5\sqrt{4} > 4\sqrt{5}$.

г) Сравним $2\sqrt{5}$ и $3\sqrt{2}$.

Внесем множители под знаки корней в обоих выражениях.

$2\sqrt{5} = \sqrt{2^2 \cdot 5} = \sqrt{4 \cdot 5} = \sqrt{20}$.

$3\sqrt{2} = \sqrt{3^2 \cdot 2} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{18}$.

Сравним $\sqrt{20}$ и $\sqrt{18}$. Так как $20 > 18$, то $\sqrt{20} > \sqrt{18}$.

Следовательно, $2\sqrt{5} > 3\sqrt{2}$.

Ответ: $2\sqrt{5} > 3\sqrt{2}$.

д) Сравним $-\sqrt{14}$ и $-3\sqrt{2}$.

Так как оба числа отрицательные, сначала сравним их модули (положительные значения): $\sqrt{14}$ и $3\sqrt{2}$.

Внесем множитель 3 под знак корня: $3\sqrt{2} = \sqrt{3^2 \cdot 2} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{18}$.

Сравним $\sqrt{14}$ и $\sqrt{18}$. Так как $14 < 18$, то $\sqrt{14} < \sqrt{18}$.

При сравнении отрицательных чисел знак неравенства меняется на противоположный: из $\sqrt{14} < \sqrt{18}$ следует, что $-\sqrt{14} > -\sqrt{18}$.

Следовательно, $-\sqrt{14} > -3\sqrt{2}$.

Ответ: $-\sqrt{14} > -3\sqrt{2}$.

е) Сравним $-7\sqrt{0,17}$ и $-11\sqrt{0,05}$.

Сначала сравним модули этих чисел: $7\sqrt{0,17}$ и $11\sqrt{0,05}$.

Внесем множители под знаки корней.

$7\sqrt{0,17} = \sqrt{7^2 \cdot 0,17} = \sqrt{49 \cdot 0,17} = \sqrt{8,33}$.

$11\sqrt{0,05} = \sqrt{11^2 \cdot 0,05} = \sqrt{121 \cdot 0,05} = \sqrt{6,05}$.

Сравним $\sqrt{8,33}$ и $\sqrt{6,05}$. Так как $8,33 > 6,05$, то $\sqrt{8,33} > \sqrt{6,05}$.

Это означает, что $7\sqrt{0,17} > 11\sqrt{0,05}$.

При сравнении соответствующих отрицательных чисел знак неравенства меняется на противоположный.

Следовательно, $-7\sqrt{0,17} < -11\sqrt{0,05}$.

Ответ: $-7\sqrt{0,17} < -11\sqrt{0,05}$.

408. Сравните значения выражений:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}}\mathbf{ }\frac{1}{3}\sqrt{351}<\frac{1}{2}\sqrt{188} \\ \sqrt{\frac{1}{9}}·\sqrt{351}<\sqrt{\frac{1}{4}}·\sqrt{188} \\ \sqrt{\frac{1}{9}·351}<\sqrt{\frac{1}{4}·188} \\ \sqrt{39}<\sqrt{47} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}}\mathbf{ }\frac{1}{5}\sqrt{54}=\frac{1}{5}\sqrt{150} \\ \sqrt{\frac{1}{9}}·\sqrt{54}=\sqrt{\frac{1}{25}}·\sqrt{150} \\ \sqrt{\frac{1}{9}·54}=\sqrt{\frac{1}{25}·150} \\ \sqrt{6}=\sqrt{6} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в)}}\mathbf{ }\sqrt{24}=\frac{1}{3}\sqrt{216} \\ \sqrt{24}=\sqrt{\frac{1}{9}}·\sqrt{216} \\ \sqrt{24}=\sqrt{\frac{1}{9}·216} \\ \sqrt{24}=\sqrt{24} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г)}}\mathbf{ }\frac{2}{3}\sqrt{72}<7\sqrt{\frac{2}{3}} \\ \sqrt{\frac{4}{9}}·\sqrt{72}<\sqrt{49}·\sqrt{\frac{2}{3}} \\ \sqrt{\frac{4}{9}·72}<\sqrt{49·\frac{2}{3}} \\ \sqrt{32}<\sqrt{\frac{98}{3}} \\ \sqrt{32}<\sqrt{32\frac{2}{3}} \end{gathered}$$

а) Чтобы сравнить значения выражений $\frac{1}{3}\sqrt{351}$ и $\frac{1}{2}\sqrt{188}$, удобнее всего внести множители перед корнями под знак корня. Для этого нужно возвести множитель в квадрат и умножить на подкоренное выражение.

Преобразуем первое выражение:$ \frac{1}{3}\sqrt{351} = \sqrt{(\frac{1}{3})^2 \cdot 351} = \sqrt{\frac{1}{9} \cdot 351} = \sqrt{\frac{351}{9}} = \sqrt{39} $.

Преобразуем второе выражение:$ \frac{1}{2}\sqrt{188} = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 \cdot 188} = \sqrt{\frac{1}{4} \cdot 188} = \sqrt{\frac{188}{4}} = \sqrt{47} $.

Теперь сравним полученные выражения $\sqrt{39}$ и $\sqrt{47}$. Так как функция $y=\sqrt{x}$ является возрастающей на всей области определения, то большему значению аргумента соответствует большее значение функции.Сравниваем подкоренные выражения: $39 < 47$.Следовательно, $\sqrt{39} < \sqrt{47}$.Ответ: $\frac{1}{3}\sqrt{351} < \frac{1}{2}\sqrt{188}$.

б) Сравним значения выражений $\frac{1}{3}\sqrt{54}$ и $\frac{1}{5}\sqrt{150}$. Можно использовать тот же метод, что и в пункте а), или упростить выражения, вынеся множитель из-под знака корня.

Способ 1: Внесение множителя под корень.$ \frac{1}{3}\sqrt{54} = \sqrt{(\frac{1}{3})^2 \cdot 54} = \sqrt{\frac{54}{9}} = \sqrt{6} $.$ \frac{1}{5}\sqrt{150} = \sqrt{(\frac{1}{5})^2 \cdot 150} = \sqrt{\frac{150}{25}} = \sqrt{6} $.Поскольку $\sqrt{6} = \sqrt{6}$, то и исходные выражения равны.

Способ 2: Вынесение множителя из-под корня.$ \frac{1}{3}\sqrt{54} = \frac{1}{3}\sqrt{9 \cdot 6} = \frac{1}{3} \cdot 3\sqrt{6} = \sqrt{6} $.$ \frac{1}{5}\sqrt{150} = \frac{1}{5}\sqrt{25 \cdot 6} = \frac{1}{5} \cdot 5\sqrt{6} = \sqrt{6} $.Оба способа приводят к одному и тому же результату.Ответ: $\frac{1}{3}\sqrt{54} = \frac{1}{5}\sqrt{150}$.

в) Сравним $\sqrt{24}$ и $\frac{1}{3}\sqrt{216}$. Упростим оба выражения, вынеся множители из-под знака корня.

Первое выражение:$ \sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6} $.

Второе выражение:$ \frac{1}{3}\sqrt{216} = \frac{1}{3}\sqrt{36 \cdot 6} = \frac{1}{3} \cdot 6\sqrt{6} = 2\sqrt{6} $.

Оба выражения равны $2\sqrt{6}$, следовательно, исходные выражения равны.Ответ: $\sqrt{24} = \frac{1}{3}\sqrt{216}$.

г) Сравним $\frac{2}{3}\sqrt{72}$ и $7\sqrt{\frac{2}{3}}$. Внесем множители под знак корня.

Преобразуем первое выражение:$ \frac{2}{3}\sqrt{72} = \sqrt{(\frac{2}{3})^2 \cdot 72} = \sqrt{\frac{4}{9} \cdot 72} = \sqrt{4 \cdot \frac{72}{9}} = \sqrt{4 \cdot 8} = \sqrt{32} $.

Преобразуем второе выражение:$ 7\sqrt{\frac{2}{3}} = \sqrt{7^2 \cdot \frac{2}{3}} = \sqrt{49 \cdot \frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{98}{3}} $.

Теперь сравним подкоренные выражения: $32$ и $\frac{98}{3}$.$ \frac{98}{3} = 32\frac{2}{3} $.Очевидно, что $32 < 32\frac{2}{3}$.Значит, $32 < \frac{98}{3}$, и, следовательно, $\sqrt{32} < \sqrt{\frac{98}{3}}$.Ответ: $\frac{2}{3}\sqrt{72} < 7\sqrt{\frac{2}{3}}$.

409. Расположите в порядке возрастания числа:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}}\mathbf{ }3\sqrt{3}=\sqrt{9}·\sqrt{3}=\sqrt{9·3}=\sqrt{27} \\ 2\sqrt{6}=\sqrt{4}·\sqrt{6}=\sqrt{4·6}=\sqrt{24} \\ 4\sqrt{2}=\sqrt{16}·\sqrt{2}=\sqrt{16·2}=\sqrt{32} \\ 2\sqrt{11}=\sqrt{4}·\sqrt{11}=\sqrt{4·11}=\sqrt{44} \\ \sqrt{24}; \sqrt{27}; \sqrt{29}; \sqrt{32}; \sqrt{44} \\ 2\sqrt{6}; 3\sqrt{3}; \sqrt{29}; 4\sqrt{2}; 2\sqrt{11} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}}\mathbf{ }6\sqrt{2}=\sqrt{36}·\sqrt{2}=\sqrt{36·2}=\sqrt{72} \\ 3\sqrt{7}=\sqrt{9}·\sqrt{7}=\sqrt{63} \\ 2\sqrt{14}=\sqrt{4}·\sqrt{14}=\sqrt{4·14}=\sqrt{56} \\ 5\sqrt{3}=\sqrt{25}·\sqrt{3}=\sqrt{25·3}=\sqrt{75} \\ \sqrt{56}; \sqrt{58;} \sqrt{63}; \sqrt{72}; \sqrt{75} \\ 2\sqrt{14}; \sqrt{58}; 3\sqrt{7}; 6\sqrt{2}; 5\sqrt{3} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в)}}\mathbf{ }-2\sqrt{5}=-\sqrt{4}\sqrt{5}=-\sqrt{4·5}=-\sqrt{20} \\ -2\sqrt{6}=-\sqrt{4}·\sqrt{6}=-\sqrt{4·6}=-\sqrt{24} \\ -\sqrt{51}; -\sqrt{24}; -\sqrt{20}; -\sqrt{11}; \sqrt{2} \\ -\sqrt{51}; -2\sqrt{6}; -2\sqrt{5}; -\sqrt{11}; \sqrt{2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г)}}\mathbf{ }-9\sqrt{2}=-\sqrt{81}·\sqrt{2}=-\sqrt{81·2}=-\sqrt{162} \\ -5\sqrt{8}=-\sqrt{25}·\sqrt{8}=-\sqrt{25·8}=-\sqrt{200} \\ -\frac{1}{3}\sqrt{18}=-\sqrt{\frac{1}{9}}·\sqrt{18}=-\sqrt{\frac{1}{9}·18}=-\sqrt{2} \\ -\sqrt{200}; -\sqrt{162}; -\sqrt{83}; -\sqrt{17}; -\sqrt{2} \\ -5\sqrt{8}; -9\sqrt{2}; -\sqrt{83}; -\sqrt{17}; -\frac{1}{3}\sqrt{18} \end{gathered}$$

а) Чтобы сравнить данные положительные числа, необходимо привести их к одному виду, удобному для сравнения. Для этого внесем множители перед корнями под знак корня. Правило внесения множителя: $a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 \cdot b}$ для $a \ge 0$.

$3\sqrt{3} = \sqrt{3^2 \cdot 3} = \sqrt{9 \cdot 3} = \sqrt{27}$
$2\sqrt{6} = \sqrt{2^2 \cdot 6} = \sqrt{4 \cdot 6} = \sqrt{24}$
$\sqrt{29}$ (уже в нужном виде)
$4\sqrt{2} = \sqrt{4^2 \cdot 2} = \sqrt{16 \cdot 2} = \sqrt{32}$
$2\sqrt{11} = \sqrt{2^2 \cdot 11} = \sqrt{4 \cdot 11} = \sqrt{44}$

Теперь у нас есть числа: $\sqrt{27}, \sqrt{24}, \sqrt{29}, \sqrt{32}, \sqrt{44}$. Сравним подкоренные выражения: $24 < 27 < 29 < 32 < 44$.

Поскольку для положительных чисел большему подкоренному выражению соответствует большее значение корня, располагаем числа в порядке возрастания их подкоренных выражений:

$\sqrt{24} < \sqrt{27} < \sqrt{29} < \sqrt{32} < \sqrt{44}$

Возвращаясь к исходным числам, получаем:

$2\sqrt{6} < 3\sqrt{3} < \sqrt{29} < 4\sqrt{2} < 2\sqrt{11}$

Ответ: $2\sqrt{6}, 3\sqrt{3}, \sqrt{29}, 4\sqrt{2}, 2\sqrt{11}$.

б) Поступаем аналогично пункту а), внося множители под знак корня.

$6\sqrt{2} = \sqrt{6^2 \cdot 2} = \sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{72}$
$\sqrt{58}$
$3\sqrt{7} = \sqrt{3^2 \cdot 7} = \sqrt{9 \cdot 7} = \sqrt{63}$
$2\sqrt{14} = \sqrt{2^2 \cdot 14} = \sqrt{4 \cdot 14} = \sqrt{56}$
$5\sqrt{3} = \sqrt{5^2 \cdot 3} = \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{75}$

Сравниваем подкоренные выражения: $56 < 58 < 63 < 72 < 75$.

Следовательно, порядок для корней будет таким же:

$\sqrt{56} < \sqrt{58} < \sqrt{63} < \sqrt{72} < \sqrt{75}$

Заменяя на исходные числа, получаем итоговый ряд:

$2\sqrt{14} < \sqrt{58} < 3\sqrt{7} < 6\sqrt{2} < 5\sqrt{3}$

Ответ: $2\sqrt{14}, \sqrt{58}, 3\sqrt{7}, 6\sqrt{2}, 5\sqrt{3}$.

в) В данном наборе есть одно положительное число ($\sqrt{2}$) и четыре отрицательных. Любое положительное число больше любого отрицательного, поэтому $\sqrt{2}$ будет самым большим числом в ряду.

Теперь сравним отрицательные числа: $-\sqrt{11}, -2\sqrt{5}, -2\sqrt{6}, -\sqrt{51}$. Для этого сравним их модули (абсолютные значения), внеся множители под корень.

$|-\sqrt{11}| = \sqrt{11}$
$|-2\sqrt{5}| = 2\sqrt{5} = \sqrt{2^2 \cdot 5} = \sqrt{20}$
$|-2\sqrt{6}| = 2\sqrt{6} = \sqrt{2^2 \cdot 6} = \sqrt{24}$
$|-\sqrt{51}| = \sqrt{51}$

Сравним модули: $\sqrt{11} < \sqrt{20} < \sqrt{24} < \sqrt{51}$.

Для отрицательных чисел порядок сравнения обратный: чем больше модуль, тем меньше само число. Поэтому:

$-\sqrt{51} < -\sqrt{24} < -\sqrt{20} < -\sqrt{11}$

Подставляя исходные выражения, получаем: $-\sqrt{51} < -2\sqrt{6} < -2\sqrt{5} < -\sqrt{11}$.

Объединяя все числа в один ряд в порядке возрастания, получаем:

$-\sqrt{51} < -2\sqrt{6} < -2\sqrt{5} < -\sqrt{11} < \sqrt{2}$

Ответ: $-\sqrt{51}, -2\sqrt{6}, -2\sqrt{5}, -\sqrt{11}, \sqrt{2}$.

г) Все числа в этом наборе являются отрицательными. Чтобы их сравнить, нужно сравнить их модули. Чем больше модуль отрицательного числа, тем оно меньше.

Найдем и сравним модули данных чисел, представив их в виде $\sqrt{c}$.

$|-\sqrt{83}| = \sqrt{83}$
$|-9\sqrt{2}| = 9\sqrt{2} = \sqrt{9^2 \cdot 2} = \sqrt{81 \cdot 2} = \sqrt{162}$
$|-\sqrt{17}| = \sqrt{17}$
$|-5\sqrt{8}| = 5\sqrt{8} = \sqrt{5^2 \cdot 8} = \sqrt{25 \cdot 8} = \sqrt{200}$
$|-\frac{1}{3}\sqrt{18}| = \frac{1}{3}\sqrt{18} = \sqrt{(\frac{1}{3})^2 \cdot 18} = \sqrt{\frac{1}{9} \cdot 18} = \sqrt{2}$

Расположим модули в порядке возрастания, сравнивая подкоренные выражения $2, 17, 83, 162, 200$:

$\sqrt{2} < \sqrt{17} < \sqrt{83} < \sqrt{162} < \sqrt{200}$

Так как исходные числа отрицательные, их порядок будет обратным порядку их модулей:

$-\sqrt{200} < -\sqrt{162} < -\sqrt{83} < -\sqrt{17} < -\sqrt{2}$

Заменяя выражения на исходные числа, получаем:

$-5\sqrt{8} < -9\sqrt{2} < -\sqrt{83} < -\sqrt{17} < -\frac{1}{3}\sqrt{18}$

Ответ: $-5\sqrt{8}, -9\sqrt{2}, -\sqrt{83}, -\sqrt{17}, -\frac{1}{3}\sqrt{18}$.

410. (Задача-исследование.) Проверьте, верны ли равенства

Выясните, каким должно быть соотношение между числами a и b, чтобы было верно равенство $\sqrt{a+\frac{a}{b}}$ = a$\sqrt{\frac{a}{b}}$ где a ∈ N и b ∈ N.

1) Возведите в квадрат обе части равенства.

2) Установите, каким должно быть соотношение между числами a и b.

3) Проиллюстрируйте правильность вашего вывода на примерах.

$$\begin{gathered} \sqrt{2\frac{2}{3}}=2\sqrt{\frac{2}{3}} \\ \sqrt{\frac{8}{3}}=\sqrt{4}·\sqrt{\frac{2}{3}} \\ \sqrt{\frac{8}{3}}=\sqrt{4·\frac{2}{3}} \\ \sqrt{\frac{8}{3}}=\sqrt{\frac{8}{3}}- \text{верно} \\ \sqrt{3\frac{2}{3}}=3\sqrt{\frac{3}{8}} \\ \sqrt{\frac{11}{3}}=\sqrt{9}·\sqrt{\frac{3}{8}} \\ \sqrt{\frac{11}{3}}=\sqrt{9·\frac{3}{8}} \\ \sqrt{\frac{11}{3}}=\sqrt{\frac{27}{8}}- \text{неверно} \\ \sqrt{4\frac{4}{15}}=4\sqrt{\frac{4}{15}} \\ \sqrt{\frac{64}{15}}=\sqrt{16}·\sqrt{\frac{4}{15}} \\ \sqrt{\frac{64}{15}}=\sqrt{16·\frac{4}{15}} \\ \sqrt{\frac{64}{15}}=\sqrt{\frac{64}{15}}- \text{верно} \\ \sqrt{a+\frac{a}{b}}=a\sqrt{\frac{a}{b}}, \text{где }a\in N, b\in N \\ {\left(\sqrt{a+\frac{a}{b}}\right)}^2={\left(a\sqrt{\frac{a}{b}}\right)}^2 \\ a+\frac{a}{b}=a^2·\frac{a}{b} \\ \frac{ab+a}{b}=\frac{a^3}{b} \\ ab+a=a^3 \\ a(b+1)=a^3 \\ b+1=\frac{a^3}{a} \\ b+1=a^2 \\ b=a^2-1 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} a=3; b=3^2-1=8 \\ \sqrt{3\frac{3}{8}}=3\sqrt{\frac{3}{8}} \\ \sqrt{\frac{27}{8}}=\sqrt{9}\sqrt{\frac{3}{8}} \\ \sqrt{\frac{27}{8}}=\sqrt{9·\frac{3}{8}} \\ \sqrt{\frac{27}{8}}=\sqrt{\frac{27}{8}} \end{gathered}$$$$\begin{gathered} a=5; b=5^2-1=24 \\ \sqrt{5\frac{5}{24}}=5\sqrt{\frac{5}{24}} \\ \sqrt{\frac{125}{24}}=\sqrt{25}·\sqrt{\frac{5}{24}} \\ \sqrt{\frac{125}{24}}=\sqrt{25·\frac{5}{24}} \\ \sqrt{\frac{125}{24}}=\sqrt{\frac{125}{24}} \end{gathered}$$

Для того чтобы выяснить, каким должно быть соотношение между натуральными числами $a$ и $b$, чтобы было верно равенство $\sqrt{a + \frac{a}{b}} = a\sqrt{\frac{a}{b}}$, выполним предложенные шаги.

Исходное равенство: $\sqrt{a + \frac{a}{b}} = a\sqrt{\frac{a}{b}}$.

Возводим в квадрат левую часть равенства:

$(\sqrt{a + \frac{a}{b}})^2 = a + \frac{a}{b}$

Возводим в квадрат правую часть равенства:

$(a\sqrt{\frac{a}{b}})^2 = a^2 \cdot (\sqrt{\frac{a}{b}})^2 = a^2 \cdot \frac{a}{b} = \frac{a^3}{b}$

Приравниваем полученные выражения и получаем новое равенство:

$a + \frac{a}{b} = \frac{a^3}{b}$

Ответ: $a + \frac{a}{b} = \frac{a^3}{b}$.

Используем равенство, полученное в предыдущем пункте: $a + \frac{a}{b} = \frac{a^3}{b}$.

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{ab + a}{b} = \frac{a^3}{b}$

Поскольку по условию $b$ — натуральное число ($b \in N$), то $b \neq 0$. Следовательно, мы можем умножить обе части уравнения на $b$:

$ab + a = a^3$

Вынесем $a$ за скобки в левой части:

$a(b + 1) = a^3$

Поскольку по условию $a$ — натуральное число ($a \in N$), то $a \neq 0$. Следовательно, мы можем разделить обе части уравнения на $a$:

$b + 1 = a^2$

Отсюда выражаем $b$ через $a$:

$b = a^2 - 1$

Так как $b$ должно быть натуральным числом, то есть $b \ge 1$, то должно выполняться условие $a^2 - 1 \ge 1$, что равносильно $a^2 \ge 2$. Учитывая, что $a$ — натуральное число, это условие справедливо для всех $a \ge 2$.

Ответ: Соотношение между числами $a$ и $b$ должно быть $b = a^2 - 1$, где $a$ — натуральное число, не меньшее 2.

Проверим найденное соотношение $b = a^2 - 1$ на примерах из условия задачи.

Пример 1: $\sqrt{2\frac{2}{3}} = 2\sqrt{\frac{2}{3}}$.

Данное равенство можно записать в виде $\sqrt{2+\frac{2}{3}} = 2\sqrt{\frac{2}{3}}$. Здесь $a=2$, а $b=3$.

Проверим наше соотношение: $b = a^2 - 1 = 2^2 - 1 = 4 - 1 = 3$. Соотношение выполняется. Само равенство также верное: $\sqrt{\frac{8}{3}} = \sqrt{4 \cdot \frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{8}{3}}$.

Пример 2: $\sqrt{4\frac{4}{15}} = 4\sqrt{\frac{4}{15}}$.

Данное равенство можно записать в виде $\sqrt{4+\frac{4}{15}} = 4\sqrt{\frac{4}{15}}$. Здесь $a=4$, а $b=15$.

Проверим наше соотношение: $b = a^2 - 1 = 4^2 - 1 = 16 - 1 = 15$. Соотношение выполняется. Равенство также верное: $\sqrt{\frac{64}{15}} = \sqrt{16 \cdot \frac{4}{15}} = \sqrt{\frac{64}{15}}$.

Замечание: Второй пример в условии, $\sqrt{3\frac{2}{3}} = 3\sqrt{\frac{3}{8}}$, является неверным, так как $\sqrt{\frac{11}{3}} \neq \sqrt{\frac{27}{8}}$. Согласно нашему выводу, для $a=3$ правильное равенство должно иметь вид $\sqrt{3+\frac{3}{8}} = 3\sqrt{\frac{3}{8}}$, так как $b=3^2-1=8$. В исходном примере, по-видимому, допущена опечатка.

Создадим новый пример: Пусть $a=5$.

Тогда $b$ должно быть равно $b = 5^2 - 1 = 25 - 1 = 24$.

Составим равенство по общей формуле $\sqrt{a + \frac{a}{b}} = a\sqrt{\frac{a}{b}}$:

$\sqrt{5 + \frac{5}{24}} = 5\sqrt{\frac{5}{24}}$

Проверим его истинность:

Левая часть: $\sqrt{5 + \frac{5}{24}} = \sqrt{\frac{5 \cdot 24 + 5}{24}} = \sqrt{\frac{120+5}{24}} = \sqrt{\frac{125}{24}}$.

Правая часть: $5\sqrt{\frac{5}{24}} = \sqrt{25 \cdot \frac{5}{24}} = \sqrt{\frac{125}{24}}$.

Равенство верно, что подтверждает наш вывод.

Ответ: Примеры для пар чисел $(a=2, b=3)$, $(a=4, b=15)$ и $(a=5, b=24)$ подтверждают, что равенство $\sqrt{a + \frac{a}{b}} = a\sqrt{\frac{a}{b}}$ выполняется, когда между натуральными числами $a$ и $b$ существует соотношение $b = a^2 - 1$ (при $a \ge 2$).