Номер 407, страница 97 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

17. Вынесение множителя из-под знака корня. Внесение множителя под знак корня. § 6. Применение свойств арифмитического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 407, страница 97.

407. Сравните значения выражений:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}}\mathbf{ }3\sqrt{3}>\sqrt{12} \\ \sqrt{9}\sqrt{3}>\sqrt{12} \\ \sqrt{9·3}>\sqrt{12} \\ \sqrt{27}>\sqrt{12} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}}\mathbf{ }\sqrt{20}<3\sqrt{5} \\ \sqrt{4·5}<3\sqrt{5} \\ \sqrt{4}·\sqrt{5}<3\sqrt{5} \\ 2\sqrt{5}<3\sqrt{5} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в)}}\mathbf{ }5\sqrt{4}>4\sqrt{5} \\ \sqrt{25}·\sqrt{4}>\sqrt{16}·\sqrt{5} \\ \sqrt{25·4}>\sqrt{16·5} \\ \sqrt{100}>\sqrt{80} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г)}}\mathbf{ }2\sqrt{5}>3\sqrt{2} \\ \sqrt{4}\sqrt{5}>\sqrt{9}·\sqrt{2} \\ \sqrt{4·5}>\sqrt{9·2} \\ \sqrt{20}>\sqrt{18} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д)}}\mathbf{ }-\sqrt{14}>-3\sqrt{2} \\ -\sqrt{14}>-\sqrt{9}·\sqrt{2} \\ -\sqrt{14}>-\sqrt{9·2} \\ -\sqrt{14}>-\sqrt{18} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{е)}}\mathbf{ }-7\sqrt{0,17}<-11\sqrt{0,05} \\ -\sqrt{49}·\sqrt{0,17}<-\sqrt{121}·\sqrt{0,05} \\ -\sqrt{49·0,17}<-\sqrt{121·0,05} \\ -\sqrt{8,33}<-\sqrt{6,05} \end{gathered}$$

Для сравнения значений выражений, содержащих квадратные корни, удобно привести их к одному виду. Чаще всего для этого вносят множитель под знак корня. Для любого неотрицательного числа $a$ верно равенство $a = \sqrt{a^2}$. Используя это, можно записать $a\sqrt{b} = \sqrt{a^2}\sqrt{b} = \sqrt{a^2b}$ для $a \ge 0$ и $b \ge 0$. После приведения обоих выражений к виду $\sqrt{c}$ их легко сравнить, сравнивая подкоренные выражения.

а) Сравним $3\sqrt{3}$ и $\sqrt{12}$.

Внесем множитель 3 под знак корня в первом выражении: $3\sqrt{3} = \sqrt{3^2 \cdot 3} = \sqrt{9 \cdot 3} = \sqrt{27}$.

Теперь сравним полученное выражение $\sqrt{27}$ с $\sqrt{12}$.

Так как $27 > 12$, то и $\sqrt{27} > \sqrt{12}$.

Следовательно, $3\sqrt{3} > \sqrt{12}$.

Ответ: $3\sqrt{3} > \sqrt{12}$.

б) Сравним $\sqrt{20}$ и $3\sqrt{5}$.

Внесем множитель 3 под знак корня во втором выражении: $3\sqrt{5} = \sqrt{3^2 \cdot 5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}$.

Теперь сравним $\sqrt{20}$ и $\sqrt{45}$.

Так как $20 < 45$, то $\sqrt{20} < \sqrt{45}$.

Следовательно, $\sqrt{20} < 3\sqrt{5}$.

Ответ: $\sqrt{20} < 3\sqrt{5}$.

в) Сравним $5\sqrt{4}$ и $4\sqrt{5}$.

Сначала упростим первое выражение: $5\sqrt{4} = 5 \cdot 2 = 10$.

Теперь сравним число $10$ и выражение $4\sqrt{5}$. Для этого представим оба числа в виде корней.

$10 = \sqrt{10^2} = \sqrt{100}$.

$4\sqrt{5} = \sqrt{4^2 \cdot 5} = \sqrt{16 \cdot 5} = \sqrt{80}$.

Сравним $\sqrt{100}$ и $\sqrt{80}$. Так как $100 > 80$, то $\sqrt{100} > \sqrt{80}$.

Следовательно, $5\sqrt{4} > 4\sqrt{5}$.

Ответ: $5\sqrt{4} > 4\sqrt{5}$.

г) Сравним $2\sqrt{5}$ и $3\sqrt{2}$.

Внесем множители под знаки корней в обоих выражениях.

$2\sqrt{5} = \sqrt{2^2 \cdot 5} = \sqrt{4 \cdot 5} = \sqrt{20}$.

$3\sqrt{2} = \sqrt{3^2 \cdot 2} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{18}$.

Сравним $\sqrt{20}$ и $\sqrt{18}$. Так как $20 > 18$, то $\sqrt{20} > \sqrt{18}$.

Следовательно, $2\sqrt{5} > 3\sqrt{2}$.

Ответ: $2\sqrt{5} > 3\sqrt{2}$.

д) Сравним $-\sqrt{14}$ и $-3\sqrt{2}$.

Так как оба числа отрицательные, сначала сравним их модули (положительные значения): $\sqrt{14}$ и $3\sqrt{2}$.

Внесем множитель 3 под знак корня: $3\sqrt{2} = \sqrt{3^2 \cdot 2} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{18}$.

Сравним $\sqrt{14}$ и $\sqrt{18}$. Так как $14 < 18$, то $\sqrt{14} < \sqrt{18}$.

При сравнении отрицательных чисел знак неравенства меняется на противоположный: из $\sqrt{14} < \sqrt{18}$ следует, что $-\sqrt{14} > -\sqrt{18}$.

Следовательно, $-\sqrt{14} > -3\sqrt{2}$.

Ответ: $-\sqrt{14} > -3\sqrt{2}$.

е) Сравним $-7\sqrt{0,17}$ и $-11\sqrt{0,05}$.

Сначала сравним модули этих чисел: $7\sqrt{0,17}$ и $11\sqrt{0,05}$.

Внесем множители под знаки корней.

$7\sqrt{0,17} = \sqrt{7^2 \cdot 0,17} = \sqrt{49 \cdot 0,17} = \sqrt{8,33}$.

$11\sqrt{0,05} = \sqrt{11^2 \cdot 0,05} = \sqrt{121 \cdot 0,05} = \sqrt{6,05}$.

Сравним $\sqrt{8,33}$ и $\sqrt{6,05}$. Так как $8,33 > 6,05$, то $\sqrt{8,33} > \sqrt{6,05}$.

Это означает, что $7\sqrt{0,17} > 11\sqrt{0,05}$.

При сравнении соответствующих отрицательных чисел знак неравенства меняется на противоположный.

Следовательно, $-7\sqrt{0,17} < -11\sqrt{0,05}$.

Ответ: $-7\sqrt{0,17} < -11\sqrt{0,05}$.