Номер 413, страница 98 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

17. Вынесение множителя из-под знака корня. Внесение множителя под знак корня. § 6. Применение свойств арифмитического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 413, страница 98.

413. Решите уравнение:

a) $\raisebox{1ex}{${\displaystyle \frac{4x-1}{12}}+{\displaystyle \frac{7}{4}}={\displaystyle \frac{5-x}{9}}$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$·36$}\right.$

$$\begin{gathered} 3(4x-1)+9·7=4(5-x) \\ 12x-3+63=20-4x \\ 12x+60=20-4x \\ 12x+4x=20-60 \\ 16x=-40 \\ x=-\frac{40}{16} \\ x=-\frac{5}{2} \\ x=-2,5 \end{gathered}$$

Ответ: -2,5

б) $\frac{2x-9}{6}-\frac{2(5x+3)}{15}=\raisebox{1ex}{${\displaystyle \frac{1}{2}}$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$·30$}\right.$

$$\begin{gathered} 5(2x-9)-2·2(5x+3)=15 \\ 10x-45-20x-12=15 \\ -10x-57=15 \\ -10x=72 \\ x=-7,2 \end{gathered}$$

Ответ: -7,2

а) $ \frac{4x-1}{12} + \frac{7}{4} = \frac{5-x}{9} $

Чтобы решить данное уравнение, необходимо избавиться от знаменателей. Для этого найдем наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей 12, 4 и 9.

Разложим знаменатели на простые множители:

$12 = 2^2 \cdot 3$

$4 = 2^2$

$9 = 3^2$

НОК(12, 4, 9) = $2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$.

Теперь умножим обе части уравнения на 36, чтобы избавиться от дробей:

$ 36 \cdot \left( \frac{4x-1}{12} + \frac{7}{4} \right) = 36 \cdot \frac{5-x}{9} $

$ \frac{36(4x-1)}{12} + \frac{36 \cdot 7}{4} = \frac{36(5-x)}{9} $

Сократим дроби, разделив 36 на каждый из знаменателей:

$ 3(4x-1) + 9(7) = 4(5-x) $

Раскроем скобки:

$ 12x - 3 + 63 = 20 - 4x $

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$ 12x + 60 = 20 - 4x $

Перенесем все слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую, изменив их знаки на противоположные:

$ 12x + 4x = 20 - 60 $

$ 16x = -40 $

Найдем $x$, разделив обе части на 16:

$ x = \frac{-40}{16} $

Сократим дробь на 8:

$ x = -\frac{5}{2} = -2.5 $

Ответ: $-2.5$

б) $ \frac{2x-9}{6} - \frac{2(5x+3)}{15} = \frac{1}{2} $

Сначала упростим числитель второй дроби, раскрыв скобки:

$ \frac{2x-9}{6} - \frac{10x+6}{15} = \frac{1}{2} $

Найдем наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей 6, 15 и 2.

Разложим знаменатели на простые множители:

$6 = 2 \cdot 3$

$15 = 3 \cdot 5$

$2 = 2$

НОК(6, 15, 2) = $2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$.

Умножим обе части уравнения на 30:

$ 30 \cdot \left( \frac{2x-9}{6} - \frac{10x+6}{15} \right) = 30 \cdot \frac{1}{2} $

$ \frac{30(2x-9)}{6} - \frac{30(10x+6)}{15} = \frac{30}{2} $

Сократим дроби:

$ 5(2x-9) - 2(10x+6) = 15 $

Раскроем скобки. Обратите внимание на знак минус перед второй дробью:

$ 10x - 45 - (20x + 12) = 15 $

$ 10x - 45 - 20x - 12 = 15 $

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$ (10x - 20x) + (-45 - 12) = 15 $

$ -10x - 57 = 15 $

Перенесем свободный член в правую часть:

$ -10x = 15 + 57 $

$ -10x = 72 $

Найдем $x$, разделив обе части на -10:

$ x = \frac{72}{-10} = -7.2 $

Ответ: $-7.2$