Номер 411, страница 98 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

17. Вынесение множителя из-под знака корня. Внесение множителя под знак корня. § 6. Применение свойств арифмитического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 411, страница 98.

411. (Для работы в парах.) Площадь треугольника S см² со сторонами a см, b см и c см можно вычислить по формуле Герона: где p — полупериметр треугольника.

Найдите площадь треугольника, стороны которого равны:

а) 12 см, 16 см, 24 см;

б) 18 см, 22 см, 26 см.

(Можете воспользоваться калькулятором.)

1) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните вычисления.

2) Проверьте друг у друга правильность вычислений.

3) Обсудите, как изменится площадь треугольника, если каждую из его сторон увеличить в 2 раза. Выскажите предположение и выполните необходимые преобразования.

$$\begin{gathered} S=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)} \\ \mathbf{\text{а) }}a=12см, b=16см, c=24см \\ p=\frac{12+16+24}{2}=\frac{52}{2}=26 \left(\text{см}\right) \\ S=\sqrt{26\left(26-12\right)\left(26-16\right)\left(26-24\right)}= \\ =\sqrt{26·14·10·2}=\sqrt{7280}\approx 85,3 \left({\text{см}}^2\right) \\ \mathbf{\text{б) }}a=18см, b=22см, c=26см \\ p=\frac{18+22+26}{2}=\frac{66}{2}=33 \left(\text{см}\right) \\ S=\sqrt{33\left(33-18\right)\left(33-22\right)\left(33-26\right)}= \\ =\sqrt{33·15·11·7}=\sqrt{38115}\approx 195 \left({\text{см}}^2\right) \end{gathered}$$

3) a, b, c - стороны исходного треугольника, 2a, 2b, 2c - стороны увеличенного треугольника

$$\begin{gathered} p=\frac{a+b+c}{2}; \\ {p}_1=\frac{2a+2b+2c}{2}=\frac{2(a+b+c)}{2}=2p \\ S=\sqrt{2p(2p-2a)(2p-2b)(2p-2c)}= \\ =\sqrt{2p·2(p-a)·2(p-b)·2(p-c)}= \\ =\sqrt{16p(p-a)(p-b)(p-c)}= \\ =4\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \end{gathered}$$

Ответ: в 4 раза

Для нахождения площади треугольника воспользуемся формулой Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $a, b, c$ — стороны треугольника, а $p$ — его полупериметр, который вычисляется как $p = \frac{a+b+c}{2}$.

а)

Найдем площадь треугольника со сторонами $a = 12$ см, $b = 16$ см и $c = 24$ см.

1. Вычислим полупериметр $p$:
$p = \frac{12 + 16 + 24}{2} = \frac{52}{2} = 26$ см.

2. Подставим значения в формулу Герона:
$S = \sqrt{26(26-12)(26-16)(26-24)}$
$S = \sqrt{26 \cdot 14 \cdot 10 \cdot 2}$

3. Упростим выражение под корнем, разложив числа на множители:
$S = \sqrt{(2 \cdot 13) \cdot (2 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 5) \cdot 2} = \sqrt{2^4 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 13} = \sqrt{16 \cdot 455}$
$S = 4\sqrt{455}$ см².

Приближенное значение: $S \approx 4 \cdot 21,33 \approx 85,32$ см².

Ответ: $S = 4\sqrt{455}$ см² (приблизительно 85,32 см²).

б)

Найдем площадь треугольника со сторонами $a = 18$ см, $b = 22$ см и $c = 26$ см.

1. Вычислим полупериметр $p$:
$p = \frac{18 + 22 + 26}{2} = \frac{66}{2} = 33$ см.

2. Подставим значения в формулу Герона:
$S = \sqrt{33(33-18)(33-22)(33-26)}$
$S = \sqrt{33 \cdot 15 \cdot 11 \cdot 7}$

3. Упростим выражение под корнем, разложив числа на множители:
$S = \sqrt{(3 \cdot 11) \cdot (3 \cdot 5) \cdot 11 \cdot 7} = \sqrt{3^2 \cdot 11^2 \cdot 5 \cdot 7} = \sqrt{9 \cdot 121 \cdot 35}$
$S = 3 \cdot 11\sqrt{35} = 33\sqrt{35}$ см².

Приближенное значение: $S \approx 33 \cdot 5,916 \approx 195,23$ см².

Ответ: $S = 33\sqrt{35}$ см² (приблизительно 195,23 см²).

3)

Обсудим, как изменится площадь треугольника, если каждую из его сторон увеличить в 2 раза.

Предположение: Если линейные размеры фигуры (в данном случае стороны треугольника) увеличить в $k$ раз, то ее площадь увеличится в $k^2$ раз. В нашем случае стороны увеличиваются в 2 раза, поэтому можно предположить, что площадь увеличится в $2^2 = 4$ раза.

Необходимые преобразования (доказательство):

Пусть исходный треугольник имеет стороны $a, b, c$. Его полупериметр $p = \frac{a+b+c}{2}$, а площадь $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$.

Новый треугольник будет иметь стороны $a' = 2a$, $b' = 2b$, $c' = 2c$.

Найдем его полупериметр $p'$:
$p' = \frac{a' + b' + c'}{2} = \frac{2a + 2b + 2c}{2} = \frac{2(a+b+c)}{2} = 2 \cdot \left(\frac{a+b+c}{2}\right) = 2p$.
Получается, что полупериметр нового треугольника также в 2 раза больше полупериметра исходного.

Теперь найдем площадь нового треугольника $S'$ по формуле Герона:
$S' = \sqrt{p'(p'-a')(p'-b')(p'-c')}$
Подставим выражения для $p'$, $a'$, $b'$, $c'$:
$S' = \sqrt{2p(2p-2a)(2p-2b)(2p-2c)}$

Вынесем общий множитель 2 из каждой скобки под корнем:
$S' = \sqrt{2p \cdot 2(p-a) \cdot 2(p-b) \cdot 2(p-c)}$
$S' = \sqrt{16 \cdot p(p-a)(p-b)(p-c)}$

Вынесем множитель 16 из-под знака корня:
$S' = \sqrt{16} \cdot \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$
Так как $\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = S$, получаем:
$S' = 4 \cdot S$

Таким образом, математические преобразования подтверждают наше предположение.

Ответ: Если каждую сторону треугольника увеличить в 2 раза, его площадь увеличится в 4 раза.