Номер 414, страница 100 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

18. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. § 6. Применение свойств арифмитического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 414, страница 100.

414. Упростите выражение:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\sqrt{75}+\sqrt{48}-\sqrt{300}= \\ =\sqrt{25·3}+\sqrt{16·3}-\sqrt{100·3}= \\ =\sqrt{25}·\sqrt{3}+\sqrt{16}·\sqrt{3}-\sqrt{100}·\sqrt{3}= \\ =5\sqrt{3}+4\sqrt{3}-10\sqrt{3}=-\sqrt{3} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}3\sqrt{8}-\sqrt{50}+2\sqrt{18}= \\ =3\sqrt{4·2}-\sqrt{25·2}+2\sqrt{9·2}= \\ =3·\sqrt{4}·\sqrt{2}-\sqrt{25}·\sqrt{2}+2\sqrt{9}·\sqrt{2}= \\ =3·2\sqrt{2}-5\sqrt{2}+2·3\sqrt{2}= \\ =6\sqrt{2}-5\sqrt{2}+6\sqrt{2}=7\sqrt{2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\sqrt{242}-\sqrt{200}+\sqrt{8}= \\ =\sqrt{121·2}-\sqrt{100·2}+\sqrt{4·2}= \\ =\sqrt{121}·\sqrt{2}-\sqrt{100}·\sqrt{2}+\sqrt{4}·\sqrt{2}= \\ =11\sqrt{2}-10\sqrt{2}+2\sqrt{2}=3\sqrt{2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\sqrt{75}-0,1\sqrt{300}-\sqrt{27}= \\ =\sqrt{25·3}-0,1\sqrt{100·3}-\sqrt{9·3}= \\ =\sqrt{25}·\sqrt{3}-0,1·\sqrt{100}·\sqrt{3}-\sqrt{9}·\sqrt{3}= \\ =5\sqrt{3}-0,1·10\sqrt{3}-3\sqrt{3}= \\ =5\sqrt{3}-\sqrt{3}-3\sqrt{3}=\sqrt{3} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д) }}\sqrt{98}-\sqrt{72}+0,5\sqrt{8}= \\ =\sqrt{49·2}-\sqrt{36·2}+0,5\sqrt{4·2}= \\ =\sqrt{49}·\sqrt{2}-\sqrt{36}·\sqrt{2}+0,5·\sqrt{4}·\sqrt{2}= \\ =7\sqrt{2}-6\sqrt{2}+0,5·2\sqrt{2}=2\sqrt{2} \end{gathered}$$

а) Чтобы упростить выражение $\sqrt{75}+\sqrt{48}-\sqrt{300}$, необходимо вынести множитель из-под знака корня в каждом слагаемом. Для этого разложим подкоренные числа на множители, один из которых является полным квадратом.

$\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{3} = 5\sqrt{3}$;

$\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{3}$;

$\sqrt{300} = \sqrt{100 \cdot 3} = \sqrt{100} \cdot \sqrt{3} = 10\sqrt{3}$.

Теперь подставим упрощенные значения в исходное выражение и приведем подобные слагаемые:

$5\sqrt{3} + 4\sqrt{3} - 10\sqrt{3} = (5 + 4 - 10)\sqrt{3} = (9 - 10)\sqrt{3} = -\sqrt{3}$.

Ответ: $-\sqrt{3}$

б) Для упрощения выражения $3\sqrt{8}-\sqrt{50}+2\sqrt{18}$ вынесем множители из-под знаков корня.

$3\sqrt{8} = 3\sqrt{4 \cdot 2} = 3 \cdot 2\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$;

$\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$;

$2\sqrt{18} = 2\sqrt{9 \cdot 2} = 2 \cdot 3\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$.

Подставим полученные значения в выражение и выполним действия:

$6\sqrt{2} - 5\sqrt{2} + 6\sqrt{2} = (6 - 5 + 6)\sqrt{2} = 7\sqrt{2}$.

Ответ: $7\sqrt{2}$

в) Упростим выражение $\sqrt{242}-\sqrt{200}+\sqrt{8}$, вынеся множители из-под корней.

$\sqrt{242} = \sqrt{121 \cdot 2} = 11\sqrt{2}$;

$\sqrt{200} = \sqrt{100 \cdot 2} = 10\sqrt{2}$;

$\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$.

Подставим значения в выражение и приведем подобные слагаемые:

$11\sqrt{2} - 10\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = (11 - 10 + 2)\sqrt{2} = 3\sqrt{2}$.

Ответ: $3\sqrt{2}$

г) Упростим выражение $\sqrt{75}-0,1\sqrt{300}-\sqrt{27}$. Вынесем множители из-под знаков корня.

$\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$;

$0,1\sqrt{300} = 0,1\sqrt{100 \cdot 3} = 0,1 \cdot 10\sqrt{3} = \sqrt{3}$;

$\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$.

Подставим упрощенные значения и выполним действия:

$5\sqrt{3} - \sqrt{3} - 3\sqrt{3} = (5 - 1 - 3)\sqrt{3} = \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$

д) Упростим выражение $\sqrt{98}-\sqrt{72}+0,5\sqrt{8}$. Вынесем множители из-под знаков корня.

$\sqrt{98} = \sqrt{49 \cdot 2} = 7\sqrt{2}$;

$\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$;

$0,5\sqrt{8} = 0,5\sqrt{4 \cdot 2} = 0,5 \cdot 2\sqrt{2} = \sqrt{2}$.

Подставим полученные значения и приведем подобные слагаемые:

$7\sqrt{2} - 6\sqrt{2} + \sqrt{2} = (7 - 6 + 1)\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$.

Ответ: $2\sqrt{2}$