Номер 418, страница 100 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

18. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. § 6. Применение свойств арифмитического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 418, страница 100.

418. Выполните действия:

a) ${\left(\sqrt{4+\sqrt{7}}+\sqrt{4-\sqrt{7}}\right)}^2={\left(\sqrt{4+\sqrt{7}}\right)}^2+$

$$\begin{gathered} +2\sqrt{4+\sqrt{7}}·\sqrt{4-\sqrt{7}}+{\left(\sqrt{4-\sqrt{7}}\right)}^2= \\ =4+\sqrt{7}+2\sqrt{\left(4+\sqrt{7}\right)\left(4-\sqrt{7}\right)}+4-\sqrt{7}= \\ =8+2\sqrt{4^2-{\left(\sqrt{7}\right)}^2}=8+2\sqrt{16-7}= \\ =8+2·\sqrt{9}=8+2·3=8+6=14 \end{gathered}$$

б) ${\left(\sqrt{5+2\sqrt{6}}-\sqrt{5-2\sqrt{6}}\right)}^2={\left(\sqrt{5+2\sqrt{6}}\right)}^2-$

$$\begin{gathered} -2\sqrt{5+2\sqrt{6}}·\sqrt{5-2\sqrt{6}}+{\left(\sqrt{5}-2\sqrt{6}\right)}^2= \\ =5+2\sqrt{6}-2\sqrt{\left(5+2\sqrt{6}\right)\left(5-2\sqrt{6}\right)}+5-2\sqrt{6}= \\ =10-2\sqrt{5^2-{\left(2\sqrt{6}\right)}^2}=10-2\sqrt{25-24}= \\ =10-2·1=10-2=8 \end{gathered}$$

а) $(\sqrt{4+\sqrt{7}} + \sqrt{4-\sqrt{7}})^2$

Для решения этого выражения воспользуемся формулой квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

В нашем случае, пусть $a = \sqrt{4+\sqrt{7}}$ и $b = \sqrt{4-\sqrt{7}}$.

Тогда:

$a^2 = (\sqrt{4+\sqrt{7}})^2 = 4+\sqrt{7}$

$b^2 = (\sqrt{4-\sqrt{7}})^2 = 4-\sqrt{7}$

Теперь найдем удвоенное произведение $2ab$:

$2ab = 2 \cdot \sqrt{4+\sqrt{7}} \cdot \sqrt{4-\sqrt{7}} = 2 \cdot \sqrt{(4+\sqrt{7})(4-\sqrt{7})}$

Выражение под корнем представляет собой разность квадратов $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$:

$(4+\sqrt{7})(4-\sqrt{7}) = 4^2 - (\sqrt{7})^2 = 16 - 7 = 9$

Подставим это значение обратно:

$2ab = 2 \cdot \sqrt{9} = 2 \cdot 3 = 6$

Теперь сложим все части вместе:

$(\sqrt{4+\sqrt{7}} + \sqrt{4-\sqrt{7}})^2 = a^2 + 2ab + b^2 = (4+\sqrt{7}) + 6 + (4-\sqrt{7})$

Выполним сложение и вычитание:

$4 + \sqrt{7} + 6 + 4 - \sqrt{7} = 4 + 6 + 4 = 14$

Ответ: 14

---

б) $(\sqrt{5+2\sqrt{6}} - \sqrt{5-2\sqrt{6}})^2$

Для решения этого выражения воспользуемся формулой квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В нашем случае, пусть $a = \sqrt{5+2\sqrt{6}}$ и $b = \sqrt{5-2\sqrt{6}}$.

Тогда:

$a^2 = (\sqrt{5+2\sqrt{6}})^2 = 5+2\sqrt{6}$

$b^2 = (\sqrt{5-2\sqrt{6}})^2 = 5-2\sqrt{6}$

Теперь найдем удвоенное произведение $2ab$:

$2ab = 2 \cdot \sqrt{5+2\sqrt{6}} \cdot \sqrt{5-2\sqrt{6}} = 2 \cdot \sqrt{(5+2\sqrt{6})(5-2\sqrt{6})}$

Выражение под корнем представляет собой разность квадратов $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$:

$(5+2\sqrt{6})(5-2\sqrt{6}) = 5^2 - (2\sqrt{6})^2 = 25 - (4 \cdot 6) = 25 - 24 = 1$

Подставим это значение обратно:

$2ab = 2 \cdot \sqrt{1} = 2 \cdot 1 = 2$

Теперь соберем все части вместе, согласно формуле квадрата разности:

$(\sqrt{5+2\sqrt{6}} - \sqrt{5-2\sqrt{6}})^2 = a^2 - 2ab + b^2 = (5+2\sqrt{6}) - 2 + (5-2\sqrt{6})$

Выполним сложение и вычитание:

$5 + 2\sqrt{6} - 2 + 5 - 2\sqrt{6} = 5 - 2 + 5 = 8$

Ответ: 8