Страница 100 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

414. Упростите выражение:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\sqrt{75}+\sqrt{48}-\sqrt{300}= \\ =\sqrt{25·3}+\sqrt{16·3}-\sqrt{100·3}= \\ =\sqrt{25}·\sqrt{3}+\sqrt{16}·\sqrt{3}-\sqrt{100}·\sqrt{3}= \\ =5\sqrt{3}+4\sqrt{3}-10\sqrt{3}=-\sqrt{3} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}3\sqrt{8}-\sqrt{50}+2\sqrt{18}= \\ =3\sqrt{4·2}-\sqrt{25·2}+2\sqrt{9·2}= \\ =3·\sqrt{4}·\sqrt{2}-\sqrt{25}·\sqrt{2}+2\sqrt{9}·\sqrt{2}= \\ =3·2\sqrt{2}-5\sqrt{2}+2·3\sqrt{2}= \\ =6\sqrt{2}-5\sqrt{2}+6\sqrt{2}=7\sqrt{2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\sqrt{242}-\sqrt{200}+\sqrt{8}= \\ =\sqrt{121·2}-\sqrt{100·2}+\sqrt{4·2}= \\ =\sqrt{121}·\sqrt{2}-\sqrt{100}·\sqrt{2}+\sqrt{4}·\sqrt{2}= \\ =11\sqrt{2}-10\sqrt{2}+2\sqrt{2}=3\sqrt{2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\sqrt{75}-0,1\sqrt{300}-\sqrt{27}= \\ =\sqrt{25·3}-0,1\sqrt{100·3}-\sqrt{9·3}= \\ =\sqrt{25}·\sqrt{3}-0,1·\sqrt{100}·\sqrt{3}-\sqrt{9}·\sqrt{3}= \\ =5\sqrt{3}-0,1·10\sqrt{3}-3\sqrt{3}= \\ =5\sqrt{3}-\sqrt{3}-3\sqrt{3}=\sqrt{3} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д) }}\sqrt{98}-\sqrt{72}+0,5\sqrt{8}= \\ =\sqrt{49·2}-\sqrt{36·2}+0,5\sqrt{4·2}= \\ =\sqrt{49}·\sqrt{2}-\sqrt{36}·\sqrt{2}+0,5·\sqrt{4}·\sqrt{2}= \\ =7\sqrt{2}-6\sqrt{2}+0,5·2\sqrt{2}=2\sqrt{2} \end{gathered}$$

а) Чтобы упростить выражение $\sqrt{75}+\sqrt{48}-\sqrt{300}$, необходимо вынести множитель из-под знака корня в каждом слагаемом. Для этого разложим подкоренные числа на множители, один из которых является полным квадратом.

$\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{3} = 5\sqrt{3}$;

$\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{3}$;

$\sqrt{300} = \sqrt{100 \cdot 3} = \sqrt{100} \cdot \sqrt{3} = 10\sqrt{3}$.

Теперь подставим упрощенные значения в исходное выражение и приведем подобные слагаемые:

$5\sqrt{3} + 4\sqrt{3} - 10\sqrt{3} = (5 + 4 - 10)\sqrt{3} = (9 - 10)\sqrt{3} = -\sqrt{3}$.

Ответ: $-\sqrt{3}$

б) Для упрощения выражения $3\sqrt{8}-\sqrt{50}+2\sqrt{18}$ вынесем множители из-под знаков корня.

$3\sqrt{8} = 3\sqrt{4 \cdot 2} = 3 \cdot 2\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$;

$\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$;

$2\sqrt{18} = 2\sqrt{9 \cdot 2} = 2 \cdot 3\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$.

Подставим полученные значения в выражение и выполним действия:

$6\sqrt{2} - 5\sqrt{2} + 6\sqrt{2} = (6 - 5 + 6)\sqrt{2} = 7\sqrt{2}$.

Ответ: $7\sqrt{2}$

в) Упростим выражение $\sqrt{242}-\sqrt{200}+\sqrt{8}$, вынеся множители из-под корней.

$\sqrt{242} = \sqrt{121 \cdot 2} = 11\sqrt{2}$;

$\sqrt{200} = \sqrt{100 \cdot 2} = 10\sqrt{2}$;

$\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$.

Подставим значения в выражение и приведем подобные слагаемые:

$11\sqrt{2} - 10\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = (11 - 10 + 2)\sqrt{2} = 3\sqrt{2}$.

Ответ: $3\sqrt{2}$

г) Упростим выражение $\sqrt{75}-0,1\sqrt{300}-\sqrt{27}$. Вынесем множители из-под знаков корня.

$\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$;

$0,1\sqrt{300} = 0,1\sqrt{100 \cdot 3} = 0,1 \cdot 10\sqrt{3} = \sqrt{3}$;

$\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$.

Подставим упрощенные значения и выполним действия:

$5\sqrt{3} - \sqrt{3} - 3\sqrt{3} = (5 - 1 - 3)\sqrt{3} = \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$

д) Упростим выражение $\sqrt{98}-\sqrt{72}+0,5\sqrt{8}$. Вынесем множители из-под знаков корня.

$\sqrt{98} = \sqrt{49 \cdot 2} = 7\sqrt{2}$;

$\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$;

$0,5\sqrt{8} = 0,5\sqrt{4 \cdot 2} = 0,5 \cdot 2\sqrt{2} = \sqrt{2}$.

Подставим полученные значения и приведем подобные слагаемые:

$7\sqrt{2} - 6\sqrt{2} + \sqrt{2} = (7 - 6 + 1)\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$.

Ответ: $2\sqrt{2}$

415. Упростите выражение:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\sqrt{8p}-\sqrt{2p}+\sqrt{18p}= \\ =\sqrt{2·4}·\sqrt{p}-\sqrt{2}\sqrt{p}+\sqrt{9·2}·\sqrt{p}= \\ =2\sqrt{2p}-\sqrt{2p}+3\sqrt{2p}=4\sqrt{2p} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\sqrt{160c}+2\sqrt{40c}-3\sqrt{90c}= \\ =\sqrt{19·10c}+2\sqrt{4·10c}-3\sqrt{9·10c}= \\ =4\sqrt{10c}+4\sqrt{10c}-9\sqrt{10c}=-\sqrt{10c} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}5\sqrt{27m}-4\sqrt{48m}-2\sqrt{12m}= \\ =5\sqrt{9·3m}-4\sqrt{16·3m}-2\sqrt{4·3m}= \\ =15\sqrt{3m}-16\sqrt{3m}-4\sqrt{3m}=-5\sqrt{3m} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\sqrt{54}-\sqrt{24}+\sqrt{150}= \\ =\sqrt{9·6}-\sqrt{4·6}+\sqrt{25·6}= \\ =3\sqrt{6}-2\sqrt{6}+5\sqrt{6}=6\sqrt{6} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д) }}3\sqrt{2}+\sqrt{32}-\sqrt{200}= \\ =3\sqrt{2}+\sqrt{16·2}-\sqrt{100·2}= \\ =3\sqrt{2}+4\sqrt{2}-10\sqrt{2}=-3\sqrt{2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{е) }}2\sqrt{72}-\sqrt{50}-2\sqrt{8}= \\ =2\sqrt{36·2}-\sqrt{25·2}-2\sqrt{4·2}= \\ =12\sqrt{2}-5\sqrt{2}-4\sqrt{2}=3\sqrt{2} \end{gathered}$$

а) $\sqrt{8p} - \sqrt{2p} + \sqrt{18p}$

Для упрощения данного выражения необходимо вынести множители из-под знака корня таким образом, чтобы подкоренные выражения стали одинаковыми. Это позволит нам сложить и вычесть слагаемые.

1. Упростим член $\sqrt{8p}$. Разложим 8 на множители: $8 = 4 \cdot 2$. Тогда $\sqrt{8p} = \sqrt{4 \cdot 2p} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2p} = 2\sqrt{2p}$.

2. Упростим член $\sqrt{18p}$. Разложим 18 на множители: $18 = 9 \cdot 2$. Тогда $\sqrt{18p} = \sqrt{9 \cdot 2p} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{2p} = 3\sqrt{2p}$.

3. Теперь исходное выражение можно переписать в виде: $2\sqrt{2p} - \sqrt{2p} + 3\sqrt{2p}$.

4. Сгруппируем подобные слагаемые, вынеся общий множитель $\sqrt{2p}$ за скобки: $(2 - 1 + 3)\sqrt{2p} = 4\sqrt{2p}$.

Ответ: $4\sqrt{2p}$

б) $\sqrt{160c} + 2\sqrt{40c} - 3\sqrt{90c}$

Приведем все слагаемые к общему подкоренному выражению, вынося из-под корня множители, являющиеся полными квадратами.

1. Разложим на множители подкоренные выражения:

• $\sqrt{160c} = \sqrt{16 \cdot 10c} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{10c} = 4\sqrt{10c}$.
• $2\sqrt{40c} = 2\sqrt{4 \cdot 10c} = 2 \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{10c} = 2 \cdot 2\sqrt{10c} = 4\sqrt{10c}$.
• $3\sqrt{90c} = 3\sqrt{9 \cdot 10c} = 3 \cdot \sqrt{9} \cdot \sqrt{10c} = 3 \cdot 3\sqrt{10c} = 9\sqrt{10c}$.

2. Подставим упрощенные значения в исходное выражение:

$4\sqrt{10c} + 4\sqrt{10c} - 9\sqrt{10c}$.

3. Сложим и вычтем коэффициенты при общем radical $\sqrt{10c}$:

$(4 + 4 - 9)\sqrt{10c} = -1\sqrt{10c} = -\sqrt{10c}$.

Ответ: $-\sqrt{10c}$

в) $5\sqrt{27m} - 4\sqrt{48m} - 2\sqrt{12m}$

Упростим каждый член выражения, приведя их к общему подкоренному выражению.

1. Разложим числа под корнями на множители, выделяя полные квадраты:

• $5\sqrt{27m} = 5\sqrt{9 \cdot 3m} = 5 \cdot 3\sqrt{3m} = 15\sqrt{3m}$.
• $4\sqrt{48m} = 4\sqrt{16 \cdot 3m} = 4 \cdot 4\sqrt{3m} = 16\sqrt{3m}$.
• $2\sqrt{12m} = 2\sqrt{4 \cdot 3m} = 2 \cdot 2\sqrt{3m} = 4\sqrt{3m}$.

2. Подставим полученные выражения в исходное:

$15\sqrt{3m} - 16\sqrt{3m} - 4\sqrt{3m}$.

3. Выполним действия с коэффициентами:

$(15 - 16 - 4)\sqrt{3m} = (-1 - 4)\sqrt{3m} = -5\sqrt{3m}$.

Ответ: $-5\sqrt{3m}$

г) $\sqrt{54} - \sqrt{24} + \sqrt{150}$

Чтобы упростить выражение, найдем общий радикал для всех членов.

1. Разложим подкоренные выражения на множители:

• $\sqrt{54} = \sqrt{9 \cdot 6} = 3\sqrt{6}$.
• $\sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}$.
• $\sqrt{150} = \sqrt{25 \cdot 6} = 5\sqrt{6}$.

2. Подставим упрощенные корни обратно в выражение:

$3\sqrt{6} - 2\sqrt{6} + 5\sqrt{6}$.

3. Сгруппируем и вычислим коэффициенты:

$(3 - 2 + 5)\sqrt{6} = 6\sqrt{6}$.

Ответ: $6\sqrt{6}$

д) $3\sqrt{2} + \sqrt{32} - \sqrt{200}$

Упростим слагаемые, содержащие $\sqrt{32}$ и $\sqrt{200}$, приведя их к виду с $\sqrt{2}$.

1. Упростим каждый корень:

• $\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$.
• $\sqrt{200} = \sqrt{100 \cdot 2} = 10\sqrt{2}$.

2. Подставим упрощенные значения в исходное выражение:

$3\sqrt{2} + 4\sqrt{2} - 10\sqrt{2}$.

3. Сложим и вычтем коэффициенты при общем radical $\sqrt{2}$:

$(3 + 4 - 10)\sqrt{2} = (7 - 10)\sqrt{2} = -3\sqrt{2}$.

Ответ: $-3\sqrt{2}$

е) $2\sqrt{72} - \sqrt{50} - 2\sqrt{8}$

Приведем все слагаемые к общему подкоренному выражению, которым, судя по всему, является 2.

1. Упростим каждый член выражения:

• $2\sqrt{72} = 2\sqrt{36 \cdot 2} = 2 \cdot 6\sqrt{2} = 12\sqrt{2}$.
• $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$.
• $2\sqrt{8} = 2\sqrt{4 \cdot 2} = 2 \cdot 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$.

2. Подставим упрощенные значения в выражение:

$12\sqrt{2} - 5\sqrt{2} - 4\sqrt{2}$.

3. Выполним действия с коэффициентами:

$(12 - 5 - 4)\sqrt{2} = (7 - 4)\sqrt{2} = 3\sqrt{2}$.

Ответ: $3\sqrt{2}$

416. Выполните действия, используя формулы сокращённого умножения:

a) $\left(x+\sqrt{y}\right)\left(x-\sqrt{y}\right)=x^2-{\left(\sqrt{y}\right)}^2=x^2-y$

б) $\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)={\left(\sqrt{a}\right)}^2-{\left(\sqrt{b}\right)}^2=a-b$

в) $\left(\sqrt{11}-3\right)\left(\sqrt{11}+3\right)={\left(\sqrt{11}\right)}^2-3^2=11-9=2$

г) $$\begin{gathered} \left(\sqrt{10}+\sqrt{7}\right)\left(\sqrt{7}-\sqrt{10}\right)={\left(\sqrt{7}\right)}^2-{\left(\sqrt{10}\right)}^2= \\ =7-10=-3 \end{gathered}$$

д) $$\begin{gathered} {\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}^2={\left(\sqrt{a}\right)}^2+2\sqrt{a}\sqrt{b}+{\left(\sqrt{b}\right)}^2= \\ =a+2\sqrt{ab}+b \end{gathered}$$

е) $$\begin{gathered} {\left(\sqrt{m}-\sqrt{n}\right)}^2={\left(\sqrt{m}\right)}^2-2\sqrt{m}\sqrt{n}+{\left(\sqrt{n}\right)}^2= \\ =m-2\sqrt{mn}+n \end{gathered}$$

ж) $$\begin{gathered} {\left(\sqrt{2}+3\right)}^2={\left(\sqrt{2}\right)}^2+2·\sqrt{2}·3+3^2=2+6\sqrt{2}+9= \\ =11+6\sqrt{2} \end{gathered}$$

з) $$\begin{gathered} {\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)}^2={\left(\sqrt{5}\right)}^2-2\sqrt{5}·\sqrt{2}+{\left(\sqrt{2}\right)}^2= \\ =5-2\sqrt{10}+2=7-2\sqrt{10} \end{gathered}$$

а) Для решения данного примера используется формула разности квадратов: $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$. В выражении $(x + \sqrt{y})(x - \sqrt{y})$ пусть $a = x$ и $b = \sqrt{y}$.
Применяя формулу, получаем:
$(x + \sqrt{y})(x - \sqrt{y}) = x^2 - (\sqrt{y})^2 = x^2 - y$.
Ответ: $x^2 - y$.

б) Данное выражение $(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})$ также упрощается с помощью формулы разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$. Здесь $a$ в формуле соответствует $\sqrt{a}$, а $b$ в формуле — $\sqrt{b}$.
Выполним преобразование:
$(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b}) = (\sqrt{a})^2 - (\sqrt{b})^2 = a - b$.
Ответ: $a - b$.

в) Снова применяем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ к выражению $(\sqrt{11} - 3)(\sqrt{11} + 3)$. В этом случае $a = \sqrt{11}$ и $b = 3$.
Подставим значения в формулу:
$(\sqrt{11} - 3)(\sqrt{11} + 3) = (\sqrt{11})^2 - 3^2 = 11 - 9 = 2$.
Ответ: $2$.

г) В выражении $(\sqrt{10} + \sqrt{7})(\sqrt{7} - \sqrt{10})$ множители похожи на формулу разности квадратов, но порядок членов отличается. Приведем выражение к стандартному виду, поменяв местами слагаемые в первой скобке: $(\sqrt{7} + \sqrt{10})$.
Теперь выражение выглядит так: $(\sqrt{7} + \sqrt{10})(\sqrt{7} - \sqrt{10})$. Применим формулу $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$, где $a = \sqrt{7}$ и $b = \sqrt{10}$.
$(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{10})^2 = 7 - 10 = -3$.
Ответ: $-3$.

д) Для раскрытия скобок в выражении $(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2$ используем формулу квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. В нашем случае $a$ в формуле — это $\sqrt{a}$, а $b$ — это $\sqrt{b}$.
$(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = (\sqrt{a})^2 + 2 \cdot \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} + (\sqrt{b})^2 = a + 2\sqrt{ab} + b$.
Обычно результат записывают, группируя члены без корней: $a + b + 2\sqrt{ab}$.
Ответ: $a + b + 2\sqrt{ab}$.

е) Для выражения $(\sqrt{m} - \sqrt{n})^2$ применяется формула квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Здесь $a = \sqrt{m}$ и $b = \sqrt{n}$.
Выполним преобразование:
$(\sqrt{m} - \sqrt{n})^2 = (\sqrt{m})^2 - 2 \cdot \sqrt{m} \cdot \sqrt{n} + (\sqrt{n})^2 = m - 2\sqrt{mn} + n$.
Сгруппируем члены: $m + n - 2\sqrt{mn}$.
Ответ: $m + n - 2\sqrt{mn}$.

ж) Используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ для выражения $(\sqrt{2} + 3)^2$. В данном случае $a = \sqrt{2}$ и $b = 3$.
$(\sqrt{2} + 3)^2 = (\sqrt{2})^2 + 2 \cdot \sqrt{2} \cdot 3 + 3^2 = 2 + 6\sqrt{2} + 9$.
Сложим числовые члены: $2 + 9 = 11$.
Результат: $11 + 6\sqrt{2}$.
Ответ: $11 + 6\sqrt{2}$.

з) Применяем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ к выражению $(\sqrt{5} - \sqrt{2})^2$. Здесь $a = \sqrt{5}$ и $b = \sqrt{2}$.
$(\sqrt{5} - \sqrt{2})^2 = (\sqrt{5})^2 - 2 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 5 - 2\sqrt{10} + 2$.
Сложим числовые члены: $5 + 2 = 7$.
Результат: $7 - 2\sqrt{10}$.
Ответ: $7 - 2\sqrt{10}$.

417. Выполните действия:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\left(2\sqrt{5}+1\right)\left(2\sqrt{5}-1\right)={\left(2\sqrt{5}\right)}^2-1^2= \\ =4·5-1=20-1=19 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\left(5\sqrt{7}-\sqrt{13}\right)\left(\sqrt{13}+5\sqrt{7}\right)= \\ ={\left(5\sqrt{7}\right)}^2-{\left(\sqrt{13}\right)}^2= \\ =25·7-13=175-13=162 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\left(3\sqrt{2}-2\sqrt{3}\right)\left(2\sqrt{3}+3\sqrt{2}\right)= \\ ={\left(3\sqrt{2}\right)}^2-{\left(2\sqrt{3}\right)}^2=9·2-4·3=18-12=6 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}{\left(1+3\sqrt{5}\right)}^2=1^2+2·1·3\sqrt{5}+{\left(3\sqrt{5}\right)}^2= \\ =1+6\sqrt{5}+9·5=46+6\sqrt{5} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д) }}{\left(2\sqrt{3}-7\right)}^2={\left(2\sqrt{3}\right)}^2-2·2\sqrt{3}·7+7^2= \\ =4·3-28\sqrt{3}+49=12+49-28\sqrt{3}= \\ =61-28\sqrt{3} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{е) }}{\left(2\sqrt{10}-\sqrt{2}\right)}^2= \\ ={\left(2\sqrt{10}\right)}^2-2·2\sqrt{10}·\sqrt{2}+{\left(\sqrt{2}\right)}^2= \\ =4·10-4\sqrt{20}+2=42-4\sqrt{4·5}= \\ =42-4\sqrt{4}·\sqrt{5}=42-4·2\sqrt{5}=42-8\sqrt{5} \end{gathered}$$

а) Для решения этого выражения используем формулу сокращенного умножения "разность квадратов": $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$. В нашем случае $a = 2\sqrt{5}$ и $b = 1$.
$(2\sqrt{5} + 1)(2\sqrt{5} - 1) = (2\sqrt{5})^2 - 1^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{5})^2 - 1 = 4 \cdot 5 - 1 = 20 - 1 = 19$.
Ответ: $19$.

б) Для удобства вычислений поменяем местами слагаемые во второй скобке: $(5\sqrt{7} - \sqrt{13})(5\sqrt{7} + \sqrt{13})$. Теперь выражение соответствует формуле разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где $a = 5\sqrt{7}$ и $b = \sqrt{13}$.
$(5\sqrt{7})^2 - (\sqrt{13})^2 = 5^2 \cdot (\sqrt{7})^2 - 13 = 25 \cdot 7 - 13 = 175 - 13 = 162$.
Ответ: $162$.

в) Переставим слагаемые во второй скобке, чтобы привести выражение к стандартному виду формулы разности квадратов: $(3\sqrt{2} - 2\sqrt{3})(3\sqrt{2} + 2\sqrt{3})$. Применим формулу $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где $a = 3\sqrt{2}$ и $b = 2\sqrt{3}$.
$(3\sqrt{2})^2 - (2\sqrt{3})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{2})^2 - 2^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 9 \cdot 2 - 4 \cdot 3 = 18 - 12 = 6$.
Ответ: $6$.

г) Для раскрытия скобок используем формулу "квадрат суммы": $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. В этом примере $a = 1$ и $b = 3\sqrt{5}$.
$(1 + 3\sqrt{5})^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot 3\sqrt{5} + (3\sqrt{5})^2 = 1 + 6\sqrt{5} + 3^2 \cdot (\sqrt{5})^2 = 1 + 6\sqrt{5} + 9 \cdot 5 = 1 + 6\sqrt{5} + 45 = 46 + 6\sqrt{5}$.
Ответ: $46 + 6\sqrt{5}$.

д) Здесь применяется формула "квадрат разности": $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В нашем случае $a = 2\sqrt{3}$ и $b = 7$.
$(2\sqrt{3} - 7)^2 = (2\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot 7 + 7^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{3})^2 - 28\sqrt{3} + 49 = 4 \cdot 3 - 28\sqrt{3} + 49 = 12 - 28\sqrt{3} + 49 = 61 - 28\sqrt{3}$.
Ответ: $61 - 28\sqrt{3}$.

е) Используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a = 2\sqrt{10}$ и $b = \sqrt{2}$.
$(2\sqrt{10} - \sqrt{2})^2 = (2\sqrt{10})^2 - 2 \cdot 2\sqrt{10} \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 10 - 4\sqrt{20} + 2$.
Упростим подкоренное выражение: $\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$.
Подставим упрощенное значение: $40 - 4 \cdot (2\sqrt{5}) + 2 = 40 - 8\sqrt{5} + 2 = 42 - 8\sqrt{5}$.
Ответ: $42 - 8\sqrt{5}$.

418. Выполните действия:

a) ${\left(\sqrt{4+\sqrt{7}}+\sqrt{4-\sqrt{7}}\right)}^2={\left(\sqrt{4+\sqrt{7}}\right)}^2+$

$$\begin{gathered} +2\sqrt{4+\sqrt{7}}·\sqrt{4-\sqrt{7}}+{\left(\sqrt{4-\sqrt{7}}\right)}^2= \\ =4+\sqrt{7}+2\sqrt{\left(4+\sqrt{7}\right)\left(4-\sqrt{7}\right)}+4-\sqrt{7}= \\ =8+2\sqrt{4^2-{\left(\sqrt{7}\right)}^2}=8+2\sqrt{16-7}= \\ =8+2·\sqrt{9}=8+2·3=8+6=14 \end{gathered}$$

б) ${\left(\sqrt{5+2\sqrt{6}}-\sqrt{5-2\sqrt{6}}\right)}^2={\left(\sqrt{5+2\sqrt{6}}\right)}^2-$

$$\begin{gathered} -2\sqrt{5+2\sqrt{6}}·\sqrt{5-2\sqrt{6}}+{\left(\sqrt{5}-2\sqrt{6}\right)}^2= \\ =5+2\sqrt{6}-2\sqrt{\left(5+2\sqrt{6}\right)\left(5-2\sqrt{6}\right)}+5-2\sqrt{6}= \\ =10-2\sqrt{5^2-{\left(2\sqrt{6}\right)}^2}=10-2\sqrt{25-24}= \\ =10-2·1=10-2=8 \end{gathered}$$

а) $(\sqrt{4+\sqrt{7}} + \sqrt{4-\sqrt{7}})^2$

Для решения этого выражения воспользуемся формулой квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

В нашем случае, пусть $a = \sqrt{4+\sqrt{7}}$ и $b = \sqrt{4-\sqrt{7}}$.

Тогда:

$a^2 = (\sqrt{4+\sqrt{7}})^2 = 4+\sqrt{7}$

$b^2 = (\sqrt{4-\sqrt{7}})^2 = 4-\sqrt{7}$

Теперь найдем удвоенное произведение $2ab$:

$2ab = 2 \cdot \sqrt{4+\sqrt{7}} \cdot \sqrt{4-\sqrt{7}} = 2 \cdot \sqrt{(4+\sqrt{7})(4-\sqrt{7})}$

Выражение под корнем представляет собой разность квадратов $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$:

$(4+\sqrt{7})(4-\sqrt{7}) = 4^2 - (\sqrt{7})^2 = 16 - 7 = 9$

Подставим это значение обратно:

$2ab = 2 \cdot \sqrt{9} = 2 \cdot 3 = 6$

Теперь сложим все части вместе:

$(\sqrt{4+\sqrt{7}} + \sqrt{4-\sqrt{7}})^2 = a^2 + 2ab + b^2 = (4+\sqrt{7}) + 6 + (4-\sqrt{7})$

Выполним сложение и вычитание:

$4 + \sqrt{7} + 6 + 4 - \sqrt{7} = 4 + 6 + 4 = 14$

Ответ: 14

б) $(\sqrt{5+2\sqrt{6}} - \sqrt{5-2\sqrt{6}})^2$

Для решения этого выражения воспользуемся формулой квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В нашем случае, пусть $a = \sqrt{5+2\sqrt{6}}$ и $b = \sqrt{5-2\sqrt{6}}$.

Тогда:

$a^2 = (\sqrt{5+2\sqrt{6}})^2 = 5+2\sqrt{6}$

$b^2 = (\sqrt{5-2\sqrt{6}})^2 = 5-2\sqrt{6}$

Теперь найдем удвоенное произведение $2ab$:

$2ab = 2 \cdot \sqrt{5+2\sqrt{6}} \cdot \sqrt{5-2\sqrt{6}} = 2 \cdot \sqrt{(5+2\sqrt{6})(5-2\sqrt{6})}$

Выражение под корнем представляет собой разность квадратов $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$:

$(5+2\sqrt{6})(5-2\sqrt{6}) = 5^2 - (2\sqrt{6})^2 = 25 - (4 \cdot 6) = 25 - 24 = 1$

Подставим это значение обратно:

$2ab = 2 \cdot \sqrt{1} = 2 \cdot 1 = 2$

Теперь соберем все части вместе, согласно формуле квадрата разности:

$(\sqrt{5+2\sqrt{6}} - \sqrt{5-2\sqrt{6}})^2 = a^2 - 2ab + b^2 = (5+2\sqrt{6}) - 2 + (5-2\sqrt{6})$

Выполним сложение и вычитание:

$5 + 2\sqrt{6} - 2 + 5 - 2\sqrt{6} = 5 - 2 + 5 = 8$

Ответ: 8

419. Преобразуйте выражение:

a) $\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)={\left(\sqrt{x}\right)}^2-1^2=x-1$

б) $\left(\sqrt{x}-\sqrt{a}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{a}\right)={\left(\sqrt{x}\right)}^2-{\left(\sqrt{a}\right)}^2=x-a$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}{\left(\sqrt{m}+\sqrt{2}\right)}^2={\left(\sqrt{m}\right)}^2+2\sqrt{m}·\sqrt{2}+{\left(\sqrt{2}\right)}^2= \\ =m+2\sqrt{2m}+2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}{\left(\sqrt{3}-\sqrt{x}\right)}^2={\left(\sqrt{3}\right)}^2-2\sqrt{3}\sqrt{x}+{\left(\sqrt{x}\right)}^2= \\ =3-2\sqrt{3x}+x \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д) }}\left(5\sqrt{7}-13\right)\left(5\sqrt{7}+13\right)={\left(5\sqrt{7}\right)}^2-{13}^2= \\ =25·7-169=175-169=6 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{е) }}\left(2\sqrt{2}+3\sqrt{3}\right)\left(2\sqrt{2}-3\sqrt{3}\right)= \\ ={\left(2\sqrt{2}\right)}^2-{\left(3\sqrt{3}\right)}^2= \\ =4·2-9·3=8-27=-19 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{ж) }}{\left(6-\sqrt{2}\right)}^2+3\sqrt{32}= \\ =6^2-2·6\sqrt{2}+{\left(\sqrt{2}\right)}^2+3\sqrt{16·2}= \\ =36-12\sqrt{2}+2+3·4\sqrt{2}= \\ =38-12\sqrt{2}+12\sqrt{2}=38 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{з) }}{\left(\sqrt{2}+\sqrt{18}\right)}^2-30= \\ ={\left(\sqrt{2}\right)}^2+2\sqrt{2}·\sqrt{18}+{\left(\sqrt{18}\right)}^2-30= \\ =2+2\sqrt{36}+18-30=2+2·6+18-30= \\ =2+12+18-30=2 \end{gathered}$$

а) Для преобразования выражения $(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 1)$ воспользуемся формулой сокращенного умножения "разность квадратов": $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$. В данном случае $a = \sqrt{x}$ и $b = 1$.
Применяем формулу: $(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 1) = (\sqrt{x})^2 - 1^2 = x - 1$.
Ответ: $x-1$.

б) Выражение $(\sqrt{x} - \sqrt{a})(\sqrt{x} + \sqrt{a})$ также преобразуется с помощью формулы разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где $a = \sqrt{x}$ и $b = \sqrt{a}$.
Применяем формулу: $(\sqrt{x} - \sqrt{a})(\sqrt{x} + \sqrt{a}) = (\sqrt{x})^2 - (\sqrt{a})^2 = x - a$.
Ответ: $x-a$.

в) Для преобразования выражения $(\sqrt{m} + \sqrt{2})^2$ используем формулу "квадрат суммы": $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a = \sqrt{m}$ и $b = \sqrt{2}$.
Применяем формулу: $(\sqrt{m} + \sqrt{2})^2 = (\sqrt{m})^2 + 2 \cdot \sqrt{m} \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = m + 2\sqrt{2m} + 2$.
Ответ: $m + 2 + 2\sqrt{2m}$.

г) Для преобразования выражения $(\sqrt{3} - \sqrt{x})^2$ используем формулу "квадрат разности": $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a = \sqrt{3}$ и $b = \sqrt{x}$.
Применяем формулу: $(\sqrt{3} - \sqrt{x})^2 = (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{x} + (\sqrt{x})^2 = 3 - 2\sqrt{3x} + x$.
Ответ: $x + 3 - 2\sqrt{3x}$.

д) Выражение $(5\sqrt{7} - 13)(5\sqrt{7} + 13)$ является разностью квадратов. Применим формулу $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где $a = 5\sqrt{7}$ и $b = 13$.
Вычисляем: $(5\sqrt{7})^2 - 13^2 = 5^2 \cdot (\sqrt{7})^2 - 169 = 25 \cdot 7 - 169 = 175 - 169 = 6$.
Ответ: $6$.

е) Выражение $(2\sqrt{2} + 3\sqrt{3})(2\sqrt{2} - 3\sqrt{3})$ также является разностью квадратов. Применим формулу $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$, где $a = 2\sqrt{2}$ и $b = 3\sqrt{3}$.
Вычисляем: $(2\sqrt{2})^2 - (3\sqrt{3})^2 = (2^2 \cdot (\sqrt{2})^2) - (3^2 \cdot (\sqrt{3})^2) = (4 \cdot 2) - (9 \cdot 3) = 8 - 27 = -19$.
Ответ: $-19$.

ж) Преобразуем выражение $(6 - \sqrt{2})^2 + 3\sqrt{32}$.
1. Раскроем скобки по формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$: $(6 - \sqrt{2})^2 = 6^2 - 2 \cdot 6 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 36 - 12\sqrt{2} + 2 = 38 - 12\sqrt{2}$.
2. Упростим второй член, вынеся множитель из-под знака корня: $3\sqrt{32} = 3\sqrt{16 \cdot 2} = 3 \cdot \sqrt{16} \cdot \sqrt{2} = 3 \cdot 4\sqrt{2} = 12\sqrt{2}$.
3. Сложим полученные результаты: $(38 - 12\sqrt{2}) + 12\sqrt{2} = 38 - 12\sqrt{2} + 12\sqrt{2} = 38$.
Ответ: $38$.

з) Преобразуем выражение $(\sqrt{2} + \sqrt{18})^2 - 30$.
1. Упростим выражение в скобках. Так как $\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$, то: $\sqrt{2} + \sqrt{18} = \sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$.
2. Подставим упрощенное выражение обратно и выполним вычисления: $(4\sqrt{2})^2 - 30 = 4^2 \cdot (\sqrt{2})^2 - 30 = 16 \cdot 2 - 30 = 32 - 30 = 2$.
Ответ: $2$.

420. Разложите на множители, используя формулу разности квадратов:

a) $x^2-7=x^2-{\left(\sqrt{7}\right)}^2=(x-\sqrt{7})(x+\sqrt{7})$

б) $5-c^2={\left(\sqrt{5}\right)}^2-c=(\sqrt{5}-c)(\sqrt{5}+c)$

в) $4a^2-3={\left(2a\right)}^2-{\left(\sqrt{3}\right)}^2=(2a-\sqrt{3})(2a+\sqrt{3})$

г) $11-16b^2={\left(\sqrt{11}\right)}^2-{\left(4b\right)}^2=(\sqrt{11}-4b)(\sqrt{11}+4b)$

д) $y-3={\left(\sqrt{y}\right)}^2-{\left(\sqrt{3}\right)}^2=(\sqrt{y}-\sqrt{3})(\sqrt{y}+\sqrt{3}),$ где y≥0

е) $x-y={\left(\sqrt{x}\right)}^2-{\left(\sqrt{y}\right)}^2=(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y}),$ где x>0 y>0

Для разложения на множители во всех пунктах используется формула разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

а) $x^2 - 7$

Чтобы применить формулу, представим оба члена выражения в виде квадратов. $x^2$ уже является квадратом $x$. Число $7$ можно представить как квадрат его квадратного корня: $7 = (\sqrt{7})^2$. Таким образом, выражение можно переписать как $x^2 - (\sqrt{7})^2$. Применяя формулу разности квадратов, где $a=x$ и $b=\sqrt{7}$, получаем: $x^2 - (\sqrt{7})^2 = (x - \sqrt{7})(x + \sqrt{7})$.

Ответ: $(x - \sqrt{7})(x + \sqrt{7})$

б) $5 - c^2$

Представим число $5$ как $(\sqrt{5})^2$, а $c^2$ является квадратом $c$. Выражение принимает вид: $(\sqrt{5})^2 - c^2$. Применяя формулу разности квадратов, где $a=\sqrt{5}$ и $b=c$, получаем: $(\sqrt{5})^2 - c^2 = (\sqrt{5} - c)(\sqrt{5} + c)$.

Ответ: $(\sqrt{5} - c)(\sqrt{5} + c)$

в) $4a^2 - 3$

Представим каждый член выражения в виде квадрата. $4a^2$ — это квадрат выражения $2a$, т.е. $(2a)^2$. Число $3$ — это квадрат $\sqrt{3}$, т.е. $(\sqrt{3})^2$. Выражение принимает вид: $(2a)^2 - (\sqrt{3})^2$. Применяя формулу, где $a=2a$ и $b=\sqrt{3}$, получаем: $(2a)^2 - (\sqrt{3})^2 = (2a - \sqrt{3})(2a + \sqrt{3})$.

Ответ: $(2a - \sqrt{3})(2a + \sqrt{3})$

г) $11 - 16b^2$

Представим члены выражения в виде квадратов. $11 = (\sqrt{11})^2$ и $16b^2 = (4b)^2$. Выражение принимает вид: $(\sqrt{11})^2 - (4b)^2$. Применяя формулу, где $a=\sqrt{11}$ и $b=4b$, получаем: $(\sqrt{11})^2 - (4b)^2 = (\sqrt{11} - 4b)(\sqrt{11} + 4b)$.

Ответ: $(\sqrt{11} - 4b)(\sqrt{11} + 4b)$

д) $y - 3$, где $y \ge 0$

Поскольку $y \ge 0$, мы можем представить $y$ как квадрат его квадратного корня: $y = (\sqrt{y})^2$. Также представим $3$ как $(\sqrt{3})^2$. Выражение принимает вид: $(\sqrt{y})^2 - (\sqrt{3})^2$. Применяя формулу, где $a=\sqrt{y}$ и $b=\sqrt{3}$, получаем: $(\sqrt{y})^2 - (\sqrt{3})^2 = (\sqrt{y} - \sqrt{3})(\sqrt{y} + \sqrt{3})$.

Ответ: $(\sqrt{y} - \sqrt{3})(\sqrt{y} + \sqrt{3})$

е) $x - y$, где $x > 0$ и $y > 0$

Поскольку $x > 0$ и $y > 0$, мы можем представить каждую переменную как квадрат ее квадратного корня: $x = (\sqrt{x})^2$ и $y = (\sqrt{y})^2$. Выражение принимает вид: $(\sqrt{x})^2 - (\sqrt{y})^2$. Применяя формулу, где $a=\sqrt{x}$ и $b=\sqrt{y}$, получаем: $(\sqrt{x})^2 - (\sqrt{y})^2 = (\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})$.

Ответ: $(\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})$