Страница 96 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

400. Вынесите множитель из-под знака корня:

a) $\sqrt{12}=\sqrt{4·3}=\sqrt{4}·\sqrt{3}=2\sqrt{3}$

б) $\sqrt{18}=\sqrt{9·2}=\sqrt{9}·\sqrt{2}=3\sqrt{2}$

в) $\sqrt{80}=\sqrt{16·5}=\sqrt{16}·\sqrt{5}=4\sqrt{5}$

г) $\sqrt{48}=\sqrt{16·3}=\sqrt{16}·\sqrt{3}=4\sqrt{3}$

д) $\sqrt{125}=\sqrt{25·5}=\sqrt{25}·\sqrt{5}=5\sqrt{5}$

е) $\sqrt{108}=\sqrt{36·3}=\sqrt{36}·\sqrt{3}=6\sqrt{3}$

ж) $\sqrt{363}=\sqrt{121·3}=\sqrt{121}·\sqrt{3}=11\sqrt{3}$

з) $\sqrt{84500}=\sqrt{16900·5}=\sqrt{16900}·\sqrt{5}=130\sqrt{5}$

а) Чтобы вынести множитель из-под знака корня, представим подкоренное число 12 в виде произведения множителей, один из которых является полным квадратом.
$12 = 4 \cdot 3$.
$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$.
Ответ: $2\sqrt{3}$

б) Представим число 18 в виде произведения множителей, выделив полный квадрат.
$18 = 9 \cdot 2$.
$\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{2} = 3\sqrt{2}$.
Ответ: $3\sqrt{2}$

в) Разложим число 80 на множители, чтобы вынести множитель из-под знака корня.
$80 = 16 \cdot 5$.
$\sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{5} = 4\sqrt{5}$.
Ответ: $4\sqrt{5}$

г) Разложим число 48 на множители, выделив среди них полный квадрат.
$48 = 16 \cdot 3$.
$\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{3}$.
Ответ: $4\sqrt{3}$

д) Представим число 125 в виде произведения множителей.
$125 = 25 \cdot 5$.
$\sqrt{125} = \sqrt{25 \cdot 5} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{5} = 5\sqrt{5}$.
Ответ: $5\sqrt{5}$

е) Разложим число 108 на множители, выделив полный квадрат.
$108 = 36 \cdot 3$.
$\sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{3} = 6\sqrt{3}$.
Ответ: $6\sqrt{3}$

ж) Представим число 363 в виде произведения множителей.
$363 = 121 \cdot 3$.
$\sqrt{363} = \sqrt{121 \cdot 3} = \sqrt{121} \cdot \sqrt{3} = 11\sqrt{3}$.
Ответ: $11\sqrt{3}$

з) Разложим число 84500 на множители, выделив полные квадраты.
$84500 = 845 \cdot 100 = (169 \cdot 5) \cdot 100$.
$\sqrt{84500} = \sqrt{169 \cdot 100 \cdot 5} = \sqrt{169} \cdot \sqrt{100} \cdot \sqrt{5} = 13 \cdot 10 \cdot \sqrt{5} = 130\sqrt{5}$.
Ответ: $130\sqrt{5}$

401. Вынесите множитель из-под знака корня и упростите полученное выражение:

a) $\frac{1}{2}\sqrt{24}=\frac{1}{2}\sqrt{6·4}=\frac{1}{2}\sqrt{4}·\sqrt{6}=\frac{1}{2}·2\sqrt{6}=\sqrt{6}$

б) $\frac{2}{3}\sqrt{45}=\frac{2}{3}\sqrt{9·5}=\frac{2}{3}\sqrt{9}·\sqrt{5}=\frac{2}{3}·3\sqrt{5}=2\sqrt{5}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}-\frac{1}{7}\sqrt{147}=-\frac{1}{7}\sqrt{49·3}=-\frac{1}{7}\sqrt{49}·\sqrt{3}= \\ =-\frac{1}{7}·7\sqrt{3}=-\sqrt{3} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}-\frac{1}{5}\sqrt{275}=-\frac{1}{5}\sqrt{25·11}=-\frac{1}{5}\sqrt{25}·\sqrt{11}= \\ =-\frac{1}{5}·5\sqrt{11}=-\sqrt{11} \end{gathered}$$

д) $$\begin{gathered} 0,1\sqrt{20000}=0,1\sqrt{10000·2}=0,1\sqrt{10000}·\sqrt{2}= \\ =0,1·100\sqrt{2}=10\sqrt{2} \end{gathered}$$

е) $$\begin{gathered} -0,05\sqrt{28800}=-0,05\sqrt{14400·2}= \\ =-0,05\sqrt{14400}·\sqrt{2}=-0,05·120\sqrt{2}=-6\sqrt{2} \end{gathered}$$

а) Чтобы упростить выражение $\frac{1}{2}\sqrt{24}$, нужно вынести множитель из-под знака корня. Для этого представим подкоренное выражение 24 в виде произведения множителей, один из которых является полным квадратом.

Число 24 можно разложить на множители как $4 \times 6$. Число 4 является квадратом числа 2.

$\frac{1}{2}\sqrt{24} = \frac{1}{2}\sqrt{4 \times 6}$

Используя свойство корня $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$, вынесем $\sqrt{4}$ из-под знака корня:

$\frac{1}{2} \times \sqrt{4} \times \sqrt{6} = \frac{1}{2} \times 2 \times \sqrt{6}$

Сократим множители:

$\frac{2}{2}\sqrt{6} = 1 \times \sqrt{6} = \sqrt{6}$

Ответ: $\sqrt{6}$

б) Упростим выражение $\frac{2}{3}\sqrt{45}$.

Представим число 45 в виде произведения множителей, где один из них — полный квадрат. $45 = 9 \times 5$. Число 9 является квадратом числа 3.

$\frac{2}{3}\sqrt{45} = \frac{2}{3}\sqrt{9 \times 5}$

Вынесем множитель $\sqrt{9}$ из-под знака корня:

$\frac{2}{3} \times \sqrt{9} \times \sqrt{5} = \frac{2}{3} \times 3 \times \sqrt{5}$

Сократим множители:

$\frac{2 \times 3}{3} \sqrt{5} = 2\sqrt{5}$

Ответ: $2\sqrt{5}$

в) Упростим выражение $-\frac{1}{7}\sqrt{147}$.

Разложим число 147 на множители. Сумма цифр $1+4+7=12$, значит, число делится на 3. $147 = 3 \times 49$. Число 49 является полным квадратом ($7^2$).

$-\frac{1}{7}\sqrt{147} = -\frac{1}{7}\sqrt{49 \times 3}$

Вынесем множитель $\sqrt{49}$ из-под знака корня:

$-\frac{1}{7} \times \sqrt{49} \times \sqrt{3} = -\frac{1}{7} \times 7 \times \sqrt{3}$

Сокращаем множители:

$-\frac{7}{7}\sqrt{3} = -1 \times \sqrt{3} = -\sqrt{3}$

Ответ: $-\sqrt{3}$

г) Упростим выражение $-\frac{1}{5}\sqrt{275}$.

Разложим число 275 на множители. Число оканчивается на 5, значит, делится на 5. $275 = 5 \times 55 = 5 \times 5 \times 11 = 25 \times 11$. Число 25 является полным квадратом ($5^2$).

$-\frac{1}{5}\sqrt{275} = -\frac{1}{5}\sqrt{25 \times 11}$

Вынесем множитель $\sqrt{25}$ из-под знака корня:

$-\frac{1}{5} \times \sqrt{25} \times \sqrt{11} = -\frac{1}{5} \times 5 \times \sqrt{11}$

Сокращаем множители:

$-\frac{5}{5}\sqrt{11} = -1 \times \sqrt{11} = -\sqrt{11}$

Ответ: $-\sqrt{11}$

д) Упростим выражение $0,1\sqrt{20000}$.

Представим число 20000 в виде произведения $2 \times 10000$. Число 10000 является полным квадратом ($100^2$).

$0,1\sqrt{20000} = 0,1\sqrt{10000 \times 2}$

Вынесем множитель $\sqrt{10000}$ из-под знака корня:

$0,1 \times \sqrt{10000} \times \sqrt{2} = 0,1 \times 100 \times \sqrt{2}$

Выполняем умножение:

$0,1 \times 100 \times \sqrt{2} = 10\sqrt{2}$

Ответ: $10\sqrt{2}$

е) Упростим выражение $-0,05\sqrt{28800}$.

Разложим число 28800 на множители. Можно представить его как $288 \times 100$. Число 100 является полным квадратом. Теперь разложим 288: $288 = 2 \times 144$. Число 144 также является полным квадратом ($12^2$).

Таким образом, $28800 = 144 \times 2 \times 100 = 14400 \times 2$. Число 14400 является квадратом числа 120.

$-0,05\sqrt{28800} = -0,05\sqrt{14400 \times 2}$

Вынесем множитель $\sqrt{14400}$ из-под знака корня:

$-0,05 \times \sqrt{14400} \times \sqrt{2} = -0,05 \times 120 \times \sqrt{2}$

Выполняем умножение. Можно представить $0,05$ как $\frac{5}{100}$ или $\frac{1}{20}$.

$-0,05 \times 120 \times \sqrt{2} = -\frac{1}{20} \times 120 \times \sqrt{2} = -\frac{120}{20}\sqrt{2} = -6\sqrt{2}$

Ответ: $-6\sqrt{2}$

402. Вынесите множитель из-под знака корня:

a) $\sqrt{20}=\sqrt{4·5}=\sqrt{4}·\sqrt{5}=2\sqrt{5}$

б) $\sqrt{98}=\sqrt{49·2}=\sqrt{49}·\sqrt{2}=7\sqrt{2}$

в) $\sqrt{200}=\sqrt{100·2}=\sqrt{100}·\sqrt{2}=10\sqrt{2}$

г) $\sqrt{160}=\sqrt{16·10}=\sqrt{16}·\sqrt{10}=4\sqrt{10}$

д) $$\begin{gathered} 0,2\sqrt{75}=0,2\sqrt{25·3}=0,2·\sqrt{25}·\sqrt{3}= \\ =0,2·5\sqrt{3}=\sqrt{3} \end{gathered}$$

е) $$\begin{gathered} 0,7\sqrt{300}=0,7\sqrt{100·3}=0,7·\sqrt{100}·\sqrt{3}= \\ =0,7·10\sqrt{3}=7\sqrt{3} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{ж) }}-0,125\sqrt{192}=-0,125\sqrt{64·3}= \\ =-0,125\sqrt{64}·\sqrt{3}=-0,125·8\sqrt{3}=-\sqrt{3} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{з) }}-\frac{1}{3}\sqrt{450}=-\frac{1}{3}\sqrt{225·2}= \\ =-\frac{1}{3}\sqrt{225}·\sqrt{2}=-\frac{1}{3}·15\sqrt{2}=-5\sqrt{2} \end{gathered}$$

а) Чтобы вынести множитель из-под знака корня в выражении $\sqrt{20}$, необходимо разложить подкоренное число на множители так, чтобы один из них был полным квадратом. Число 20 можно представить как произведение 4 и 5, где 4 является квадратом числа 2.
$\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{5} = 2\sqrt{5}$.
Ответ: $2\sqrt{5}$.

б) Разложим число 98 на множители. Наибольший множитель, являющийся полным квадратом, — это 49 ($7^2$).
$98 = 49 \cdot 2$.
Следовательно, $\sqrt{98} = \sqrt{49 \cdot 2} = \sqrt{49} \cdot \sqrt{2} = 7\sqrt{2}$.
Ответ: $7\sqrt{2}$.

в) Представим число 200 в виде произведения, где один из множителей — полный квадрат. Наибольший такой множитель — это 100 ($10^2$).
$200 = 100 \cdot 2$.
Тогда $\sqrt{200} = \sqrt{100 \cdot 2} = \sqrt{100} \cdot \sqrt{2} = 10\sqrt{2}$.
Ответ: $10\sqrt{2}$.

г) Разложим число 160 на множители. Наибольший множитель, являющийся полным квадратом, — это 16 ($4^2$).
$160 = 16 \cdot 10$.
Таким образом, $\sqrt{160} = \sqrt{16 \cdot 10} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{10} = 4\sqrt{10}$.
Ответ: $4\sqrt{10}$.

д) Сначала упростим корень $\sqrt{75}$. Разложим 75 на множители $25 \cdot 3$, где 25 — это квадрат числа 5.
$\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{3} = 5\sqrt{3}$.
Теперь умножим результат на коэффициент 0,2:
$0,2\sqrt{75} = 0,2 \cdot (5\sqrt{3}) = (0,2 \cdot 5)\sqrt{3} = 1\sqrt{3} = \sqrt{3}$.
Ответ: $\sqrt{3}$.

е) Упростим корень $\sqrt{300}$. Представим 300 как произведение $100 \cdot 3$. Число 100 — это квадрат 10.
$\sqrt{300} = \sqrt{100 \cdot 3} = \sqrt{100} \cdot \sqrt{3} = 10\sqrt{3}$.
Далее умножим на коэффициент 0,7:
$0,7\sqrt{300} = 0,7 \cdot (10\sqrt{3}) = (0,7 \cdot 10)\sqrt{3} = 7\sqrt{3}$.
Ответ: $7\sqrt{3}$.

ж) Упростим корень $\sqrt{192}$. Найдем наибольший множитель, являющийся полным квадратом. $192 = 64 \cdot 3$, а 64 — это квадрат 8.
$\sqrt{192} = \sqrt{64 \cdot 3} = \sqrt{64} \cdot \sqrt{3} = 8\sqrt{3}$.
Теперь умножим на коэффициент $-0,125$. Удобно представить $-0,125$ как дробь $-\frac{1}{8}$.
$-0,125\sqrt{192} = -0,125 \cdot (8\sqrt{3}) = -\frac{1}{8} \cdot 8\sqrt{3} = -1 \cdot \sqrt{3} = -\sqrt{3}$.
Ответ: $-\sqrt{3}$.

з) Вынесем множитель из-под знака корня для $\sqrt{450}$. Разложим 450 на множители. Наибольший полный квадрат, который делит 450, это 225 ($15^2$).
$450 = 225 \cdot 2$.
$\sqrt{450} = \sqrt{225 \cdot 2} = \sqrt{225} \cdot \sqrt{2} = 15\sqrt{2}$.
Умножим полученное выражение на коэффициент $-\frac{1}{3}$:
$-\frac{1}{3}\sqrt{450} = -\frac{1}{3} \cdot (15\sqrt{2}) = \left(-\frac{1}{3} \cdot 15\right)\sqrt{2} = -5\sqrt{2}$.
Ответ: $-5\sqrt{2}$.

403. Внесите множитель под знак корня:

a) $7\sqrt{10}=\sqrt{49}·\sqrt{10}=\sqrt{49·10}=\sqrt{490}$

б) $5\sqrt{3}=\sqrt{25}·\sqrt{3}=\sqrt{25·3}=\sqrt{75}$

в) $6\sqrt{x}=\sqrt{36}\sqrt{x}=\sqrt{36x}$

г) $10\sqrt{y}=\sqrt{100}·\sqrt{y}=\sqrt{100y}$

д) $3\sqrt{2a}=\sqrt{9}·\sqrt{2a}=\sqrt{9·2a}=\sqrt{18a}$

е) $5\sqrt{3b}=\sqrt{25}\sqrt{3b}=\sqrt{25·3b}=\sqrt{75b}$

ж) $a\sqrt{x^2}=\left|a\right|\sqrt{x^2}=\sqrt{a^2}·\sqrt{x^2}=\sqrt{a^2{x}^2},$ если a≥0

$a\sqrt{x^2}=-\left|a\right|\sqrt{x^2}=-\sqrt{a^2}·\sqrt{x^2}=-\sqrt{a^2{x}^2},$ если a<0

з) $m^2\sqrt{m^3}=\sqrt{m^4}·\sqrt{m^3}=\sqrt{m^4·m^3}=\sqrt{m^7}$ при m≥0

и) $3x{y}^2\sqrt{y}=\left|x\right|\sqrt{9}·\sqrt{y^4}\sqrt{y}=\sqrt{x^2}\sqrt{9y^{4}y}=\sqrt{9x^2{y}^5},$ если x≥0

$3x{y}^2\sqrt{y}=-\left|x\right|\sqrt{9}\sqrt{y^4}\sqrt{y}=-\sqrt{9x^2{y}^5},$ если x<0

а) Чтобы внести множитель 7 под знак корня в выражении $7\sqrt{10}$, нужно возвести этот множитель в квадрат и умножить его на подкоренное выражение.
$7\sqrt{10} = \sqrt{7^2 \cdot 10} = \sqrt{49 \cdot 10} = \sqrt{490}$.
Ответ: $\sqrt{490}$.

б) Вносим множитель 5 под знак корня в выражении $5\sqrt{3}$. Для этого возводим 5 в квадрат и результат умножаем на 3.
$5\sqrt{3} = \sqrt{5^2 \cdot 3} = \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{75}$.
Ответ: $\sqrt{75}$.

в) Вносим множитель 6 под знак корня в выражении $6\sqrt{x}$. Для существования корня необходимо, чтобы $x \ge 0$.
$6\sqrt{x} = \sqrt{6^2 \cdot x} = \sqrt{36x}$.
Ответ: $\sqrt{36x}$.

г) Вносим множитель 10 под знак корня в выражении $10\sqrt{y}$. Для существования корня необходимо, чтобы $y \ge 0$.
$10\sqrt{y} = \sqrt{10^2 \cdot y} = \sqrt{100y}$.
Ответ: $\sqrt{100y}$.

д) Вносим множитель 3 под знак корня в выражении $3\sqrt{2a}$. Для существования корня необходимо, чтобы $2a \ge 0$, то есть $a \ge 0$.
$3\sqrt{2a} = \sqrt{3^2 \cdot 2a} = \sqrt{9 \cdot 2a} = \sqrt{18a}$.
Ответ: $\sqrt{18a}$.

е) Вносим множитель 5 под знак корня в выражении $5\sqrt{3b}$. Для существования корня необходимо, чтобы $3b \ge 0$, то есть $b \ge 0$.
$5\sqrt{3b} = \sqrt{5^2 \cdot 3b} = \sqrt{25 \cdot 3b} = \sqrt{75b}$.
Ответ: $\sqrt{75b}$.

ж) Вносим множитель $a$ под знак корня в выражении $a\sqrt{x^2}$. Правило внесения неотрицательного множителя $c$ под знак корня имеет вид $c\sqrt{d} = \sqrt{c^2d}$. Будем считать, что $a \ge 0$.
$a\sqrt{x^2} = \sqrt{a^2 \cdot x^2} = \sqrt{a^2x^2}$.
Ответ: $\sqrt{a^2x^2}$ (при $a \ge 0$).

з) Вносим множитель $m^2$ под знак корня в выражении $m^2\sqrt{m^3}$. Множитель $m^2$ всегда неотрицателен ($m^2 \ge 0$). Для существования корня необходимо, чтобы $m^3 \ge 0$, что означает $m \ge 0$.
$m^2\sqrt{m^3} = \sqrt{(m^2)^2 \cdot m^3} = \sqrt{m^4 \cdot m^3} = \sqrt{m^{4+3}} = \sqrt{m^7}$.
Ответ: $\sqrt{m^7}$.

и) Вносим множитель $3xy^2$ под знак корня в выражении $3xy^2\sqrt{y}$. Для существования корня $\sqrt{y}$ необходимо, чтобы $y \ge 0$. Множитель $3y^2$ неотрицателен. Для того чтобы весь множитель $3xy^2$ был неотрицателен, необходимо, чтобы $x \ge 0$. При этих условиях ($x \ge 0, y \ge 0$) вносим множитель под корень.
$3xy^2\sqrt{y} = \sqrt{(3xy^2)^2 \cdot y} = \sqrt{9x^2(y^2)^2 \cdot y} = \sqrt{9x^2y^4y} = \sqrt{9x^2y^5}$.
Ответ: $\sqrt{9x^2y^5}$ (при $x \ge 0, y \ge 0$).

404. Какие из выражений не имеют смысла:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\sqrt{2\sqrt{17}-4}=\sqrt{\sqrt{4}\sqrt{17}-\sqrt{16}}= \\ =\sqrt{\sqrt{4·17}-\sqrt{16}}=\sqrt{\sqrt{68}-\sqrt{16}} \\ \text{имеет смысл, т.к.} \sqrt{68}-\sqrt{16}>0 \\ 2\sqrt{17}-4>0 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\sqrt{9-\sqrt{80}}=\sqrt{9-\sqrt{16·5}}= \\ =\sqrt{9-\sqrt{16}·\sqrt{5}}=\sqrt{9-4\sqrt{5}}= \\ =\sqrt{2^2+{\left(\sqrt{5}\right)}^2-4\sqrt{5}}=\sqrt{{\left(\sqrt{5}-2\right)}^2}= \\ =\left|\sqrt{5}-2\right|=\sqrt{5}-2 - \text{имеет смысл} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\sqrt{8\sqrt{3}-14}=\sqrt{2\left(4\sqrt{3}-7\right)}= \\ =\sqrt{2}·\sqrt{4·\sqrt{3}-7}=\sqrt{2}\sqrt{\sqrt{16}·\sqrt{3}-\sqrt{49}}= \\ =\sqrt{2}\sqrt{\sqrt{16·3}-\sqrt{49}}= \\ =\sqrt{2}\sqrt{\sqrt{48}-\sqrt{49}} - \text{не имеет смысла, т.к.} \\ \sqrt{48}-\sqrt{49}<0 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\sqrt{15-2\sqrt{56}}=\sqrt{\sqrt{225}-\sqrt{4}·\sqrt{56}}= \\ =\sqrt{\sqrt{225}-\sqrt{4·56}}=\sqrt{\sqrt{225}-\sqrt{224}} \\ - \text{имеет смысл, т.к.} \sqrt{225}-\sqrt{224}>0, \\ 15-2\sqrt{56}>0 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д) }}\sqrt{\sqrt{11}-3\sqrt{2}}=\sqrt{\sqrt{11}-\sqrt{9}·\sqrt{2}}= \\ =\sqrt{\sqrt{11}-\sqrt{18}}- \text{не имеет смысла, т.к.} \\ \sqrt{11}-\sqrt{18}<0, \sqrt{11}-3\sqrt{2}<0 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{е) }}\sqrt{2\sqrt{2}-\sqrt{7}}=\sqrt{\sqrt{4}·\sqrt{2}-\sqrt{7}}= \\ =\sqrt{\sqrt{8}-\sqrt{7}}- \text{имеет смысл, т.к.} \\ \sqrt{8}-\sqrt{7}>0, 2\sqrt{2}-\sqrt{7}>0 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{ж) }}\sqrt{6\sqrt{3}-7\sqrt{2}}=\sqrt{\sqrt{36}·\sqrt{3}-\sqrt{49}·\sqrt{2}}= \\ =\sqrt{\sqrt{36·3}-\sqrt{49·2}}=\sqrt{\sqrt{108}-\sqrt{98}} \\ - \text{имеет смысл, т.к.} \sqrt{108}-\sqrt{98}>0, \\ 6\sqrt{3}-7\sqrt{2}>0 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{з) }}\sqrt{\sqrt{186}-5\sqrt{13}}=\sqrt{\sqrt{186}-\sqrt{25}·\sqrt{13}}= \\ =\sqrt{\sqrt{186}-\sqrt{25·13}}=\sqrt{\sqrt{186}-\sqrt{325}} \\ - \text{не имеет смысла, т.к.} \sqrt{186}-\sqrt{325}<0, \\ \sqrt{186}-5\sqrt{13}<0 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{и) }}\sqrt{-\sqrt{186}+5\sqrt{7}}=\sqrt{-\sqrt{186}+\sqrt{25}·\sqrt{7}}= \\ =\sqrt{-\sqrt{186}+\sqrt{25·7}}=\sqrt{-\sqrt{186}+\sqrt{175}}= \\ =\sqrt{\sqrt{175}-\sqrt{186}}- \text{не имеет смысла, т.к.} \\ \sqrt{175}-\sqrt{186}<0, -\sqrt{186}+5\sqrt{7}<0 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{к) }}\sqrt{\sqrt{56}-4\sqrt{2}}=\sqrt{\sqrt{56}-\sqrt{16}·\sqrt{2}}= \\ =\sqrt{\sqrt{56}-\sqrt{16·2}}=\sqrt{\sqrt{56}-\sqrt{32}} \\ - \text{имеет смысл, т.к.} \sqrt{56}-\sqrt{32}>0, \\ \sqrt{56}-4\sqrt{2}>0 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{л) }}\sqrt{\sqrt{42}-6\sqrt{5}}=\sqrt{\sqrt{42}-\sqrt{36}·\sqrt{5}}= \\ =\sqrt{\sqrt{42}-\sqrt{36·5}}=\sqrt{\sqrt{42}-\sqrt{180}} \\ - \text{не имеет смысла, т.к.} \\ \sqrt{42}-\sqrt{180}<0, \sqrt{42}-6\sqrt{5}<0 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{м) }}\sqrt{\sqrt{72}-6\sqrt{2}}=\sqrt{\sqrt{72}-\sqrt{36}·\sqrt{2}}= \\ =\sqrt{\sqrt{72}-\sqrt{36·2}}=\sqrt{\sqrt{72}-\sqrt{72}}= \\ =\sqrt{0}=0 - \text{имеет смысл} \end{gathered}$$

Ответ: в), д), з), и), л)

Выражение с квадратным корнем $\sqrt{A}$ имеет смысл в области действительных чисел, если подкоренное выражение $A$ неотрицательно, то есть $A \ge 0$. Проверим это условие для каждого из данных выражений.

а) $\sqrt{2\sqrt{17}-4}$

Проверим знак подкоренного выражения $2\sqrt{17}-4$. Для этого сравним $2\sqrt{17}$ и $4$. Так как оба числа положительны, сравним их квадраты:
$(2\sqrt{17})^2 = 4 \cdot 17 = 68$.
$4^2 = 16$.
Поскольку $68 > 16$, то $2\sqrt{17} > 4$.
Следовательно, подкоренное выражение $2\sqrt{17}-4$ положительно.
Ответ: выражение имеет смысл.

б) $\sqrt{9-\sqrt{80}}$

Проверим знак подкоренного выражения $9-\sqrt{80}$. Сравним $9$ и $\sqrt{80}$.
Сравним их квадраты:
$9^2 = 81$.
$(\sqrt{80})^2 = 80$.
Поскольку $81 > 80$, то $9 > \sqrt{80}$.
Следовательно, подкоренное выражение $9-\sqrt{80}$ положительно.
Ответ: выражение имеет смысл.

в) $\sqrt{8\sqrt{3}-14}$

Проверим знак подкоренного выражения $8\sqrt{3}-14$. Сравним $8\sqrt{3}$ и $14$.
Сравним их квадраты:
$(8\sqrt{3})^2 = 64 \cdot 3 = 192$.
$14^2 = 196$.
Поскольку $192 < 196$, то $8\sqrt{3} < 14$.
Следовательно, подкоренное выражение $8\sqrt{3}-14$ отрицательно.
Ответ: выражение не имеет смысла.

г) $\sqrt{15-2\sqrt{56}}$

Проверим знак подкоренного выражения $15-2\sqrt{56}$. Сравним $15$ и $2\sqrt{56}$.
Сравним их квадраты:
$15^2 = 225$.
$(2\sqrt{56})^2 = 4 \cdot 56 = 224$.
Поскольку $225 > 224$, то $15 > 2\sqrt{56}$.
Следовательно, подкоренное выражение $15-2\sqrt{56}$ положительно.
Ответ: выражение имеет смысл.

д) $\sqrt{\sqrt{11}-3\sqrt{2}}$

Проверим знак подкоренного выражения $\sqrt{11}-3\sqrt{2}$. Сравним $\sqrt{11}$ и $3\sqrt{2}$.
Сравним их квадраты:
$(\sqrt{11})^2 = 11$.
$(3\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18$.
Поскольку $11 < 18$, то $\sqrt{11} < 3\sqrt{2}$.
Следовательно, подкоренное выражение $\sqrt{11}-3\sqrt{2}$ отрицательно.
Ответ: выражение не имеет смысла.

е) $\sqrt{2\sqrt{2}-\sqrt{7}}$

Проверим знак подкоренного выражения $2\sqrt{2}-\sqrt{7}$. Сравним $2\sqrt{2}$ и $\sqrt{7}$.
Сравним их квадраты:
$(2\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 2 = 8$.
$(\sqrt{7})^2 = 7$.
Поскольку $8 > 7$, то $2\sqrt{2} > \sqrt{7}$.
Следовательно, подкоренное выражение $2\sqrt{2}-\sqrt{7}$ положительно.
Ответ: выражение имеет смысл.

ж) $\sqrt{6\sqrt{3}-7\sqrt{2}}$

Проверим знак подкоренного выражения $6\sqrt{3}-7\sqrt{2}$. Сравним $6\sqrt{3}$ и $7\sqrt{2}$.
Сравним их квадраты:
$(6\sqrt{3})^2 = 36 \cdot 3 = 108$.
$(7\sqrt{2})^2 = 49 \cdot 2 = 98$.
Поскольку $108 > 98$, то $6\sqrt{3} > 7\sqrt{2}$.
Следовательно, подкоренное выражение $6\sqrt{3}-7\sqrt{2}$ положительно.
Ответ: выражение имеет смысл.

з) $\sqrt{\sqrt{186}-5\sqrt{13}}$

Проверим знак подкоренного выражения $\sqrt{186}-5\sqrt{13}$. Сравним $\sqrt{186}$ и $5\sqrt{13}$.
Сравним их квадраты:
$(\sqrt{186})^2 = 186$.
$(5\sqrt{13})^2 = 25 \cdot 13 = 325$.
Поскольку $186 < 325$, то $\sqrt{186} < 5\sqrt{13}$.
Следовательно, подкоренное выражение $\sqrt{186}-5\sqrt{13}$ отрицательно.
Ответ: выражение не имеет смысла.

и) $\sqrt{\sqrt{186}+5\sqrt{7}}$

Подкоренное выражение $\sqrt{186}+5\sqrt{7}$ является суммой двух положительных чисел ($\sqrt{186}>0$ и $5\sqrt{7}>0$), поэтому оно положительно.
Ответ: выражение имеет смысл.

к) $\sqrt{\sqrt{56}-4\sqrt{2}}$

Проверим знак подкоренного выражения $\sqrt{56}-4\sqrt{2}$. Сравним $\sqrt{56}$ и $4\sqrt{2}$.
Сравним их квадраты:
$(\sqrt{56})^2 = 56$.
$(4\sqrt{2})^2 = 16 \cdot 2 = 32$.
Поскольку $56 > 32$, то $\sqrt{56} > 4\sqrt{2}$.
Следовательно, подкоренное выражение $\sqrt{56}-4\sqrt{2}$ положительно.
Ответ: выражение имеет смысл.

л) $\sqrt{\sqrt{42}-6\sqrt{5}}$

Проверим знак подкоренного выражения $\sqrt{42}-6\sqrt{5}$. Сравним $\sqrt{42}$ и $6\sqrt{5}$.
Сравним их квадраты:
$(\sqrt{42})^2 = 42$.
$(6\sqrt{5})^2 = 36 \cdot 5 = 180$.
Поскольку $42 < 180$, то $\sqrt{42} < 6\sqrt{5}$.
Следовательно, подкоренное выражение $\sqrt{42}-6\sqrt{5}$ отрицательно.
Ответ: выражение не имеет смысла.

м) $\sqrt{\sqrt{72}-6\sqrt{2}}$

Проверим знак подкоренного выражения $\sqrt{72}-6\sqrt{2}$.
Упростим $\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$.
Тогда подкоренное выражение равно $6\sqrt{2} - 6\sqrt{2} = 0$.
Так как подкоренное выражение равно нулю, корень из него извлечь можно ($\sqrt{0}=0$).
Ответ: выражение имеет смысл.