Страница 92 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

386. Вычислите:

a) $\sqrt{{\left(0,1\right)}^2}=0,1$

б) $\sqrt{{\left(-0,4\right)}^2}=\left|-0,4\right|=0,4$

в) $\sqrt{{\left(-0,8\right)}^2}=\left|-0,8\right|=0,8$

г) $\sqrt{{\left(1,7\right)}^2}=1,7$

д) $\sqrt{{\left(-19\right)}^2}=\left|-19\right|=19$

е) $\sqrt{{24}^2}=24$

ж) $2\sqrt{{\left(-23\right)}^2}=2·\left|-23\right|=2·23=46$

з) $5\sqrt{{52}^2}=5·52=260$

и) $0,2\sqrt{{\left(-61\right)}^2}=0,2\left|-61\right|=0,2·61=12,2$

а) Для вычисления значения выражения $\sqrt{(0,1)^2}$ воспользуемся свойством арифметического квадратного корня, согласно которому $\sqrt{a^2} = |a|$. В данном случае $a = 0,1$.
$\sqrt{(0,1)^2} = |0,1| = 0,1$.
Ответ: 0,1

б) Для вычисления значения выражения $\sqrt{(-0,4)^2}$ воспользуемся свойством $\sqrt{a^2} = |a|$. Здесь $a = -0,4$.
$\sqrt{(-0,4)^2} = |-0,4| = 0,4$.
Ответ: 0,4

в) Для вычисления значения выражения $\sqrt{(-0,8)^2}$ применим свойство $\sqrt{a^2} = |a|$. В этом примере $a = -0,8$.
$\sqrt{(-0,8)^2} = |-0,8| = 0,8$.
Ответ: 0,8

г) Для вычисления значения выражения $\sqrt{(1,7)^2}$ используем свойство $\sqrt{a^2} = |a|$. Здесь $a = 1,7$.
$\sqrt{(1,7)^2} = |1,7| = 1,7$.
Ответ: 1,7

д) Для вычисления значения выражения $\sqrt{(-19)^2}$ используем свойство $\sqrt{a^2} = |a|$. В данном случае $a = -19$.
$\sqrt{(-19)^2} = |-19| = 19$.
Ответ: 19

е) Для вычисления значения выражения $\sqrt{24^2}$ применим свойство $\sqrt{a^2} = |a|$. Здесь $a = 24$.
$\sqrt{24^2} = |24| = 24$.
Ответ: 24

ж) Для вычисления значения выражения $2\sqrt{(-23)^2}$ сначала упростим корень, используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, где $a = -23$.
$\sqrt{(-23)^2} = |-23| = 23$.
Теперь умножим результат на коэффициент 2:
$2 \cdot 23 = 46$.
Ответ: 46

з) Для вычисления значения выражения $5\sqrt{52^2}$ сначала упростим корень по свойству $\sqrt{a^2} = |a|$, где $a = 52$.
$\sqrt{52^2} = |52| = 52$.
Затем умножим результат на 5:
$5 \cdot 52 = 260$.
Ответ: 260

и) Для вычисления значения выражения $0,2\sqrt{(-61)^2}$ сначала вычислим значение корня, используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, где $a = -61$.
$\sqrt{(-61)^2} = |-61| = 61$.
Далее умножим результат на коэффициент 0,2:
$0,2 \cdot 61 = 12,2$.
Ответ: 12,2

387. Найдите значение выражения:

a) при x=22 $\sqrt{x^2}=\sqrt{{22}^2}=22$

при x=-35 $\sqrt{x^2}=\sqrt{{\left(-35\right)}^2}=\left|-35\right|=35$

при x=$\mathbf{-}\mathbf{1}\frac{\mathbf{2}}{\mathbf{3}}$ $\sqrt{x^2}=\sqrt{{\left(-1\frac{2}{3}\right)}^2}=\left|-1\frac{2}{3}\right|=1\frac{2}{3}$

при x=0 $\sqrt{x^2}=\sqrt{0^2}=0$

б) при x=-7 $2\sqrt{a^2}=2\sqrt{{\left(-7\right)}^2}=2\left|-7\right|=2·7=14$

при x=12 $2\sqrt{a^2}=2\sqrt{{12}^2}=2·12=24$

в) при x=-15 $0,1\sqrt{y^2}=0,1\sqrt{{\left(-15\right)}^2}=0,1·\left|-15\right|=0,1·15=1,5$

при x=27 $0,1\sqrt{y^2}=0,1\sqrt{{27}^2}=0,1·27=2,7$

Для решения этой задачи используется основное свойство арифметического квадратного корня, которое гласит, что для любого числа $a$ справедливо тождество $\sqrt{a^2} = |a|$. Здесь $|a|$ — это модуль (абсолютная величина) числа $a$. Напомним определение модуля:

$|a| = a$, если $a \geq 0$

$|a| = -a$, если $a < 0$

а) Найдем значение выражения $\sqrt{x^2}$ при $x = 22; -35; -1\frac{2}{3}; 0$.

При $x = 22$ (положительное число):
$\sqrt{x^2} = \sqrt{22^2} = |22| = 22$.

При $x = -35$ (отрицательное число):
$\sqrt{x^2} = \sqrt{(-35)^2} = |-35| = -(-35) = 35$.

При $x = -1\frac{2}{3}$ (отрицательное число):
$\sqrt{x^2} = \sqrt{(-1\frac{2}{3})^2} = |-1\frac{2}{3}| = -(-1\frac{2}{3}) = 1\frac{2}{3}$.

При $x = 0$:
$\sqrt{x^2} = \sqrt{0^2} = |0| = 0$.

Ответ: 22; 35; $1\frac{2}{3}$; 0.

б) Найдем значение выражения $2\sqrt{a^2}$ при $a = -7; 12$.

При $a = -7$ (отрицательное число):
$2\sqrt{a^2} = 2\sqrt{(-7)^2} = 2 \cdot |-7| = 2 \cdot 7 = 14$.

При $a = 12$ (положительное число):
$2\sqrt{a^2} = 2\sqrt{12^2} = 2 \cdot |12| = 2 \cdot 12 = 24$.

Ответ: 14; 24.

в) Найдем значение выражения $0,1\sqrt{y^2}$ при $y = -15; 27$.

При $y = -15$ (отрицательное число):
$0,1\sqrt{y^2} = 0,1\sqrt{(-15)^2} = 0,1 \cdot |-15| = 0,1 \cdot 15 = 1,5$.

При $y = 27$ (положительное число):
$0,1\sqrt{y^2} = 0,1\sqrt{27^2} = 0,1 \cdot |27| = 0,1 \cdot 27 = 2,7$.

Ответ: 1,5; 2,7.

388. Замените выражение тождественно равным:

a) $\sqrt{p^8}=\sqrt{{\left(p^4\right)}^2}=p^4$

б) $\sqrt{y^2}=\left|y\right|$

в) $3\sqrt{b^2}=3\left|b\right|$

г) $-0,2\sqrt{x^2}=-0,2\left|x\right|$

д) $\sqrt{25a^2}=\sqrt{25}·\sqrt{a^2}=5\left|a\right|$

Для решения данных задач воспользуемся основным тождеством для арифметического квадратного корня $\sqrt{a^2} = |a|$, которое справедливо для любого действительного числа $a$.

а)

Рассмотрим выражение $\sqrt{p^8}$.
Представим подкоренное выражение $p^8$ в виде квадрата другого выражения, используя свойство степеней $(a^m)^n = a^{mn}$: $p^8 = (p^4)^2$.
Тогда $\sqrt{p^8} = \sqrt{(p^4)^2}$.
Применяя тождество $\sqrt{a^2} = |a|$ для $a = p^4$, получаем: $\sqrt{(p^4)^2} = |p^4|$.
Поскольку показатель степени 4 является четным числом, выражение $p^4$ всегда неотрицательно (то есть $p^4 \ge 0$) для любого действительного значения $p$.
Модуль неотрицательного числа равен самому числу, следовательно, $|p^4| = p^4$.

Ответ: $p^4$

б)

Рассмотрим выражение $\sqrt{y^2}$.
Это прямое применение тождества $\sqrt{a^2} = |a|$, где в данном случае $a = y$.
Следовательно, $\sqrt{y^2} = |y|$.
Знак модуля обязателен, так как переменная $y$ может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Например, если $y = -5$, то $\sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5$, что в точности равно $|-5|$.

Ответ: $|y|$

в)

Рассмотрим выражение $3\sqrt{b^2}$.
Сначала упростим выражение под корнем: $\sqrt{b^2}$.
Используя тождество $\sqrt{a^2} = |a|$, где $a = b$, получаем $\sqrt{b^2} = |b|$.
Затем умножим результат на коэффициент 3: $3 \cdot |b| = 3|b|$.

Ответ: $3|b|$

г)

Рассмотрим выражение $-0,2\sqrt{x^2}$.
Упростим корень $\sqrt{x^2}$. Применяя тождество $\sqrt{a^2} = |a|$, где $a = x$, получаем $\sqrt{x^2} = |x|$.
Далее, умножим полученное выражение на коэффициент $-0,2$: $-0,2 \cdot |x| = -0,2|x|$.

Ответ: $-0,2|x|$

д)

Рассмотрим выражение $\sqrt{25a^2}$.
Представим подкоренное выражение $25a^2$ в виде полного квадрата: $25a^2 = 5^2 \cdot a^2 = (5a)^2$.
Тогда $\sqrt{25a^2} = \sqrt{(5a)^2}$.
Применим тождество $\sqrt{A^2} = |A|$, где $A = 5a$, и получим $\sqrt{(5a)^2} = |5a|$.
Используя свойство модуля произведения $|xy| = |x| \cdot |y|$, можем записать: $|5a| = |5| \cdot |a| = 5|a|$.

Ответ: $5|a|$