Страница 94 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

397. Вычислите:

$\mathbf{\text{a}}\mathbf{)}\mathbf{ }\sqrt{2304}=48$ (таблица квадратов)

$$\begin{gathered} \begin{array}{crc}\mathbf{\text{б)}}& 18225& 3\\ & 6075& 3\\ & 2025& 3\\ & 675& 3\\ & 225& 3\\ & 75& 3\\ & 25& 5\\ & 5& 5\\ & 1& \end{array} \\ \sqrt{18225}=\sqrt{3^6·5^2}=\sqrt{{\left(3^3\right)}^2}·\sqrt{5^2}= \\ =3^3·5=27·5=135 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \begin{array}{crc}\mathbf{\text{в)}}& 254016& 2\\ & 127008& 2\\ & 63504& 2\\ & 31752& 2\\ & 15876& 2\\ & 7938& 2\\ & 3969& 3\\ & 1323& 3\\ & 441& 3\\ & 147& 3\\ & 49& 7\\ & 7& 7\\ & 1& \end{array} \\ \sqrt{254016}=\sqrt{2^6·3^4·7^2}=\sqrt{{\left(2^3\right)}^2}·\sqrt{{\left(3^2\right)}^2}·\sqrt{7^2}= \\ =2^3·3^2·7=8·9·7=72·7=504 \end{gathered}$$

а) $\sqrt{2304}$

Для вычисления корня из числа 2304 воспользуемся методом оценки.
1. Сначала определим границы, в которых лежит корень. Возведем в квадрат "круглые" числа, близкие к искомому: $40^2 = 1600$ и $50^2 = 2500$. Поскольку $1600 < 2304 < 2500$, корень из 2304 находится в промежутке между 40 и 50.
2. Теперь обратим внимание на последнюю цифру подкоренного числа — 4. Квадрат целого числа может оканчиваться на 4, только если само число оканчивается на 2 (так как $2^2=4$) или на 8 (так как $8^2=64$).
3. Из этих двух наблюдений следует, что искомым числом может быть либо 42, либо 48.
4. Проверим эти два варианта:
$42^2 = 42 \cdot 42 = 1764$ (неверно).
$48^2 = 48 \cdot 48 = 2304$ (верно).
Следовательно, $\sqrt{2304} = 48$.

Ответ: 48

б) $\sqrt{18225}$

1. Число 18225 оканчивается на 5, а это значит, что его квадратный корень также должен оканчиваться на 5.
2. Воспользуемся свойством квадратов чисел, оканчивающихся на 5: $(10a + 5)^2 = 100a(a+1) + 25$. Это означает, что квадрат такого числа всегда оканчивается на 25, а число, стоящее перед 25 (число сотен), равно произведению $a \cdot (a+1)$.
3. В нашем числе 18225 часть, стоящая перед 25, равна 182. Нам необходимо найти такое целое число $a$, что $a \cdot (a+1) = 182$.
4. Методом подбора находим значение $a$. Пробуем числа, близкие к $\sqrt{182}$: $13 \cdot 14 = 182$. Таким образом, мы нашли, что $a=13$.
5. Искомое число равно $10a+5 = 10 \cdot 13 + 5 = 135$.
Проверка: $135^2 = (130+5)^2 = 16900 + 2 \cdot 130 \cdot 5 + 25 = 16900 + 1300 + 25 = 18225$.
Следовательно, $\sqrt{18225} = 135$.

Ответ: 135

в) $\sqrt{254016}$

Применим тот же метод оценки, что и в первом пункте.
1. Определим диапазон. $500^2 = 250000$ и $510^2 = 260100$. Так как $250000 < 254016 < 260100$, корень находится между 500 и 510.
2. Последняя цифра числа 254016 — это 6. Квадрат целого числа оканчивается на 6, если само число оканчивается на 4 (так как $4^2=16$) или на 6 (так как $6^2=36$).
3. Таким образом, возможные кандидаты на роль корня — это 504 и 506.
4. Проверим один из вариантов, например, 504:
$504^2 = (500+4)^2 = 500^2 + 2 \cdot 500 \cdot 4 + 4^2 = 250000 + 4000 + 16 = 254016$.
Этот вариант является правильным.
Следовательно, $\sqrt{254016} = 504$.

Ответ: 504

398. На рисунке 20 изображены графики функций y = 2x + 2, y = – x4– 3 и y = –2x + 2. Для каждой функции укажите её график.

$$\begin{gathered} y=2x+2 - \mathit{a}\mathbf{)} \\ y=-\frac{x}{4}-3 -\mathbf{ }\mathit{c}\mathbf{)} \\ y=-2x+2 -\mathbf{ }\mathit{b}\mathbf{)} \end{gathered}$$

Чтобы сопоставить каждой функции её график, необходимо проанализировать их ключевые характеристики: угловой коэффициент $k$ и свободный член $b$ в уравнении вида $y = kx + b$.

• Коэффициент $k$ определяет наклон прямой: если $k > 0$, функция возрастает (график идет вверх слева направо); если $k < 0$, функция убывает (график идет вниз).
• Коэффициент $b$ показывает точку пересечения графика с осью $y$. Пересечение происходит в точке $(0, b)$.

$y = 2x + 2$

Для этой функции угловой коэффициент $k = 2$, а свободный член $b = 2$. Так как $k=2 > 0$, график является возрастающей прямой. Так как $b=2$, прямая пересекает ось ординат ($y$) в точке $(0, 2)$. Найдем точку пересечения с осью абсцисс ($x$), приравняв $y$ к нулю: $0 = 2x + 2 \Rightarrow 2x = -2 \Rightarrow x = -1$.

Ответ: График этой функции — возрастающая прямая, проходящая через точку $(0, 2)$ на оси $y$.

$y = -\frac{x}{4} - 3$

Для этой функции угловой коэффициент $k = -\frac{1}{4}$, а свободный член $b = -3$. Так как $k = -1/4 < 0$, график является убывающей прямой. Так как $b = -3$, прямая пересекает ось ординат ($y$) в точке $(0, -3)$. Найдем точку пересечения с осью абсцисс ($x$): $0 = -\frac{x}{4} - 3 \Rightarrow \frac{x}{4} = -3 \Rightarrow x = -12$.

Ответ: График этой функции — убывающая прямая, которая пересекает ось $y$ в точке $(0, -3)$. Это единственный из трех графиков, пересекающий ось $y$ ниже оси $x$.

$y = -2x + 2$

Для этой функции угловой коэффициент $k = -2$, а свободный член $b = 2$. Так как $k = -2 < 0$, график является убывающей прямой. Так как $b = 2$, прямая пересекает ось ординат ($y$) в точке $(0, 2)$. Найдем точку пересечения с осью абсцисс ($x$): $0 = -2x + 2 \Rightarrow 2x = 2 \Rightarrow x = 1$.

Ответ: График этой функции — убывающая прямая, проходящая через точку $(0, 2)$ на оси $y$.

Краткая инструкция по сопоставлению с рисунком 20:

1. Найдите прямую, которая пересекает ось $y$ в точке $-3$. Это график функции $y = -\frac{x}{4} - 3$.

2. Две другие прямые пересекают ось $y$ в точке $2$.

3. Из этих двух прямых та, которая идет вверх (возрастает), является графиком $y = 2x + 2$.

4. Та, которая идет вниз (убывает), является графиком $y = -2x + 2$.

399. Объём цилиндра вычисляется по формуле V = πR²H, где R — радиус основания, H — высота цилиндра. Выразите переменную R через V и H.

$$\begin{gathered} V={\mathrm{\pi R}}^2\mathrm{H} \\ {\mathrm{R}}^2=\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{\pi H}} \\ \mathrm{R}=\sqrt{\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{\pi H}}} \end{gathered}$$

Исходная формула для объёма цилиндра: $V = \pi R^2 H$. Чтобы выразить переменную $R$ (радиус основания) через $V$ (объём) и $H$ (высоту), необходимо выполнить ряд алгебраических преобразований.

1. Первым шагом изолируем член $R^2$. Для этого разделим обе части уравнения на $\pi H$ (считая, что $H \ne 0$):
$\frac{V}{\pi H} = \frac{\pi R^2 H}{\pi H}$
После сокращения получаем:
$R^2 = \frac{V}{\pi H}$

2. Вторым шагом найдём $R$, извлекая квадратный корень из обеих частей равенства:
$\sqrt{R^2} = \sqrt{\frac{V}{\pi H}}$
$R = \sqrt{\frac{V}{\pi H}}$

Поскольку радиус $R$ является физической величиной (длиной), он не может быть отрицательным. Поэтому мы рассматриваем только положительное значение квадратного корня.

Ответ: $R = \sqrt{\frac{V}{\pi H}}$

1. Сформулируйте и докажите теорему о квадратном корне из произведения.

Если a≥0 и b≥0, то $\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}.$

Каждое из выражений $\sqrt{a}·\sqrt{b} \text{и} \sqrt{ab}$ имеет смысл, так как a≥0 и b≥0. Покажем, что выполняются два условия:
1) $\sqrt{a}·\sqrt{b}\ge 0;$
2) ${\left(\sqrt{a}·\sqrt{b}\right)}^2=ab.$

Так как выражения $\sqrt{a} \text{и} \sqrt{b}$ принимают лишь неотрицательные значения, то произведение $\sqrt{a}·\sqrt{b}$ неотрицательно.

Используя свойство степени произведения, получим

${\left(\sqrt{a}·\sqrt{b}\right)}^2={\left(\sqrt{a}{)}^2·(\sqrt{b}\right)}^2=ab.$

Мы показали, что условия 1 и 2 выполняются. Значит, по определению арифметического квадратного корня при любых неотрицательных значениях а и b верно равенство

$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}.$

Формулировка теоремы

Если множители под знаком квадратного корня неотрицательны, то корень из их произведения равен произведению корней из этих множителей.

Иными словами, для любых неотрицательных чисел $a$ и $b$ (то есть при $a \ge 0$ и $b \ge 0$) справедливо следующее равенство: $$ \sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} $$

Доказательство

Согласно определению арифметического квадратного корня, чтобы доказать равенство $\sqrt{X} = Y$, необходимо показать, что выполняются два условия:
1. $Y \ge 0$
2. $Y^2 = X$

В нашем случае $X = ab$ и $Y = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$. Проверим выполнение этих двух условий для выражения $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$.

1. Проверка неотрицательности.
По условию теоремы, числа $a$ и $b$ неотрицательны: $a \ge 0$ и $b \ge 0$. По определению арифметического квадратного корня, $\sqrt{a} \ge 0$ и $\sqrt{b} \ge 0$. Произведение двух неотрицательных чисел также является неотрицательным числом. Следовательно, $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \ge 0$. Первое условие выполняется.

2. Проверка равенства квадрата подкоренному выражению.
Возведем выражение $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ в квадрат. Используем свойство степени произведения, согласно которому $(xy)^n = x^n y^n$: $$ (\sqrt{a} \cdot \sqrt{b})^2 = (\sqrt{a})^2 \cdot (\sqrt{b})^2 $$ По определению арифметического квадратного корня, для любого неотрицательного числа $x$ верно, что $(\sqrt{x})^2 = x$. Применив это свойство, получаем: $$ (\sqrt{a})^2 = a \quad \text{и} \quad (\sqrt{b})^2 = b $$ Тогда: $$ (\sqrt{a} \cdot \sqrt{b})^2 = a \cdot b = ab $$ Второе условие также выполняется.

Поскольку оба условия определения арифметического квадратного корня для выражения $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ выполняются, мы доказали, что при $a \ge 0$ и $b \ge 0$ равенство $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ является верным. Что и требовалось доказать.

Ответ: Формулировка теоремы: для любых неотрицательных чисел $a$ и $b$ справедливо равенство $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$. Доказательство: основывается на проверке двух условий из определения арифметического квадратного корня для выражения $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$. Во-первых, оно неотрицательно, так как является произведением двух неотрицательных корней. Во-вторых, его квадрат равен $ab$, так как $(\sqrt{a} \cdot \sqrt{b})^2 = (\sqrt{a})^2 \cdot (\sqrt{b})^2 = ab$.

2. Сформулируйте и докажите теорему о квадратном корне из дроби.

Если а≥0 и b>0, то $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}.$
• Каждое из выражений $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ имеет смысл, так как а≥0 и b>0.

Покажем, что выполняются два условия: $1) \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\ge 0;$ $2) {\left(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\right)}^2=\frac{a}{b}.$

Так как выражение $\sqrt{a}$ неотрицательно, а выражение $\sqrt{b}$ положительно, то частное $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ неотрицательно. Используя свойство степени частного, получим ${\left(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\right)}^2=\frac{\sqrt{a^2}}{\sqrt{b^2}}=\frac{a}{b}.$ Мы показали, что условия 1 и 2 выполняются. Значит, по определению арифметического квадратного корня при любых неотрицательных значениях а и положительных b верно равенство $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}},$ что требовалось доказать.

Формулировка теоремы

Если числитель дроби $a$ неотрицателен ($a \ge 0$), а знаменатель $b$ положителен ($b > 0$), то арифметический квадратный корень из этой дроби равен частному от деления арифметического квадратного корня из числителя на арифметический квадратный корень из знаменателя.

В виде формулы это записывается так:

$ \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} $

Доказательство теоремы

Чтобы доказать эту теорему, мы должны, исходя из определения арифметического квадратного корня, показать, что выражение $ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} $ удовлетворяет двум условиям:

1. Оно неотрицательно.

2. Его квадрат равен подкоренному выражению $ \frac{a}{b} $.

Дано: $ a \ge 0 $, $ b > 0 $.

Доказать: $ \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} $.

Проверка первого условия (неотрицательность):

По определению арифметического квадратного корня, если $ a \ge 0 $, то $ \sqrt{a} \ge 0 $. Если $ b > 0 $, то $ \sqrt{b} > 0 $.

Частное от деления неотрицательного числа $ \sqrt{a} $ на положительное число $ \sqrt{b} $ является неотрицательным числом.

Следовательно, $ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \ge 0 $. Первое условие выполнено.

Проверка второго условия (возведение в квадрат):

Возведем выражение $ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} $ в квадрат, используя свойство степени дроби $ \left(\frac{x}{y}\right)^n = \frac{x^n}{y^n} $:

$ \left(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\right)^2 = \frac{(\sqrt{a})^2}{(\sqrt{b})^2} $

По определению арифметического квадратного корня, $ (\sqrt{a})^2 = a $ и $ (\sqrt{b})^2 = b $.

Таким образом, получаем:

$ \left(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\right)^2 = \frac{a}{b} $

Второе условие также выполнено.

Поскольку оба условия определения арифметического квадратного корня для выражения $ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} $ выполняются, то данное выражение и является арифметическим квадратным корнем из дроби $ \frac{a}{b} $. Теорема доказана.

Ответ: Теорема о квадратном корне из дроби формулируется следующим образом: для любого неотрицательного числа $a$ и любого положительного числа $b$ справедливо равенство $ \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} $. Доказательство, приведённое выше, подтверждает данную теорему, основываясь на определении арифметического квадратного корня.

3. Докажите тождество x² =|х|.

При любом значении х верно равенство

$\sqrt{x^2}=\left|x\right|. \left(1\right)$

Рассмотрим два случая: х≥0 и х<0.

Если х≥0, то по определению арифметического квадратного корня $\sqrt{x^2}=x.$

Если х<0, то -x>0, поэтому $\sqrt{x^2}=\sqrt{{\left(-x\right)}^2}=-x.$

Мы знаем, что |x|=x, если х≥0, и |x|=-x, если х<0. Значит, при любом х значение выражения $\sqrt{x^2}$ совпадает со значением выражения |x|.

Для доказательства тождества $\sqrt{x^2} = |x|$ необходимо рассмотреть все возможные действительные значения переменной $x$. Доказательство основывается на определениях арифметического квадратного корня и модуля числа.

Определение арифметического квадратного корня: Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа $a$ (обозначается $\sqrt{a}$) называется такое неотрицательное число $b$, квадрат которого равен $a$. То есть, $\sqrt{a} = b$, где $b \ge 0$ и $b^2 = a$.

Определение модуля (абсолютной величины): Модуль числа $x$ (обозначается $|x|$) определяется следующим образом:

$|x| = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0 \\ -x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Чтобы доказать тождество, мы должны показать, что равенство верно при любых значениях $x$. Для этого разделим все возможные значения $x$ на два случая.

Случай 1: $x \ge 0$ (x — неотрицательное число).

Рассмотрим левую часть равенства: $\sqrt{x^2}$. По определению арифметического корня, нам нужно найти неотрицательное число, квадрат которого равен $x^2$. По условию этого случая, само число $x$ является неотрицательным ($x \ge 0$). Его квадрат, очевидно, равен $x^2$. Следовательно, для $x \ge 0$, имеем $\sqrt{x^2} = x$.

Теперь рассмотрим правую часть равенства: $|x|$. По определению модуля, если $x \ge 0$, то $|x| = x$.

Таким образом, в этом случае и левая, и правая части равенства равны $x$, а значит, тождество $\sqrt{x^2} = |x|$ верно.

Случай 2: $x < 0$ (x — отрицательное число).

Рассмотрим левую часть равенства: $\sqrt{x^2}$. Нам снова нужно найти неотрицательное число, квадрат которого равен $x^2$. Само число $x$ в этом случае не подходит, так как по условию оно отрицательно ($x < 0$), а значение арифметического корня не может быть отрицательным.

Рассмотрим число $-x$. Так как $x < 0$, то $-x > 0$, то есть $-x$ является положительным числом. Найдем его квадрат: $(-x)^2 = x^2$.

Число $-x$ является неотрицательным, и его квадрат равен $x^2$. Это полностью соответствует определению арифметического корня. Следовательно, для $x < 0$, имеем $\sqrt{x^2} = -x$.

Теперь рассмотрим правую часть равенства: $|x|$. По определению модуля, если $x < 0$, то $|x| = -x$.

Таким образом, и в этом случае левая и правая части равенства равны $-x$, а значит, тождество $\sqrt{x^2} = |x|$ снова верно.

Мы рассмотрели все возможные действительные значения $x$ (неотрицательные и отрицательные) и показали, что в каждом из них равенство $\sqrt{x^2} = |x|$ выполняется. Это означает, что данное равенство является тождеством.

Ответ: Тождество $\sqrt{x^2} = |x|$ доказано.

4. Покажите на примере выражения a¹², как извлекается квадратный корень из степени с чётным показателем.

$\sqrt{a^{12}}=\sqrt{{\left(a^6\right)}^2}=\left|a^6\right|.$ Так как $a^6\ge 0$ при любом а, то $\left|a^6\right|=a^6$

Итак, $\sqrt{a^{12}}=a^6.$

Для извлечения квадратного корня из степени с чётным показателем используется основное свойство арифметического квадратного корня $\sqrt{x^2} = |x|$ и свойство степеней $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.

Рассмотрим выражение $\sqrt{a^{12}}$. Показатель степени под корнем, равный 12, является чётным числом. Чтобы извлечь корень, необходимо представить подкоренное выражение в виде квадрата некоторого другого выражения. Для этого мы делим показатель степени на 2:

$12 : 2 = 6$

Используя свойство степеней, мы можем записать $a^{12}$ как $(a^6)^2$. Теперь подставим это в исходное выражение:

$\sqrt{a^{12}} = \sqrt{(a^6)^2}$

По определению арифметического квадратного корня, $\sqrt{b^2}$ равен модулю $b$. В нашем случае роль $b$ играет выражение $a^6$. Следовательно:

$\sqrt{(a^6)^2} = |a^6|$

Далее нужно рассмотреть выражение под знаком модуля. Поскольку показатель степени 6 является чётным, значение выражения $a^6$ всегда будет неотрицательным (больше или равно нулю) при любом действительном значении $a$. Модуль неотрицательного числа равен самому этому числу. Поэтому знак модуля можно опустить:

$|a^6| = a^6$

Таким образом, извлечение квадратного корня из степени с чётным показателем сводится к делению этого показателя на 2.
Ответ: $\sqrt{a^{12}} = a^6$.