Номер 3, страница 94 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Контрольные вопросы и задания. § 5. Свойства арифмитического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 3, страница 94.

3. Докажите тождество x² =|х|.

При любом значении х верно равенство

$\sqrt{x^2}=\left|x\right|. \left(1\right)$

Рассмотрим два случая: х≥0 и х<0.

Если х≥0, то по определению арифметического квадратного корня $\sqrt{x^2}=x.$

Если х<0, то -x>0, поэтому $\sqrt{x^2}=\sqrt{{\left(-x\right)}^2}=-x.$

Мы знаем, что |x|=x, если х≥0, и |x|=-x, если х<0. Значит, при любом х значение выражения $\sqrt{x^2}$ совпадает со значением выражения |x|.

Для доказательства тождества $\sqrt{x^2} = |x|$ необходимо рассмотреть все возможные действительные значения переменной $x$. Доказательство основывается на определениях арифметического квадратного корня и модуля числа.

Определение арифметического квадратного корня: Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа $a$ (обозначается $\sqrt{a}$) называется такое неотрицательное число $b$, квадрат которого равен $a$. То есть, $\sqrt{a} = b$, где $b \ge 0$ и $b^2 = a$.

Определение модуля (абсолютной величины): Модуль числа $x$ (обозначается $|x|$) определяется следующим образом:

$|x| = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0 \\ -x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Чтобы доказать тождество, мы должны показать, что равенство верно при любых значениях $x$. Для этого разделим все возможные значения $x$ на два случая.

Случай 1: $x \ge 0$ (x — неотрицательное число).

Рассмотрим левую часть равенства: $\sqrt{x^2}$. По определению арифметического корня, нам нужно найти неотрицательное число, квадрат которого равен $x^2$. По условию этого случая, само число $x$ является неотрицательным ($x \ge 0$). Его квадрат, очевидно, равен $x^2$. Следовательно, для $x \ge 0$, имеем $\sqrt{x^2} = x$.

Теперь рассмотрим правую часть равенства: $|x|$. По определению модуля, если $x \ge 0$, то $|x| = x$.

Таким образом, в этом случае и левая, и правая части равенства равны $x$, а значит, тождество $\sqrt{x^2} = |x|$ верно.

Случай 2: $x < 0$ (x — отрицательное число).

Рассмотрим левую часть равенства: $\sqrt{x^2}$. Нам снова нужно найти неотрицательное число, квадрат которого равен $x^2$. Само число $x$ в этом случае не подходит, так как по условию оно отрицательно ($x < 0$), а значение арифметического корня не может быть отрицательным.

Рассмотрим число $-x$. Так как $x < 0$, то $-x > 0$, то есть $-x$ является положительным числом. Найдем его квадрат: $(-x)^2 = x^2$.

Число $-x$ является неотрицательным, и его квадрат равен $x^2$. Это полностью соответствует определению арифметического корня. Следовательно, для $x < 0$, имеем $\sqrt{x^2} = -x$.

Теперь рассмотрим правую часть равенства: $|x|$. По определению модуля, если $x < 0$, то $|x| = -x$.

Таким образом, и в этом случае левая и правая части равенства равны $-x$, а значит, тождество $\sqrt{x^2} = |x|$ снова верно.

Мы рассмотрели все возможные действительные значения $x$ (неотрицательные и отрицательные) и показали, что в каждом из них равенство $\sqrt{x^2} = |x|$ выполняется. Это означает, что данное равенство является тождеством.

Ответ: Тождество $\sqrt{x^2} = |x|$ доказано.