Номер 1, страница 94 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Контрольные вопросы и задания. § 5. Свойства арифмитического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 1, страница 94.

1. Сформулируйте и докажите теорему о квадратном корне из произведения.

Если a≥0 и b≥0, то $\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}.$

Каждое из выражений $\sqrt{a}·\sqrt{b} \text{и} \sqrt{ab}$ имеет смысл, так как a≥0 и b≥0. Покажем, что выполняются два условия:
1) $\sqrt{a}·\sqrt{b}\ge 0;$
2) ${\left(\sqrt{a}·\sqrt{b}\right)}^2=ab.$

Так как выражения $\sqrt{a} \text{и} \sqrt{b}$ принимают лишь неотрицательные значения, то произведение $\sqrt{a}·\sqrt{b}$ неотрицательно.

Используя свойство степени произведения, получим

${\left(\sqrt{a}·\sqrt{b}\right)}^2={\left(\sqrt{a}{)}^2·(\sqrt{b}\right)}^2=ab.$

Мы показали, что условия 1 и 2 выполняются. Значит, по определению арифметического квадратного корня при любых неотрицательных значениях а и b верно равенство

$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}.$

Формулировка теоремы

Если множители под знаком квадратного корня неотрицательны, то корень из их произведения равен произведению корней из этих множителей.

Иными словами, для любых неотрицательных чисел $a$ и $b$ (то есть при $a \ge 0$ и $b \ge 0$) справедливо следующее равенство: $$ \sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} $$

Доказательство

Согласно определению арифметического квадратного корня, чтобы доказать равенство $\sqrt{X} = Y$, необходимо показать, что выполняются два условия:
1. $Y \ge 0$
2. $Y^2 = X$

В нашем случае $X = ab$ и $Y = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$. Проверим выполнение этих двух условий для выражения $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$.

1. Проверка неотрицательности.
По условию теоремы, числа $a$ и $b$ неотрицательны: $a \ge 0$ и $b \ge 0$. По определению арифметического квадратного корня, $\sqrt{a} \ge 0$ и $\sqrt{b} \ge 0$. Произведение двух неотрицательных чисел также является неотрицательным числом. Следовательно, $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \ge 0$. Первое условие выполняется.

2. Проверка равенства квадрата подкоренному выражению.
Возведем выражение $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ в квадрат. Используем свойство степени произведения, согласно которому $(xy)^n = x^n y^n$: $$ (\sqrt{a} \cdot \sqrt{b})^2 = (\sqrt{a})^2 \cdot (\sqrt{b})^2 $$ По определению арифметического квадратного корня, для любого неотрицательного числа $x$ верно, что $(\sqrt{x})^2 = x$. Применив это свойство, получаем: $$ (\sqrt{a})^2 = a \quad \text{и} \quad (\sqrt{b})^2 = b $$ Тогда: $$ (\sqrt{a} \cdot \sqrt{b})^2 = a \cdot b = ab $$ Второе условие также выполняется.

Поскольку оба условия определения арифметического квадратного корня для выражения $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ выполняются, мы доказали, что при $a \ge 0$ и $b \ge 0$ равенство $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ является верным. Что и требовалось доказать.

Ответ: Формулировка теоремы: для любых неотрицательных чисел $a$ и $b$ справедливо равенство $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$. Доказательство: основывается на проверке двух условий из определения арифметического квадратного корня для выражения $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$. Во-первых, оно неотрицательно, так как является произведением двух неотрицательных корней. Во-вторых, его квадрат равен $ab$, так как $(\sqrt{a} \cdot \sqrt{b})^2 = (\sqrt{a})^2 \cdot (\sqrt{b})^2 = ab$.