Номер 393, страница 93 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

16. Квадратный корень из степени. § 5. Свойства арифмитического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 393, страница 93.

393. Упростите выражение:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\sqrt{7+4\sqrt{3}}=\sqrt{2^2+{\left(\sqrt{3}\right)}^2+2·2\sqrt{3}}= \\ =\sqrt{{(2+\sqrt{3})}^2}=\left|2+\sqrt{3}\right|=2+\sqrt{3} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\sqrt{6-2\sqrt{5}}=\sqrt{1^2+{\left(\sqrt{5}\right)}^2-2\sqrt{5}}= \\ =\sqrt{{(1-\sqrt{5})}^2}=\left|1-\sqrt{5}\right|=-(1-\sqrt{5})=\sqrt{5}-1 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\sqrt{5+2\sqrt{6}}=\sqrt{{\left(\sqrt{3}\right)}^2+{\left(\sqrt{2}\right)}^2+2\sqrt{6}}= \\ =\sqrt{{(\sqrt{3}+\sqrt{2})}^2}=\left|\sqrt{3}+\sqrt{2}\right|=\sqrt{3}+\sqrt{2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\sqrt{3-\sqrt{8}}=\sqrt{3-\sqrt{4·2}}=\sqrt{3-\sqrt{4}·\sqrt{2}}= \\ =\sqrt{3-2\sqrt{2}}=\sqrt{1+{\left(\sqrt{2}\right)}^2-2\sqrt{2}}=\sqrt{{(1-\sqrt{2})}^2}= \\ =\left|1-\sqrt{2}\right|=-(1-\sqrt{2})=\sqrt{2}-1 \end{gathered}$$

а) Упростим выражение $\sqrt{7+4\sqrt{3}}$.

Для того чтобы упростить данное выражение, представим подкоренное выражение $7+4\sqrt{3}$ в виде полного квадрата суммы, используя формулу $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.

Преобразуем слагаемое с корнем к виду $2ab$: $4\sqrt{3} = 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3}$. Из этого можно предположить, что $a=2$ и $b=\sqrt{3}$.

Проверим, равно ли $a^2+b^2$ первому слагаемому, то есть 7.

$a^2+b^2 = 2^2 + (\sqrt{3})^2 = 4+3=7$.

Равенство выполняется, значит, мы можем записать: $7+4\sqrt{3} = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = (2+\sqrt{3})^2$.

Следовательно, исходное выражение принимает вид: $\sqrt{7+4\sqrt{3}} = \sqrt{(2+\sqrt{3})^2}$.

Так как $2+\sqrt{3}$ — положительное число, корень из квадрата этого числа равен самому числу: $\sqrt{(2+\sqrt{3})^2} = 2+\sqrt{3}$.

Ответ: $2+\sqrt{3}$.

б) Упростим выражение $\sqrt{6-2\sqrt{5}}$.

Представим подкоренное выражение $6-2\sqrt{5}$ в виде полного квадрата разности, используя формулу $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$.

Слагаемое $-2\sqrt{5}$ уже имеет вид $-2ab$, где можно предположить, что $a=\sqrt{5}$ и $b=1$.

Проверим, равно ли $a^2+b^2$ первому слагаемому, то есть 6.

$a^2+b^2 = (\sqrt{5})^2 + 1^2 = 5+1=6$.

Равенство выполняется, значит: $6-2\sqrt{5} = (\sqrt{5})^2 - 2\cdot\sqrt{5}\cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{5}-1)^2$.

Следовательно, исходное выражение принимает вид: $\sqrt{6-2\sqrt{5}} = \sqrt{(\sqrt{5}-1)^2}$.

Так как $\sqrt{5} \approx 2.24$, то $\sqrt{5}-1 > 0$. Значит, $\sqrt{(\sqrt{5}-1)^2} = \sqrt{5}-1$.

Ответ: $\sqrt{5}-1$.

в) Упростим выражение $\sqrt{5+2\sqrt{6}}$.

Представим подкоренное выражение $5+2\sqrt{6}$ в виде полного квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.

Слагаемое $2\sqrt{6}$ представим в виде $2ab$: $2\sqrt{6} = 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{2}$. Отсюда можно предположить, что $a=\sqrt{3}$ и $b=\sqrt{2}$.

Проверим, равно ли $a^2+b^2$ первому слагаемому, то есть 5.

$a^2+b^2 = (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{2})^2 = 3+2=5$.

Равенство выполняется, значит: $5+2\sqrt{6} = (\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{3}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = (\sqrt{3}+\sqrt{2})^2$.

Следовательно, исходное выражение принимает вид: $\sqrt{5+2\sqrt{6}} = \sqrt{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2}$.

Так как $\sqrt{3}+\sqrt{2}$ — положительное число, то $\sqrt{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2} = \sqrt{3}+\sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{3}+\sqrt{2}$.

г) Упростим выражение $\sqrt{3-\sqrt{8}}$.

Сначала преобразуем подкоренное выражение, вынеся множитель из-под внутреннего корня: $\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$.

Теперь выражение имеет вид: $\sqrt{3-2\sqrt{2}}$.

Представим $3-2\sqrt{2}$ в виде полного квадрата разности $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$.

Слагаемое $-2\sqrt{2}$ представим в виде $-2ab$: $-2\sqrt{2} = -2 \cdot \sqrt{2} \cdot 1$. Отсюда можно предположить, что $a=\sqrt{2}$ и $b=1$.

Проверим, равно ли $a^2+b^2$ первому слагаемому, то есть 3.

$a^2+b^2 = (\sqrt{2})^2 + 1^2 = 2+1=3$.

Равенство выполняется, значит: $3-2\sqrt{2} = (\sqrt{2})^2 - 2\sqrt{2}\cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{2}-1)^2$.

Следовательно, исходное выражение принимает вид: $\sqrt{3-\sqrt{8}} = \sqrt{(\sqrt{2}-1)^2}$.

Так как $\sqrt{2} \approx 1.41$, то $\sqrt{2}-1 > 0$. Значит, $\sqrt{(\sqrt{2}-1)^2} = \sqrt{2}-1$.

Ответ: $\sqrt{2}-1$.