Номер 395, страница 93 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

16. Квадратный корень из степени. § 5. Свойства арифмитического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 395, страница 93.

395. Вычислите:

a) $\sqrt{{11}^4}=\sqrt{{\left({11}^2\right)}^2}={11}^2=121$

б) $\sqrt{4^6}=\sqrt{{\left(4^3\right)}^2}=4^3=64$

в) $\sqrt{{(-3)}^6}=\sqrt{{\left({\left(-3\right)}^3\right)}^2}=\left|{\left(-3\right)}^3\right|=\left|-27\right|=27$

г) $\sqrt{{\left(-6\right)}^4}=\sqrt{{\left({\left(-6\right)}^2\right)}^2}=\sqrt{{36}^2}=36$

д) $\sqrt{2^8·3^2}=\sqrt{2^8}·\sqrt{3^2}=\sqrt{{\left(2^4\right)}^2}·3=2^4·3=16·3=48$

е) $$\begin{gathered} \sqrt{3^4·5^6}=\sqrt{{\left(3^2\right)}^2·{\left(5^3\right)}^2}=\sqrt{{\left(3^2\right)}^2}·\sqrt{{\left(5^3\right)}^2}= \\ =3^2·5^3=9·125=1125 \end{gathered}$$

ж) $\sqrt{7^2·2^8}=\sqrt{7^2}·\sqrt{{\left(2^4\right)}^2}=7·2^4=7·16=112$

з) $$\begin{gathered} \sqrt{3^6·5^4}=\sqrt{3^6}·\sqrt{5^4}=\sqrt{{\left(3^3\right)}^2}·\sqrt{{\left(5^2\right)}^2}= \\ =3^3·5^2=27·25=675 \end{gathered}$$

и) $\sqrt{8^4·5^6}=\sqrt{{\left(8^2\right)}^2}·\sqrt{{\left(5^3\right)}^2}=64·125=8000$

а) Для вычисления корня из степени с четным показателем используется свойство $\sqrt{a^{2k}} = a^k$ для $a \ge 0$. В данном случае $a=11$ и $2k=4$, значит $k=2$.
$\sqrt{11^4} = \sqrt{(11^2)^2} = 11^2 = 121$.
Ответ: 121.

б) Аналогично предыдущему пункту, применяем свойство $\sqrt{a^{2k}} = a^k$. Здесь $a=4$ и $2k=6$, значит $k=3$.
$\sqrt{4^6} = \sqrt{(4^3)^2} = 4^3 = 64$.
Ответ: 64.

в) Так как показатель степени $6$ является четным числом, то $(-3)^6 = 3^6$. Таким образом, выражение можно переписать и решить:
$\sqrt{(-3)^6} = \sqrt{3^6} = \sqrt{(3^3)^2} = 3^3 = 27$.
В качестве альтернативы можно использовать свойство $\sqrt{a^{2k}} = |a^k|$:
$\sqrt{(-3)^6} = |(-3)^3| = |-27| = 27$.
Ответ: 27.

г) Поскольку показатель степени $4$ — четное число, то $(-6)^4 = 6^4$.
$\sqrt{(-6)^4} = \sqrt{6^4} = \sqrt{(6^2)^2} = 6^2 = 36$.
Альтернативное решение с использованием свойства $\sqrt{a^{2k}} = |a^k|$:
$\sqrt{(-6)^4} = |(-6)^2| = |36| = 36$.
Ответ: 36.

д) Используем свойство корня из произведения $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ (для $a, b \ge 0$) и свойство корня из степени.
$\sqrt{2^8 \cdot 3^2} = \sqrt{2^8} \cdot \sqrt{3^2} = \sqrt{(2^4)^2} \cdot \sqrt{3^2} = 2^4 \cdot 3 = 16 \cdot 3 = 48$.
Ответ: 48.

е) Применяем свойство корня из произведения и свойство корня из степени.
$\sqrt{3^4 \cdot 5^6} = \sqrt{3^4} \cdot \sqrt{5^6} = \sqrt{(3^2)^2} \cdot \sqrt{(5^3)^2} = 3^2 \cdot 5^3 = 9 \cdot 125 = 1125$.
Ответ: 1125.

ж) Используем те же свойства, что и в предыдущих примерах.
$\sqrt{7^2 \cdot 2^8} = \sqrt{7^2} \cdot \sqrt{2^8} = 7 \cdot \sqrt{(2^4)^2} = 7 \cdot 2^4 = 7 \cdot 16 = 112$.
Ответ: 112.

з) Применяем свойство корня из произведения и свойство корня из степени.
$\sqrt{3^6 \cdot 5^4} = \sqrt{3^6} \cdot \sqrt{5^4} = \sqrt{(3^3)^2} \cdot \sqrt{(5^2)^2} = 3^3 \cdot 5^2 = 27 \cdot 25 = 675$.
Ответ: 675.

и) Сначала упростим подкоренное выражение. Представим основание $8$ как степень числа $2$: $8 = 2^3$.
Тогда $8^4 = (2^3)^4 = 2^{12}$.
Теперь исходное выражение можно записать как $\sqrt{2^{12} \cdot 5^6}$.
Далее вычисляем, используя свойства корней:
$\sqrt{2^{12} \cdot 5^6} = \sqrt{2^{12}} \cdot \sqrt{5^6} = \sqrt{(2^6)^2} \cdot \sqrt{(5^3)^2} = 2^6 \cdot 5^3 = 64 \cdot 125$.
Для удобства вычисления, сгруппируем множители: $2^6 \cdot 5^3 = 2^3 \cdot 2^3 \cdot 5^3 = 2^3 \cdot (2 \cdot 5)^3 = 8 \cdot 10^3 = 8000$.
Ответ: 8000.