Номер 394, страница 93 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

16. Квадратный корень из степени. § 5. Свойства арифмитического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 394, страница 93.

394. Найдите значение корня:

a) $\sqrt{2^4}=\sqrt{{\left(2^2\right)}^2}=2^2=4$

б) $\sqrt{3^4}=\sqrt{{\left(3^2\right)}^2}=3^2=9$

в) $\sqrt{2^6}=\sqrt{{\left(2^3\right)}^2}=2^3=8$

г) $\sqrt{{10}^8}=\sqrt{{\left({10}^4\right)}^2}={10}^4=10000$

д) $\sqrt{{\left(-5\right)}^4}=\sqrt{{\left({\left(-5\right)}^2\right)}^2}=\left|{\left(-5\right)}^2\right|=\left|25\right|=25$

е) $\sqrt{{\left(-2\right)}^8}=\sqrt{{\left({\left(-2\right)}^4\right)}^2}=\left|{\left(-2\right)}^4\right|=\left|16\right|=16$

ж) $\sqrt{3^4·5^2}=\sqrt{3^4}·\sqrt{5^2}=\sqrt{{\left(3^2\right)}^2}·5=3^2·5=9·5=45$

з) $$\begin{gathered} \sqrt{2^6·7^4}=\sqrt{{\left(2^3\right)}^2·{\left(7^2\right)}^2}=\sqrt{{\left(2^3\right)}^2}·\sqrt{{\left(7^2\right)}^2}= \\ =2^3·7^2=8·49=392 \end{gathered}$$

а) Чтобы найти значение квадратного корня из числа, возведенного в степень, необходимо показатель этой степени разделить на 2. Это следует из свойства $\sqrt{a^{2n}} = |a^n|$. Так как основание степени (число 2) положительное, знак модуля можно опустить.

$\sqrt{2^4} = 2^{4/2} = 2^2 = 4$.

Ответ: 4

б) Решение аналогично предыдущему пункту. Делим показатель степени на 2.

$\sqrt{3^4} = 3^{4/2} = 3^2 = 9$.

Ответ: 9

в) Используем то же свойство, что и в предыдущих примерах.

$\sqrt{2^6} = 2^{6/2} = 2^3 = 8$.

Ответ: 8

г) Снова применяем правило деления показателя степени на 2.

$\sqrt{10^8} = 10^{8/2} = 10^4 = 10000$.

Ответ: 10000

д) В данном случае под корнем находится отрицательное число, возведенное в четную степень (4). Результат возведения отрицательного числа в четную степень будет положительным: $(-a)^{2n} = a^{2n}$.

$\sqrt{(-5)^4} = \sqrt{5^4} = 5^{4/2} = 5^2 = 25$.

Ответ: 25

е) Аналогично предыдущему примеру, степень 8 является четной, поэтому $(-2)^8 = 2^8$.

$\sqrt{(-2)^8} = \sqrt{2^8} = 2^{8/2} = 2^4 = 16$.

Ответ: 16

ж) Здесь мы используем свойство корня из произведения: $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ (для $a \ge 0, b \ge 0$). После этого для каждого множителя применяем правило извлечения корня из степени.

$\sqrt{3^4 \cdot 5^2} = \sqrt{3^4} \cdot \sqrt{5^2} = 3^{4/2} \cdot 5^{2/2} = 3^2 \cdot 5^1 = 9 \cdot 5 = 45$.

Ответ: 45

з) Применяем те же свойства, что и в пункте ж).

$\sqrt{2^6 \cdot 7^4} = \sqrt{2^6} \cdot \sqrt{7^4} = 2^{6/2} \cdot 7^{4/2} = 2^3 \cdot 7^2 = 8 \cdot 49 = 392$.

Ответ: 392