Номер 397, страница 94 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

16. Квадратный корень из степени. § 5. Свойства арифмитического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 397, страница 94.

397. Вычислите:

$\mathbf{\text{a}}\mathbf{)}\mathbf{ }\sqrt{2304}=48$ (таблица квадратов)

$$\begin{gathered} \begin{array}{crc}\mathbf{\text{б)}}& 18225& 3\\ & 6075& 3\\ & 2025& 3\\ & 675& 3\\ & 225& 3\\ & 75& 3\\ & 25& 5\\ & 5& 5\\ & 1& \end{array} \\ \sqrt{18225}=\sqrt{3^6·5^2}=\sqrt{{\left(3^3\right)}^2}·\sqrt{5^2}= \\ =3^3·5=27·5=135 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \begin{array}{crc}\mathbf{\text{в)}}& 254016& 2\\ & 127008& 2\\ & 63504& 2\\ & 31752& 2\\ & 15876& 2\\ & 7938& 2\\ & 3969& 3\\ & 1323& 3\\ & 441& 3\\ & 147& 3\\ & 49& 7\\ & 7& 7\\ & 1& \end{array} \\ \sqrt{254016}=\sqrt{2^6·3^4·7^2}=\sqrt{{\left(2^3\right)}^2}·\sqrt{{\left(3^2\right)}^2}·\sqrt{7^2}= \\ =2^3·3^2·7=8·9·7=72·7=504 \end{gathered}$$

а) $\sqrt{2304}$

Для вычисления корня из числа 2304 воспользуемся методом оценки.
1. Сначала определим границы, в которых лежит корень. Возведем в квадрат "круглые" числа, близкие к искомому: $40^2 = 1600$ и $50^2 = 2500$. Поскольку $1600 < 2304 < 2500$, корень из 2304 находится в промежутке между 40 и 50.
2. Теперь обратим внимание на последнюю цифру подкоренного числа — 4. Квадрат целого числа может оканчиваться на 4, только если само число оканчивается на 2 (так как $2^2=4$) или на 8 (так как $8^2=64$).
3. Из этих двух наблюдений следует, что искомым числом может быть либо 42, либо 48.
4. Проверим эти два варианта:
$42^2 = 42 \cdot 42 = 1764$ (неверно).
$48^2 = 48 \cdot 48 = 2304$ (верно).
Следовательно, $\sqrt{2304} = 48$.

Ответ: 48

б) $\sqrt{18225}$

1. Число 18225 оканчивается на 5, а это значит, что его квадратный корень также должен оканчиваться на 5.
2. Воспользуемся свойством квадратов чисел, оканчивающихся на 5: $(10a + 5)^2 = 100a(a+1) + 25$. Это означает, что квадрат такого числа всегда оканчивается на 25, а число, стоящее перед 25 (число сотен), равно произведению $a \cdot (a+1)$.
3. В нашем числе 18225 часть, стоящая перед 25, равна 182. Нам необходимо найти такое целое число $a$, что $a \cdot (a+1) = 182$.
4. Методом подбора находим значение $a$. Пробуем числа, близкие к $\sqrt{182}$: $13 \cdot 14 = 182$. Таким образом, мы нашли, что $a=13$.
5. Искомое число равно $10a+5 = 10 \cdot 13 + 5 = 135$.
Проверка: $135^2 = (130+5)^2 = 16900 + 2 \cdot 130 \cdot 5 + 25 = 16900 + 1300 + 25 = 18225$.
Следовательно, $\sqrt{18225} = 135$.

Ответ: 135

в) $\sqrt{254016}$

Применим тот же метод оценки, что и в первом пункте.
1. Определим диапазон. $500^2 = 250000$ и $510^2 = 260100$. Так как $250000 < 254016 < 260100$, корень находится между 500 и 510.
2. Последняя цифра числа 254016 — это 6. Квадрат целого числа оканчивается на 6, если само число оканчивается на 4 (так как $4^2=16$) или на 6 (так как $6^2=36$).
3. Таким образом, возможные кандидаты на роль корня — это 504 и 506.
4. Проверим один из вариантов, например, 504:
$504^2 = (500+4)^2 = 500^2 + 2 \cdot 500 \cdot 4 + 4^2 = 250000 + 4000 + 16 = 254016$.
Этот вариант является правильным.
Следовательно, $\sqrt{254016} = 504$.

Ответ: 504