Номер 4, страница 94 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Контрольные вопросы и задания. § 5. Свойства арифмитического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 4, страница 94.

4. Покажите на примере выражения a¹², как извлекается квадратный корень из степени с чётным показателем.

$\sqrt{a^{12}}=\sqrt{{\left(a^6\right)}^2}=\left|a^6\right|.$ Так как $a^6\ge 0$ при любом а, то $\left|a^6\right|=a^6$

Итак, $\sqrt{a^{12}}=a^6.$

Для извлечения квадратного корня из степени с чётным показателем используется основное свойство арифметического квадратного корня $\sqrt{x^2} = |x|$ и свойство степеней $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.

Рассмотрим выражение $\sqrt{a^{12}}$. Показатель степени под корнем, равный 12, является чётным числом. Чтобы извлечь корень, необходимо представить подкоренное выражение в виде квадрата некоторого другого выражения. Для этого мы делим показатель степени на 2:

$12 : 2 = 6$

Используя свойство степеней, мы можем записать $a^{12}$ как $(a^6)^2$. Теперь подставим это в исходное выражение:

$\sqrt{a^{12}} = \sqrt{(a^6)^2}$

По определению арифметического квадратного корня, $\sqrt{b^2}$ равен модулю $b$. В нашем случае роль $b$ играет выражение $a^6$. Следовательно:

$\sqrt{(a^6)^2} = |a^6|$

Далее нужно рассмотреть выражение под знаком модуля. Поскольку показатель степени 6 является чётным, значение выражения $a^6$ всегда будет неотрицательным (больше или равно нулю) при любом действительном значении $a$. Модуль неотрицательного числа равен самому этому числу. Поэтому знак модуля можно опустить:

$|a^6| = a^6$

Таким образом, извлечение квадратного корня из степени с чётным показателем сводится к делению этого показателя на 2.
Ответ: $\sqrt{a^{12}} = a^6$.