Номер 403, страница 96 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

17. Вынесение множителя из-под знака корня. Внесение множителя под знак корня. § 6. Применение свойств арифмитического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 403, страница 96.

403. Внесите множитель под знак корня:

a) $7\sqrt{10}=\sqrt{49}·\sqrt{10}=\sqrt{49·10}=\sqrt{490}$

б) $5\sqrt{3}=\sqrt{25}·\sqrt{3}=\sqrt{25·3}=\sqrt{75}$

в) $6\sqrt{x}=\sqrt{36}\sqrt{x}=\sqrt{36x}$

г) $10\sqrt{y}=\sqrt{100}·\sqrt{y}=\sqrt{100y}$

д) $3\sqrt{2a}=\sqrt{9}·\sqrt{2a}=\sqrt{9·2a}=\sqrt{18a}$

е) $5\sqrt{3b}=\sqrt{25}\sqrt{3b}=\sqrt{25·3b}=\sqrt{75b}$

ж) $a\sqrt{x^2}=\left|a\right|\sqrt{x^2}=\sqrt{a^2}·\sqrt{x^2}=\sqrt{a^2{x}^2},$ если a≥0

$a\sqrt{x^2}=-\left|a\right|\sqrt{x^2}=-\sqrt{a^2}·\sqrt{x^2}=-\sqrt{a^2{x}^2},$ если a<0

з) $m^2\sqrt{m^3}=\sqrt{m^4}·\sqrt{m^3}=\sqrt{m^4·m^3}=\sqrt{m^7}$ при m≥0

и) $3x{y}^2\sqrt{y}=\left|x\right|\sqrt{9}·\sqrt{y^4}\sqrt{y}=\sqrt{x^2}\sqrt{9y^{4}y}=\sqrt{9x^2{y}^5},$ если x≥0

$3x{y}^2\sqrt{y}=-\left|x\right|\sqrt{9}\sqrt{y^4}\sqrt{y}=-\sqrt{9x^2{y}^5},$ если x<0

а) Чтобы внести множитель 7 под знак корня в выражении $7\sqrt{10}$, нужно возвести этот множитель в квадрат и умножить его на подкоренное выражение.
$7\sqrt{10} = \sqrt{7^2 \cdot 10} = \sqrt{49 \cdot 10} = \sqrt{490}$.
Ответ: $\sqrt{490}$.

б) Вносим множитель 5 под знак корня в выражении $5\sqrt{3}$. Для этого возводим 5 в квадрат и результат умножаем на 3.
$5\sqrt{3} = \sqrt{5^2 \cdot 3} = \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{75}$.
Ответ: $\sqrt{75}$.

в) Вносим множитель 6 под знак корня в выражении $6\sqrt{x}$. Для существования корня необходимо, чтобы $x \ge 0$.
$6\sqrt{x} = \sqrt{6^2 \cdot x} = \sqrt{36x}$.
Ответ: $\sqrt{36x}$.

г) Вносим множитель 10 под знак корня в выражении $10\sqrt{y}$. Для существования корня необходимо, чтобы $y \ge 0$.
$10\sqrt{y} = \sqrt{10^2 \cdot y} = \sqrt{100y}$.
Ответ: $\sqrt{100y}$.

д) Вносим множитель 3 под знак корня в выражении $3\sqrt{2a}$. Для существования корня необходимо, чтобы $2a \ge 0$, то есть $a \ge 0$.
$3\sqrt{2a} = \sqrt{3^2 \cdot 2a} = \sqrt{9 \cdot 2a} = \sqrt{18a}$.
Ответ: $\sqrt{18a}$.

е) Вносим множитель 5 под знак корня в выражении $5\sqrt{3b}$. Для существования корня необходимо, чтобы $3b \ge 0$, то есть $b \ge 0$.
$5\sqrt{3b} = \sqrt{5^2 \cdot 3b} = \sqrt{25 \cdot 3b} = \sqrt{75b}$.
Ответ: $\sqrt{75b}$.

ж) Вносим множитель $a$ под знак корня в выражении $a\sqrt{x^2}$. Правило внесения неотрицательного множителя $c$ под знак корня имеет вид $c\sqrt{d} = \sqrt{c^2d}$. Будем считать, что $a \ge 0$.
$a\sqrt{x^2} = \sqrt{a^2 \cdot x^2} = \sqrt{a^2x^2}$.
Ответ: $\sqrt{a^2x^2}$ (при $a \ge 0$).

з) Вносим множитель $m^2$ под знак корня в выражении $m^2\sqrt{m^3}$. Множитель $m^2$ всегда неотрицателен ($m^2 \ge 0$). Для существования корня необходимо, чтобы $m^3 \ge 0$, что означает $m \ge 0$.
$m^2\sqrt{m^3} = \sqrt{(m^2)^2 \cdot m^3} = \sqrt{m^4 \cdot m^3} = \sqrt{m^{4+3}} = \sqrt{m^7}$.
Ответ: $\sqrt{m^7}$.

и) Вносим множитель $3xy^2$ под знак корня в выражении $3xy^2\sqrt{y}$. Для существования корня $\sqrt{y}$ необходимо, чтобы $y \ge 0$. Множитель $3y^2$ неотрицателен. Для того чтобы весь множитель $3xy^2$ был неотрицателен, необходимо, чтобы $x \ge 0$. При этих условиях ($x \ge 0, y \ge 0$) вносим множитель под корень.
$3xy^2\sqrt{y} = \sqrt{(3xy^2)^2 \cdot y} = \sqrt{9x^2(y^2)^2 \cdot y} = \sqrt{9x^2y^4y} = \sqrt{9x^2y^5}$.
Ответ: $\sqrt{9x^2y^5}$ (при $x \ge 0, y \ge 0$).