Номер 401, страница 96 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

17. Вынесение множителя из-под знака корня. Внесение множителя под знак корня. § 6. Применение свойств арифмитического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 401, страница 96.

401. Вынесите множитель из-под знака корня и упростите полученное выражение:

a) $\frac{1}{2}\sqrt{24}=\frac{1}{2}\sqrt{6·4}=\frac{1}{2}\sqrt{4}·\sqrt{6}=\frac{1}{2}·2\sqrt{6}=\sqrt{6}$

б) $\frac{2}{3}\sqrt{45}=\frac{2}{3}\sqrt{9·5}=\frac{2}{3}\sqrt{9}·\sqrt{5}=\frac{2}{3}·3\sqrt{5}=2\sqrt{5}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}-\frac{1}{7}\sqrt{147}=-\frac{1}{7}\sqrt{49·3}=-\frac{1}{7}\sqrt{49}·\sqrt{3}= \\ =-\frac{1}{7}·7\sqrt{3}=-\sqrt{3} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}-\frac{1}{5}\sqrt{275}=-\frac{1}{5}\sqrt{25·11}=-\frac{1}{5}\sqrt{25}·\sqrt{11}= \\ =-\frac{1}{5}·5\sqrt{11}=-\sqrt{11} \end{gathered}$$

д) $$\begin{gathered} 0,1\sqrt{20000}=0,1\sqrt{10000·2}=0,1\sqrt{10000}·\sqrt{2}= \\ =0,1·100\sqrt{2}=10\sqrt{2} \end{gathered}$$

е) $$\begin{gathered} -0,05\sqrt{28800}=-0,05\sqrt{14400·2}= \\ =-0,05\sqrt{14400}·\sqrt{2}=-0,05·120\sqrt{2}=-6\sqrt{2} \end{gathered}$$

а) Чтобы упростить выражение $\frac{1}{2}\sqrt{24}$, нужно вынести множитель из-под знака корня. Для этого представим подкоренное выражение 24 в виде произведения множителей, один из которых является полным квадратом.

Число 24 можно разложить на множители как $4 \times 6$. Число 4 является квадратом числа 2.

$\frac{1}{2}\sqrt{24} = \frac{1}{2}\sqrt{4 \times 6}$

Используя свойство корня $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$, вынесем $\sqrt{4}$ из-под знака корня:

$\frac{1}{2} \times \sqrt{4} \times \sqrt{6} = \frac{1}{2} \times 2 \times \sqrt{6}$

Сократим множители:

$\frac{2}{2}\sqrt{6} = 1 \times \sqrt{6} = \sqrt{6}$

Ответ: $\sqrt{6}$

б) Упростим выражение $\frac{2}{3}\sqrt{45}$.

Представим число 45 в виде произведения множителей, где один из них — полный квадрат. $45 = 9 \times 5$. Число 9 является квадратом числа 3.

$\frac{2}{3}\sqrt{45} = \frac{2}{3}\sqrt{9 \times 5}$

Вынесем множитель $\sqrt{9}$ из-под знака корня:

$\frac{2}{3} \times \sqrt{9} \times \sqrt{5} = \frac{2}{3} \times 3 \times \sqrt{5}$

Сократим множители:

$\frac{2 \times 3}{3} \sqrt{5} = 2\sqrt{5}$

Ответ: $2\sqrt{5}$

в) Упростим выражение $-\frac{1}{7}\sqrt{147}$.

Разложим число 147 на множители. Сумма цифр $1+4+7=12$, значит, число делится на 3. $147 = 3 \times 49$. Число 49 является полным квадратом ($7^2$).

$-\frac{1}{7}\sqrt{147} = -\frac{1}{7}\sqrt{49 \times 3}$

Вынесем множитель $\sqrt{49}$ из-под знака корня:

$-\frac{1}{7} \times \sqrt{49} \times \sqrt{3} = -\frac{1}{7} \times 7 \times \sqrt{3}$

Сокращаем множители:

$-\frac{7}{7}\sqrt{3} = -1 \times \sqrt{3} = -\sqrt{3}$

Ответ: $-\sqrt{3}$

г) Упростим выражение $-\frac{1}{5}\sqrt{275}$.

Разложим число 275 на множители. Число оканчивается на 5, значит, делится на 5. $275 = 5 \times 55 = 5 \times 5 \times 11 = 25 \times 11$. Число 25 является полным квадратом ($5^2$).

$-\frac{1}{5}\sqrt{275} = -\frac{1}{5}\sqrt{25 \times 11}$

Вынесем множитель $\sqrt{25}$ из-под знака корня:

$-\frac{1}{5} \times \sqrt{25} \times \sqrt{11} = -\frac{1}{5} \times 5 \times \sqrt{11}$

Сокращаем множители:

$-\frac{5}{5}\sqrt{11} = -1 \times \sqrt{11} = -\sqrt{11}$

Ответ: $-\sqrt{11}$

д) Упростим выражение $0,1\sqrt{20000}$.

Представим число 20000 в виде произведения $2 \times 10000$. Число 10000 является полным квадратом ($100^2$).

$0,1\sqrt{20000} = 0,1\sqrt{10000 \times 2}$

Вынесем множитель $\sqrt{10000}$ из-под знака корня:

$0,1 \times \sqrt{10000} \times \sqrt{2} = 0,1 \times 100 \times \sqrt{2}$

Выполняем умножение:

$0,1 \times 100 \times \sqrt{2} = 10\sqrt{2}$

Ответ: $10\sqrt{2}$

е) Упростим выражение $-0,05\sqrt{28800}$.

Разложим число 28800 на множители. Можно представить его как $288 \times 100$. Число 100 является полным квадратом. Теперь разложим 288: $288 = 2 \times 144$. Число 144 также является полным квадратом ($12^2$).

Таким образом, $28800 = 144 \times 2 \times 100 = 14400 \times 2$. Число 14400 является квадратом числа 120.

$-0,05\sqrt{28800} = -0,05\sqrt{14400 \times 2}$

Вынесем множитель $\sqrt{14400}$ из-под знака корня:

$-0,05 \times \sqrt{14400} \times \sqrt{2} = -0,05 \times 120 \times \sqrt{2}$

Выполняем умножение. Можно представить $0,05$ как $\frac{5}{100}$ или $\frac{1}{20}$.

$-0,05 \times 120 \times \sqrt{2} = -\frac{1}{20} \times 120 \times \sqrt{2} = -\frac{120}{20}\sqrt{2} = -6\sqrt{2}$

Ответ: $-6\sqrt{2}$