Номер 404, страница 96 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

17. Вынесение множителя из-под знака корня. Внесение множителя под знак корня. § 6. Применение свойств арифмитического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 404, страница 96.

404. Какие из выражений не имеют смысла:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\sqrt{2\sqrt{17}-4}=\sqrt{\sqrt{4}\sqrt{17}-\sqrt{16}}= \\ =\sqrt{\sqrt{4·17}-\sqrt{16}}=\sqrt{\sqrt{68}-\sqrt{16}} \\ \text{имеет смысл, т.к.} \sqrt{68}-\sqrt{16}>0 \\ 2\sqrt{17}-4>0 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\sqrt{9-\sqrt{80}}=\sqrt{9-\sqrt{16·5}}= \\ =\sqrt{9-\sqrt{16}·\sqrt{5}}=\sqrt{9-4\sqrt{5}}= \\ =\sqrt{2^2+{\left(\sqrt{5}\right)}^2-4\sqrt{5}}=\sqrt{{\left(\sqrt{5}-2\right)}^2}= \\ =\left|\sqrt{5}-2\right|=\sqrt{5}-2 - \text{имеет смысл} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\sqrt{8\sqrt{3}-14}=\sqrt{2\left(4\sqrt{3}-7\right)}= \\ =\sqrt{2}·\sqrt{4·\sqrt{3}-7}=\sqrt{2}\sqrt{\sqrt{16}·\sqrt{3}-\sqrt{49}}= \\ =\sqrt{2}\sqrt{\sqrt{16·3}-\sqrt{49}}= \\ =\sqrt{2}\sqrt{\sqrt{48}-\sqrt{49}} - \text{не имеет смысла, т.к.} \\ \sqrt{48}-\sqrt{49}<0 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\sqrt{15-2\sqrt{56}}=\sqrt{\sqrt{225}-\sqrt{4}·\sqrt{56}}= \\ =\sqrt{\sqrt{225}-\sqrt{4·56}}=\sqrt{\sqrt{225}-\sqrt{224}} \\ - \text{имеет смысл, т.к.} \sqrt{225}-\sqrt{224}>0, \\ 15-2\sqrt{56}>0 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д) }}\sqrt{\sqrt{11}-3\sqrt{2}}=\sqrt{\sqrt{11}-\sqrt{9}·\sqrt{2}}= \\ =\sqrt{\sqrt{11}-\sqrt{18}}- \text{не имеет смысла, т.к.} \\ \sqrt{11}-\sqrt{18}<0, \sqrt{11}-3\sqrt{2}<0 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{е) }}\sqrt{2\sqrt{2}-\sqrt{7}}=\sqrt{\sqrt{4}·\sqrt{2}-\sqrt{7}}= \\ =\sqrt{\sqrt{8}-\sqrt{7}}- \text{имеет смысл, т.к.} \\ \sqrt{8}-\sqrt{7}>0, 2\sqrt{2}-\sqrt{7}>0 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{ж) }}\sqrt{6\sqrt{3}-7\sqrt{2}}=\sqrt{\sqrt{36}·\sqrt{3}-\sqrt{49}·\sqrt{2}}= \\ =\sqrt{\sqrt{36·3}-\sqrt{49·2}}=\sqrt{\sqrt{108}-\sqrt{98}} \\ - \text{имеет смысл, т.к.} \sqrt{108}-\sqrt{98}>0, \\ 6\sqrt{3}-7\sqrt{2}>0 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{з) }}\sqrt{\sqrt{186}-5\sqrt{13}}=\sqrt{\sqrt{186}-\sqrt{25}·\sqrt{13}}= \\ =\sqrt{\sqrt{186}-\sqrt{25·13}}=\sqrt{\sqrt{186}-\sqrt{325}} \\ - \text{не имеет смысла, т.к.} \sqrt{186}-\sqrt{325}<0, \\ \sqrt{186}-5\sqrt{13}<0 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{и) }}\sqrt{-\sqrt{186}+5\sqrt{7}}=\sqrt{-\sqrt{186}+\sqrt{25}·\sqrt{7}}= \\ =\sqrt{-\sqrt{186}+\sqrt{25·7}}=\sqrt{-\sqrt{186}+\sqrt{175}}= \\ =\sqrt{\sqrt{175}-\sqrt{186}}- \text{не имеет смысла, т.к.} \\ \sqrt{175}-\sqrt{186}<0, -\sqrt{186}+5\sqrt{7}<0 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{к) }}\sqrt{\sqrt{56}-4\sqrt{2}}=\sqrt{\sqrt{56}-\sqrt{16}·\sqrt{2}}= \\ =\sqrt{\sqrt{56}-\sqrt{16·2}}=\sqrt{\sqrt{56}-\sqrt{32}} \\ - \text{имеет смысл, т.к.} \sqrt{56}-\sqrt{32}>0, \\ \sqrt{56}-4\sqrt{2}>0 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{л) }}\sqrt{\sqrt{42}-6\sqrt{5}}=\sqrt{\sqrt{42}-\sqrt{36}·\sqrt{5}}= \\ =\sqrt{\sqrt{42}-\sqrt{36·5}}=\sqrt{\sqrt{42}-\sqrt{180}} \\ - \text{не имеет смысла, т.к.} \\ \sqrt{42}-\sqrt{180}<0, \sqrt{42}-6\sqrt{5}<0 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{м) }}\sqrt{\sqrt{72}-6\sqrt{2}}=\sqrt{\sqrt{72}-\sqrt{36}·\sqrt{2}}= \\ =\sqrt{\sqrt{72}-\sqrt{36·2}}=\sqrt{\sqrt{72}-\sqrt{72}}= \\ =\sqrt{0}=0 - \text{имеет смысл} \end{gathered}$$

Ответ: в), д), з), и), л)

Выражение с квадратным корнем $\sqrt{A}$ имеет смысл в области действительных чисел, если подкоренное выражение $A$ неотрицательно, то есть $A \ge 0$. Проверим это условие для каждого из данных выражений.

а) $\sqrt{2\sqrt{17}-4}$

Проверим знак подкоренного выражения $2\sqrt{17}-4$. Для этого сравним $2\sqrt{17}$ и $4$. Так как оба числа положительны, сравним их квадраты:
$(2\sqrt{17})^2 = 4 \cdot 17 = 68$.
$4^2 = 16$.
Поскольку $68 > 16$, то $2\sqrt{17} > 4$.
Следовательно, подкоренное выражение $2\sqrt{17}-4$ положительно.
Ответ: выражение имеет смысл.

б) $\sqrt{9-\sqrt{80}}$

Проверим знак подкоренного выражения $9-\sqrt{80}$. Сравним $9$ и $\sqrt{80}$.
Сравним их квадраты:
$9^2 = 81$.
$(\sqrt{80})^2 = 80$.
Поскольку $81 > 80$, то $9 > \sqrt{80}$.
Следовательно, подкоренное выражение $9-\sqrt{80}$ положительно.
Ответ: выражение имеет смысл.

в) $\sqrt{8\sqrt{3}-14}$

Проверим знак подкоренного выражения $8\sqrt{3}-14$. Сравним $8\sqrt{3}$ и $14$.
Сравним их квадраты:
$(8\sqrt{3})^2 = 64 \cdot 3 = 192$.
$14^2 = 196$.
Поскольку $192 < 196$, то $8\sqrt{3} < 14$.
Следовательно, подкоренное выражение $8\sqrt{3}-14$ отрицательно.
Ответ: выражение не имеет смысла.

г) $\sqrt{15-2\sqrt{56}}$

Проверим знак подкоренного выражения $15-2\sqrt{56}$. Сравним $15$ и $2\sqrt{56}$.
Сравним их квадраты:
$15^2 = 225$.
$(2\sqrt{56})^2 = 4 \cdot 56 = 224$.
Поскольку $225 > 224$, то $15 > 2\sqrt{56}$.
Следовательно, подкоренное выражение $15-2\sqrt{56}$ положительно.
Ответ: выражение имеет смысл.

д) $\sqrt{\sqrt{11}-3\sqrt{2}}$

Проверим знак подкоренного выражения $\sqrt{11}-3\sqrt{2}$. Сравним $\sqrt{11}$ и $3\sqrt{2}$.
Сравним их квадраты:
$(\sqrt{11})^2 = 11$.
$(3\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18$.
Поскольку $11 < 18$, то $\sqrt{11} < 3\sqrt{2}$.
Следовательно, подкоренное выражение $\sqrt{11}-3\sqrt{2}$ отрицательно.
Ответ: выражение не имеет смысла.

е) $\sqrt{2\sqrt{2}-\sqrt{7}}$

Проверим знак подкоренного выражения $2\sqrt{2}-\sqrt{7}$. Сравним $2\sqrt{2}$ и $\sqrt{7}$.
Сравним их квадраты:
$(2\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 2 = 8$.
$(\sqrt{7})^2 = 7$.
Поскольку $8 > 7$, то $2\sqrt{2} > \sqrt{7}$.
Следовательно, подкоренное выражение $2\sqrt{2}-\sqrt{7}$ положительно.
Ответ: выражение имеет смысл.

ж) $\sqrt{6\sqrt{3}-7\sqrt{2}}$

Проверим знак подкоренного выражения $6\sqrt{3}-7\sqrt{2}$. Сравним $6\sqrt{3}$ и $7\sqrt{2}$.
Сравним их квадраты:
$(6\sqrt{3})^2 = 36 \cdot 3 = 108$.
$(7\sqrt{2})^2 = 49 \cdot 2 = 98$.
Поскольку $108 > 98$, то $6\sqrt{3} > 7\sqrt{2}$.
Следовательно, подкоренное выражение $6\sqrt{3}-7\sqrt{2}$ положительно.
Ответ: выражение имеет смысл.

з) $\sqrt{\sqrt{186}-5\sqrt{13}}$

Проверим знак подкоренного выражения $\sqrt{186}-5\sqrt{13}$. Сравним $\sqrt{186}$ и $5\sqrt{13}$.
Сравним их квадраты:
$(\sqrt{186})^2 = 186$.
$(5\sqrt{13})^2 = 25 \cdot 13 = 325$.
Поскольку $186 < 325$, то $\sqrt{186} < 5\sqrt{13}$.
Следовательно, подкоренное выражение $\sqrt{186}-5\sqrt{13}$ отрицательно.
Ответ: выражение не имеет смысла.

и) $\sqrt{\sqrt{186}+5\sqrt{7}}$

Подкоренное выражение $\sqrt{186}+5\sqrt{7}$ является суммой двух положительных чисел ($\sqrt{186}>0$ и $5\sqrt{7}>0$), поэтому оно положительно.
Ответ: выражение имеет смысл.

к) $\sqrt{\sqrt{56}-4\sqrt{2}}$

Проверим знак подкоренного выражения $\sqrt{56}-4\sqrt{2}$. Сравним $\sqrt{56}$ и $4\sqrt{2}$.
Сравним их квадраты:
$(\sqrt{56})^2 = 56$.
$(4\sqrt{2})^2 = 16 \cdot 2 = 32$.
Поскольку $56 > 32$, то $\sqrt{56} > 4\sqrt{2}$.
Следовательно, подкоренное выражение $\sqrt{56}-4\sqrt{2}$ положительно.
Ответ: выражение имеет смысл.

л) $\sqrt{\sqrt{42}-6\sqrt{5}}$

Проверим знак подкоренного выражения $\sqrt{42}-6\sqrt{5}$. Сравним $\sqrt{42}$ и $6\sqrt{5}$.
Сравним их квадраты:
$(\sqrt{42})^2 = 42$.
$(6\sqrt{5})^2 = 36 \cdot 5 = 180$.
Поскольку $42 < 180$, то $\sqrt{42} < 6\sqrt{5}$.
Следовательно, подкоренное выражение $\sqrt{42}-6\sqrt{5}$ отрицательно.
Ответ: выражение не имеет смысла.

м) $\sqrt{\sqrt{72}-6\sqrt{2}}$

Проверим знак подкоренного выражения $\sqrt{72}-6\sqrt{2}$.
Упростим $\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$.
Тогда подкоренное выражение равно $6\sqrt{2} - 6\sqrt{2} = 0$.
Так как подкоренное выражение равно нулю, корень из него извлечь можно ($\sqrt{0}=0$).
Ответ: выражение имеет смысл.