Номер 408, страница 97 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

17. Вынесение множителя из-под знака корня. Внесение множителя под знак корня. § 6. Применение свойств арифмитического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 408, страница 97.

408. Сравните значения выражений:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}}\mathbf{ }\frac{1}{3}\sqrt{351}<\frac{1}{2}\sqrt{188} \\ \sqrt{\frac{1}{9}}·\sqrt{351}<\sqrt{\frac{1}{4}}·\sqrt{188} \\ \sqrt{\frac{1}{9}·351}<\sqrt{\frac{1}{4}·188} \\ \sqrt{39}<\sqrt{47} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}}\mathbf{ }\frac{1}{5}\sqrt{54}=\frac{1}{5}\sqrt{150} \\ \sqrt{\frac{1}{9}}·\sqrt{54}=\sqrt{\frac{1}{25}}·\sqrt{150} \\ \sqrt{\frac{1}{9}·54}=\sqrt{\frac{1}{25}·150} \\ \sqrt{6}=\sqrt{6} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в)}}\mathbf{ }\sqrt{24}=\frac{1}{3}\sqrt{216} \\ \sqrt{24}=\sqrt{\frac{1}{9}}·\sqrt{216} \\ \sqrt{24}=\sqrt{\frac{1}{9}·216} \\ \sqrt{24}=\sqrt{24} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г)}}\mathbf{ }\frac{2}{3}\sqrt{72}<7\sqrt{\frac{2}{3}} \\ \sqrt{\frac{4}{9}}·\sqrt{72}<\sqrt{49}·\sqrt{\frac{2}{3}} \\ \sqrt{\frac{4}{9}·72}<\sqrt{49·\frac{2}{3}} \\ \sqrt{32}<\sqrt{\frac{98}{3}} \\ \sqrt{32}<\sqrt{32\frac{2}{3}} \end{gathered}$$

а) Чтобы сравнить значения выражений $\frac{1}{3}\sqrt{351}$ и $\frac{1}{2}\sqrt{188}$, удобнее всего внести множители перед корнями под знак корня. Для этого нужно возвести множитель в квадрат и умножить на подкоренное выражение.

Преобразуем первое выражение:$ \frac{1}{3}\sqrt{351} = \sqrt{(\frac{1}{3})^2 \cdot 351} = \sqrt{\frac{1}{9} \cdot 351} = \sqrt{\frac{351}{9}} = \sqrt{39} $.

Преобразуем второе выражение:$ \frac{1}{2}\sqrt{188} = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 \cdot 188} = \sqrt{\frac{1}{4} \cdot 188} = \sqrt{\frac{188}{4}} = \sqrt{47} $.

Теперь сравним полученные выражения $\sqrt{39}$ и $\sqrt{47}$. Так как функция $y=\sqrt{x}$ является возрастающей на всей области определения, то большему значению аргумента соответствует большее значение функции.Сравниваем подкоренные выражения: $39 < 47$.Следовательно, $\sqrt{39} < \sqrt{47}$.Ответ: $\frac{1}{3}\sqrt{351} < \frac{1}{2}\sqrt{188}$.

б) Сравним значения выражений $\frac{1}{3}\sqrt{54}$ и $\frac{1}{5}\sqrt{150}$. Можно использовать тот же метод, что и в пункте а), или упростить выражения, вынеся множитель из-под знака корня.

Способ 1: Внесение множителя под корень.$ \frac{1}{3}\sqrt{54} = \sqrt{(\frac{1}{3})^2 \cdot 54} = \sqrt{\frac{54}{9}} = \sqrt{6} $.$ \frac{1}{5}\sqrt{150} = \sqrt{(\frac{1}{5})^2 \cdot 150} = \sqrt{\frac{150}{25}} = \sqrt{6} $.Поскольку $\sqrt{6} = \sqrt{6}$, то и исходные выражения равны.

Способ 2: Вынесение множителя из-под корня.$ \frac{1}{3}\sqrt{54} = \frac{1}{3}\sqrt{9 \cdot 6} = \frac{1}{3} \cdot 3\sqrt{6} = \sqrt{6} $.$ \frac{1}{5}\sqrt{150} = \frac{1}{5}\sqrt{25 \cdot 6} = \frac{1}{5} \cdot 5\sqrt{6} = \sqrt{6} $.Оба способа приводят к одному и тому же результату.Ответ: $\frac{1}{3}\sqrt{54} = \frac{1}{5}\sqrt{150}$.

в) Сравним $\sqrt{24}$ и $\frac{1}{3}\sqrt{216}$. Упростим оба выражения, вынеся множители из-под знака корня.

Первое выражение:$ \sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6} $.

Второе выражение:$ \frac{1}{3}\sqrt{216} = \frac{1}{3}\sqrt{36 \cdot 6} = \frac{1}{3} \cdot 6\sqrt{6} = 2\sqrt{6} $.

Оба выражения равны $2\sqrt{6}$, следовательно, исходные выражения равны.Ответ: $\sqrt{24} = \frac{1}{3}\sqrt{216}$.

г) Сравним $\frac{2}{3}\sqrt{72}$ и $7\sqrt{\frac{2}{3}}$. Внесем множители под знак корня.

Преобразуем первое выражение:$ \frac{2}{3}\sqrt{72} = \sqrt{(\frac{2}{3})^2 \cdot 72} = \sqrt{\frac{4}{9} \cdot 72} = \sqrt{4 \cdot \frac{72}{9}} = \sqrt{4 \cdot 8} = \sqrt{32} $.

Преобразуем второе выражение:$ 7\sqrt{\frac{2}{3}} = \sqrt{7^2 \cdot \frac{2}{3}} = \sqrt{49 \cdot \frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{98}{3}} $.

Теперь сравним подкоренные выражения: $32$ и $\frac{98}{3}$.$ \frac{98}{3} = 32\frac{2}{3} $.Очевидно, что $32 < 32\frac{2}{3}$.Значит, $32 < \frac{98}{3}$, и, следовательно, $\sqrt{32} < \sqrt{\frac{98}{3}}$.Ответ: $\frac{2}{3}\sqrt{72} < 7\sqrt{\frac{2}{3}}$.