Номер 415, страница 100 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

18. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. § 6. Применение свойств арифмитического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 415, страница 100.

415. Упростите выражение:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\sqrt{8p}-\sqrt{2p}+\sqrt{18p}= \\ =\sqrt{2·4}·\sqrt{p}-\sqrt{2}\sqrt{p}+\sqrt{9·2}·\sqrt{p}= \\ =2\sqrt{2p}-\sqrt{2p}+3\sqrt{2p}=4\sqrt{2p} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\sqrt{160c}+2\sqrt{40c}-3\sqrt{90c}= \\ =\sqrt{19·10c}+2\sqrt{4·10c}-3\sqrt{9·10c}= \\ =4\sqrt{10c}+4\sqrt{10c}-9\sqrt{10c}=-\sqrt{10c} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}5\sqrt{27m}-4\sqrt{48m}-2\sqrt{12m}= \\ =5\sqrt{9·3m}-4\sqrt{16·3m}-2\sqrt{4·3m}= \\ =15\sqrt{3m}-16\sqrt{3m}-4\sqrt{3m}=-5\sqrt{3m} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\sqrt{54}-\sqrt{24}+\sqrt{150}= \\ =\sqrt{9·6}-\sqrt{4·6}+\sqrt{25·6}= \\ =3\sqrt{6}-2\sqrt{6}+5\sqrt{6}=6\sqrt{6} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д) }}3\sqrt{2}+\sqrt{32}-\sqrt{200}= \\ =3\sqrt{2}+\sqrt{16·2}-\sqrt{100·2}= \\ =3\sqrt{2}+4\sqrt{2}-10\sqrt{2}=-3\sqrt{2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{е) }}2\sqrt{72}-\sqrt{50}-2\sqrt{8}= \\ =2\sqrt{36·2}-\sqrt{25·2}-2\sqrt{4·2}= \\ =12\sqrt{2}-5\sqrt{2}-4\sqrt{2}=3\sqrt{2} \end{gathered}$$

а) $\sqrt{8p} - \sqrt{2p} + \sqrt{18p}$

Для упрощения данного выражения необходимо вынести множители из-под знака корня таким образом, чтобы подкоренные выражения стали одинаковыми. Это позволит нам сложить и вычесть слагаемые.

1. Упростим член $\sqrt{8p}$. Разложим 8 на множители: $8 = 4 \cdot 2$. Тогда $\sqrt{8p} = \sqrt{4 \cdot 2p} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2p} = 2\sqrt{2p}$.

2. Упростим член $\sqrt{18p}$. Разложим 18 на множители: $18 = 9 \cdot 2$. Тогда $\sqrt{18p} = \sqrt{9 \cdot 2p} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{2p} = 3\sqrt{2p}$.

3. Теперь исходное выражение можно переписать в виде: $2\sqrt{2p} - \sqrt{2p} + 3\sqrt{2p}$.

4. Сгруппируем подобные слагаемые, вынеся общий множитель $\sqrt{2p}$ за скобки: $(2 - 1 + 3)\sqrt{2p} = 4\sqrt{2p}$.

Ответ: $4\sqrt{2p}$

б) $\sqrt{160c} + 2\sqrt{40c} - 3\sqrt{90c}$

Приведем все слагаемые к общему подкоренному выражению, вынося из-под корня множители, являющиеся полными квадратами.

1. Разложим на множители подкоренные выражения:

• $\sqrt{160c} = \sqrt{16 \cdot 10c} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{10c} = 4\sqrt{10c}$.
• $2\sqrt{40c} = 2\sqrt{4 \cdot 10c} = 2 \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{10c} = 2 \cdot 2\sqrt{10c} = 4\sqrt{10c}$.
• $3\sqrt{90c} = 3\sqrt{9 \cdot 10c} = 3 \cdot \sqrt{9} \cdot \sqrt{10c} = 3 \cdot 3\sqrt{10c} = 9\sqrt{10c}$.

2. Подставим упрощенные значения в исходное выражение:

$4\sqrt{10c} + 4\sqrt{10c} - 9\sqrt{10c}$.

3. Сложим и вычтем коэффициенты при общем radical $\sqrt{10c}$:

$(4 + 4 - 9)\sqrt{10c} = -1\sqrt{10c} = -\sqrt{10c}$.

Ответ: $-\sqrt{10c}$

в) $5\sqrt{27m} - 4\sqrt{48m} - 2\sqrt{12m}$

Упростим каждый член выражения, приведя их к общему подкоренному выражению.

1. Разложим числа под корнями на множители, выделяя полные квадраты:

• $5\sqrt{27m} = 5\sqrt{9 \cdot 3m} = 5 \cdot 3\sqrt{3m} = 15\sqrt{3m}$.
• $4\sqrt{48m} = 4\sqrt{16 \cdot 3m} = 4 \cdot 4\sqrt{3m} = 16\sqrt{3m}$.
• $2\sqrt{12m} = 2\sqrt{4 \cdot 3m} = 2 \cdot 2\sqrt{3m} = 4\sqrt{3m}$.

2. Подставим полученные выражения в исходное:

$15\sqrt{3m} - 16\sqrt{3m} - 4\sqrt{3m}$.

3. Выполним действия с коэффициентами:

$(15 - 16 - 4)\sqrt{3m} = (-1 - 4)\sqrt{3m} = -5\sqrt{3m}$.

Ответ: $-5\sqrt{3m}$

г) $\sqrt{54} - \sqrt{24} + \sqrt{150}$

Чтобы упростить выражение, найдем общий радикал для всех членов.

1. Разложим подкоренные выражения на множители:

• $\sqrt{54} = \sqrt{9 \cdot 6} = 3\sqrt{6}$.
• $\sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}$.
• $\sqrt{150} = \sqrt{25 \cdot 6} = 5\sqrt{6}$.

2. Подставим упрощенные корни обратно в выражение:

$3\sqrt{6} - 2\sqrt{6} + 5\sqrt{6}$.

3. Сгруппируем и вычислим коэффициенты:

$(3 - 2 + 5)\sqrt{6} = 6\sqrt{6}$.

Ответ: $6\sqrt{6}$

д) $3\sqrt{2} + \sqrt{32} - \sqrt{200}$

Упростим слагаемые, содержащие $\sqrt{32}$ и $\sqrt{200}$, приведя их к виду с $\sqrt{2}$.

1. Упростим каждый корень:

• $\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$.
• $\sqrt{200} = \sqrt{100 \cdot 2} = 10\sqrt{2}$.

2. Подставим упрощенные значения в исходное выражение:

$3\sqrt{2} + 4\sqrt{2} - 10\sqrt{2}$.

3. Сложим и вычтем коэффициенты при общем radical $\sqrt{2}$:

$(3 + 4 - 10)\sqrt{2} = (7 - 10)\sqrt{2} = -3\sqrt{2}$.

Ответ: $-3\sqrt{2}$

е) $2\sqrt{72} - \sqrt{50} - 2\sqrt{8}$

Приведем все слагаемые к общему подкоренному выражению, которым, судя по всему, является 2.

1. Упростим каждый член выражения:

• $2\sqrt{72} = 2\sqrt{36 \cdot 2} = 2 \cdot 6\sqrt{2} = 12\sqrt{2}$.
• $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$.
• $2\sqrt{8} = 2\sqrt{4 \cdot 2} = 2 \cdot 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$.

2. Подставим упрощенные значения в выражение:

$12\sqrt{2} - 5\sqrt{2} - 4\sqrt{2}$.

3. Выполним действия с коэффициентами:

$(12 - 5 - 4)\sqrt{2} = (7 - 4)\sqrt{2} = 3\sqrt{2}$.

Ответ: $3\sqrt{2}$