Номер 417, страница 100 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

18. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. § 6. Применение свойств арифмитического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 417, страница 100.

417. Выполните действия:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\left(2\sqrt{5}+1\right)\left(2\sqrt{5}-1\right)={\left(2\sqrt{5}\right)}^2-1^2= \\ =4·5-1=20-1=19 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\left(5\sqrt{7}-\sqrt{13}\right)\left(\sqrt{13}+5\sqrt{7}\right)= \\ ={\left(5\sqrt{7}\right)}^2-{\left(\sqrt{13}\right)}^2= \\ =25·7-13=175-13=162 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\left(3\sqrt{2}-2\sqrt{3}\right)\left(2\sqrt{3}+3\sqrt{2}\right)= \\ ={\left(3\sqrt{2}\right)}^2-{\left(2\sqrt{3}\right)}^2=9·2-4·3=18-12=6 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}{\left(1+3\sqrt{5}\right)}^2=1^2+2·1·3\sqrt{5}+{\left(3\sqrt{5}\right)}^2= \\ =1+6\sqrt{5}+9·5=46+6\sqrt{5} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д) }}{\left(2\sqrt{3}-7\right)}^2={\left(2\sqrt{3}\right)}^2-2·2\sqrt{3}·7+7^2= \\ =4·3-28\sqrt{3}+49=12+49-28\sqrt{3}= \\ =61-28\sqrt{3} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{е) }}{\left(2\sqrt{10}-\sqrt{2}\right)}^2= \\ ={\left(2\sqrt{10}\right)}^2-2·2\sqrt{10}·\sqrt{2}+{\left(\sqrt{2}\right)}^2= \\ =4·10-4\sqrt{20}+2=42-4\sqrt{4·5}= \\ =42-4\sqrt{4}·\sqrt{5}=42-4·2\sqrt{5}=42-8\sqrt{5} \end{gathered}$$

а) Для решения этого выражения используем формулу сокращенного умножения "разность квадратов": $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$. В нашем случае $a = 2\sqrt{5}$ и $b = 1$.
$(2\sqrt{5} + 1)(2\sqrt{5} - 1) = (2\sqrt{5})^2 - 1^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{5})^2 - 1 = 4 \cdot 5 - 1 = 20 - 1 = 19$.
Ответ: $19$.

б) Для удобства вычислений поменяем местами слагаемые во второй скобке: $(5\sqrt{7} - \sqrt{13})(5\sqrt{7} + \sqrt{13})$. Теперь выражение соответствует формуле разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где $a = 5\sqrt{7}$ и $b = \sqrt{13}$.
$(5\sqrt{7})^2 - (\sqrt{13})^2 = 5^2 \cdot (\sqrt{7})^2 - 13 = 25 \cdot 7 - 13 = 175 - 13 = 162$.
Ответ: $162$.

в) Переставим слагаемые во второй скобке, чтобы привести выражение к стандартному виду формулы разности квадратов: $(3\sqrt{2} - 2\sqrt{3})(3\sqrt{2} + 2\sqrt{3})$. Применим формулу $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где $a = 3\sqrt{2}$ и $b = 2\sqrt{3}$.
$(3\sqrt{2})^2 - (2\sqrt{3})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{2})^2 - 2^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 9 \cdot 2 - 4 \cdot 3 = 18 - 12 = 6$.
Ответ: $6$.

г) Для раскрытия скобок используем формулу "квадрат суммы": $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. В этом примере $a = 1$ и $b = 3\sqrt{5}$.
$(1 + 3\sqrt{5})^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot 3\sqrt{5} + (3\sqrt{5})^2 = 1 + 6\sqrt{5} + 3^2 \cdot (\sqrt{5})^2 = 1 + 6\sqrt{5} + 9 \cdot 5 = 1 + 6\sqrt{5} + 45 = 46 + 6\sqrt{5}$.
Ответ: $46 + 6\sqrt{5}$.

д) Здесь применяется формула "квадрат разности": $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В нашем случае $a = 2\sqrt{3}$ и $b = 7$.
$(2\sqrt{3} - 7)^2 = (2\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot 7 + 7^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{3})^2 - 28\sqrt{3} + 49 = 4 \cdot 3 - 28\sqrt{3} + 49 = 12 - 28\sqrt{3} + 49 = 61 - 28\sqrt{3}$.
Ответ: $61 - 28\sqrt{3}$.

е) Используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a = 2\sqrt{10}$ и $b = \sqrt{2}$.
$(2\sqrt{10} - \sqrt{2})^2 = (2\sqrt{10})^2 - 2 \cdot 2\sqrt{10} \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 10 - 4\sqrt{20} + 2$.
Упростим подкоренное выражение: $\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$.
Подставим упрощенное значение: $40 - 4 \cdot (2\sqrt{5}) + 2 = 40 - 8\sqrt{5} + 2 = 42 - 8\sqrt{5}$.
Ответ: $42 - 8\sqrt{5}$.