Номер 423, страница 101 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

18. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. § 6. Применение свойств арифмитического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 423, страница 101.

423. Сократите дробь:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{x^2-2}{x+\sqrt{2}}=\frac{x^2-{\left(\sqrt{2}\right)}^2}{x+\sqrt{2}}= \\ =\frac{(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})}{x+\sqrt{2}}=x-\sqrt{2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{\sqrt{5}-a}{5-a^2}=\frac{\sqrt{5}-a}{{\left(\sqrt{5}\right)}^2-a^2}=\frac{\sqrt{5}-a}{(\sqrt{5}-a)(\sqrt{5}+a)}= \\ =\frac{1}{\sqrt{5}+a} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\frac{\sqrt{x}-5}{25-x}=\frac{\sqrt{x}-5}{5^2-{\left(\sqrt{x}\right)}^2}=\frac{\sqrt{x}-5}{(5-\sqrt{x})(5+\sqrt{x})}= \\ =\frac{-(5-\sqrt{x})}{(5-\sqrt{x})(5+\sqrt{x})}=-\frac{1}{5+\sqrt{x}} \end{gathered}$$

г) $\frac{\sqrt{2}+2}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}+{\left(\sqrt{2}\right)}^2}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}(1+\sqrt{2})}{\sqrt{2}}=1+\sqrt{2}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д) }}\frac{5+\sqrt{10}}{\sqrt{10}}=\frac{{\left(\sqrt{5}\right)}^2+\sqrt{5}·\sqrt{2}}{\sqrt{5}·\sqrt{2}}= \\ =\frac{\sqrt{5}(\sqrt{5}+\sqrt{2})}{\sqrt{5}·\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{е) }}\frac{2\sqrt{3}-3}{5\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}-{\left(\sqrt{3}\right)}^2}{5\sqrt{3}}= \\ =\frac{\sqrt{3}(2-\sqrt{3})}{5\sqrt{3}}=\frac{2-\sqrt{3}}{5} \end{gathered}$$

а)

Исходная дробь: $\frac{x^2 - 2}{x + \sqrt{2}}$

Чтобы сократить дробь, необходимо разложить числитель на множители. Для этого воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Представим число 2 в виде квадрата иррационального числа: $2 = (\sqrt{2})^2$. Тогда числитель можно переписать и разложить на множители:

$x^2 - 2 = x^2 - (\sqrt{2})^2 = (x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})$

Теперь подставим полученное выражение обратно в дробь:

$\frac{(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})}{x + \sqrt{2}}$

Сократим общий множитель $(x + \sqrt{2})$ в числителе и знаменателе, при условии, что $x + \sqrt{2} \neq 0$:

$\frac{(x - \sqrt{2})\cancel{(x + \sqrt{2})}}{\cancel{x + \sqrt{2}}} = x - \sqrt{2}$

Ответ: $x - \sqrt{2}$

б)

Исходная дробь: $\frac{\sqrt{5} - a}{5 - a^2}$

Аналогично предыдущему примеру, разложим знаменатель на множители по формуле разности квадратов. Представим число 5 как $(\sqrt{5})^2$.

$5 - a^2 = (\sqrt{5})^2 - a^2 = (\sqrt{5} - a)(\sqrt{5} + a)$

Подставим разложенный знаменатель в исходную дробь:

$\frac{\sqrt{5} - a}{(\sqrt{5} - a)(\sqrt{5} + a)}$

Сократим общий множитель $(\sqrt{5} - a)$ в числителе и знаменателе, при условии, что $\sqrt{5} - a \neq 0$:

$\frac{\cancel{\sqrt{5} - a}}{(\cancel{\sqrt{5} - a})(\sqrt{5} + a)} = \frac{1}{\sqrt{5} + a}$

Ответ: $\frac{1}{\sqrt{5} + a}$

в)

Исходная дробь: $\frac{\sqrt{x} - 5}{25 - x}$

Для сокращения этой дроби разложим знаменатель на множители по формуле разности квадратов. Учтем, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным ($x \ge 0$), и представим $x$ как $(\sqrt{x})^2$.

$25 - x = 5^2 - (\sqrt{x})^2 = (5 - \sqrt{x})(5 + \sqrt{x})$

Заметим, что выражение в числителе $\sqrt{x} - 5$ отличается от множителя $5 - \sqrt{x}$ в знаменателе только знаком. Вынесем -1 за скобки в числителе:

$\sqrt{x} - 5 = -(5 - \sqrt{x})$

Подставим преобразованные выражения в дробь:

$\frac{-(5 - \sqrt{x})}{(5 - \sqrt{x})(5 + \sqrt{x})}$

Сократим общий множитель $(5 - \sqrt{x})$, при условии, что $5 - \sqrt{x} \neq 0$ (то есть $x \neq 25$):

$\frac{-\cancel{(5 - \sqrt{x})}}{(\cancel{5 - \sqrt{x}})(5 + \sqrt{x})} = -\frac{1}{5 + \sqrt{x}}$

Ответ: $-\frac{1}{5 + \sqrt{x}}$

г)

Исходная дробь: $\frac{\sqrt{2} + 2}{\sqrt{2}}$

Для упрощения дроби можно разделить числитель на знаменатель почленно:

$\frac{\sqrt{2} + 2}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} + \frac{2}{\sqrt{2}}$

Упростим каждое слагаемое. Первое слагаемое равно 1. Во втором слагаемом представим 2 как $(\sqrt{2})^2$:

$\frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{2})^2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$

Сложим полученные результаты:

$1 + \sqrt{2}$

Ответ: $1 + \sqrt{2}$

д)

Исходная дробь: $\frac{5 + \sqrt{10}}{\sqrt{10}}$

Разделим числитель на знаменатель почленно:

$\frac{5 + \sqrt{10}}{\sqrt{10}} = \frac{5}{\sqrt{10}} + \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}} = \frac{5}{\sqrt{10}} + 1$

Теперь упростим первое слагаемое $\frac{5}{\sqrt{10}}$, избавившись от иррациональности в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{10}$:

$\frac{5}{\sqrt{10}} = \frac{5 \cdot \sqrt{10}}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{10}} = \frac{5\sqrt{10}}{10} = \frac{\sqrt{10}}{2}$

Подставим упрощенное слагаемое обратно в выражение:

$\frac{\sqrt{10}}{2} + 1$

При желании можно привести к общему знаменателю: $\frac{\sqrt{10}}{2} + \frac{2}{2} = \frac{\sqrt{10} + 2}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{10} + 2}{2}$

е)

Исходная дробь: $\frac{2\sqrt{3} - 3}{5\sqrt{3}}$

Для сокращения дроби вынесем в числителе общий множитель. Для этого представим число 3 как произведение с участием $\sqrt{3}$: $3 = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = (\sqrt{3})^2$.

Числитель примет вид: $2\sqrt{3} - (\sqrt{3})^2$.

Теперь можно вынести $\sqrt{3}$ за скобки:

$\sqrt{3}(2 - \sqrt{3})$

Подставим полученное выражение в числитель дроби:

$\frac{\sqrt{3}(2 - \sqrt{3})}{5\sqrt{3}}$

Сократим общий множитель $\sqrt{3}$ в числителе и знаменателе:

$\frac{\cancel{\sqrt{3}}(2 - \sqrt{3})}{5\cancel{\sqrt{3}}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{5}$

Ответ: $\frac{2 - \sqrt{3}}{5}$