Номер 425, страница 101 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

18. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. § 6. Применение свойств арифмитического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 425, страница 101.

425. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

a) $\frac{m}{\sqrt{x}}=\frac{m\sqrt{x}}{\sqrt{x}·\sqrt{x}}=\frac{m\sqrt{x}}{x}$

б) $\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}·\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

в) $\frac{3}{5\sqrt{c}}=\frac{3\sqrt{c}}{5\sqrt{c}·\sqrt{c}}=\frac{3\sqrt{c}}{5c}$

г) $\frac{a}{2\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{3}}{2\sqrt{3}·\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{3}}{2·3}=\frac{a\sqrt{3}}{6}$

д) $\frac{3}{2\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{3}·\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{3}}{2·3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

е) $\frac{5}{4\sqrt{15}}=\frac{5·\sqrt{15}}{4\sqrt{15}·\sqrt{15}}=\frac{5\sqrt{15}}{4·15}=\frac{\sqrt{15}}{4·3}=\frac{\sqrt{15}}{12}$

Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби, нужно домножить числитель и знаменатель этой дроби на выражение, которое позволит избавиться от корня в знаменателе. В данных примерах достаточно домножить на корень, стоящий в знаменателе.

а)

Дана дробь $ \frac{m}{\sqrt{x}} $.

Чтобы избавиться от корня в знаменателе, домножим числитель и знаменатель на $ \sqrt{x} $:

$ \frac{m}{\sqrt{x}} = \frac{m \cdot \sqrt{x}}{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}} = \frac{m\sqrt{x}}{x} $.

Предполагается, что $ x > 0 $.

Ответ: $ \frac{m\sqrt{x}}{x} $.

б)

Дана дробь $ \frac{1}{\sqrt{2}} $.

Домножим числитель и знаменатель на $ \sqrt{2} $:

$ \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Ответ: $ \frac{\sqrt{2}}{2} $.

в)

Дана дробь $ \frac{3}{5\sqrt{c}} $.

Иррациональность в знаменателе создается множителем $ \sqrt{c} $. Домножим числитель и знаменатель на $ \sqrt{c} $:

$ \frac{3}{5\sqrt{c}} = \frac{3 \cdot \sqrt{c}}{5\sqrt{c} \cdot \sqrt{c}} = \frac{3\sqrt{c}}{5 \cdot c} = \frac{3\sqrt{c}}{5c} $.

Предполагается, что $ c > 0 $.

Ответ: $ \frac{3\sqrt{c}}{5c} $.

г)

Дана дробь $ \frac{a}{2\sqrt{3}} $.

Домножим числитель и знаменатель на $ \sqrt{3} $:

$ \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{a \cdot \sqrt{3}}{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{a\sqrt{3}}{6} $.

Ответ: $ \frac{a\sqrt{3}}{6} $.

д)

Дана дробь $ \frac{3}{2\sqrt{3}} $.

Домножим числитель и знаменатель на $ \sqrt{3} $:

$ \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{3 \cdot \sqrt{3}}{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{3\sqrt{3}}{6} $.

Сократим полученную дробь на 3:

$ \frac{3\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} $.

Ответ: $ \frac{\sqrt{3}}{2} $.

е)

Дана дробь $ \frac{5}{4\sqrt{15}} $.

Домножим числитель и знаменатель на $ \sqrt{15} $:

$ \frac{5}{4\sqrt{15}} = \frac{5 \cdot \sqrt{15}}{4\sqrt{15} \cdot \sqrt{15}} = \frac{5\sqrt{15}}{4 \cdot 15} = \frac{5\sqrt{15}}{60} $.

Сократим полученную дробь на 5:

$ \frac{5\sqrt{15}}{60} = \frac{\sqrt{15}}{12} $.

Ответ: $ \frac{\sqrt{15}}{12} $.