Номер 429, страница 102 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

18. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. § 6. Применение свойств арифмитического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 429, страница 102.

429. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

a) $\frac{x}{x+\sqrt{y}}=\frac{x(x-\sqrt{y})}{(x+\sqrt{y})(x-\sqrt{y})}=\frac{x^2-x\sqrt{y}}{x^2-y}$

б) $\frac{b}{a-\sqrt{b}}=\frac{b(a+\sqrt{b})}{(a-\sqrt{b})(a+\sqrt{b})}=\frac{ab+b\sqrt{b}}{a^2-b}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\frac{4}{\sqrt{10}-\sqrt{2}}=\frac{4(\sqrt{10}+\sqrt{2})}{(\sqrt{10}-\sqrt{2})(\sqrt{10}+\sqrt{2})}= \\ =\frac{4(\sqrt{10}+\sqrt{2})}{10-2}=\frac{4(\sqrt{10}+\sqrt{2})}{8}=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2} \end{gathered}$$

г) $\frac{12}{\sqrt{3}+\sqrt{6}}=\frac{12(\sqrt{3}-\sqrt{6})}{(\sqrt{3}+\sqrt{6})(\sqrt{3}-\sqrt{6})}=$

$$\begin{gathered} =\frac{12(\sqrt{3}-\sqrt{6})}{3-6}=\frac{12(\sqrt{3}-\sqrt{6})}{-3}= \\ =-4(\sqrt{3}-\sqrt{6})=-4\sqrt{3}+4\sqrt{6}=4\sqrt{6}-4\sqrt{3} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д) }}\frac{9}{3-2\sqrt{2}}=\frac{9(3+2\sqrt{2})}{(3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})}= \\ =\frac{9(3+2\sqrt{2})}{9-{\left(2\sqrt{2}\right)}^2}=\frac{9(3+2\sqrt{2})}{9-8}= \\ =9(3+2\sqrt{2})=27+18\sqrt{2} \end{gathered}$$

е) $\frac{14}{1+5\sqrt{2}}=\frac{14(1-5\sqrt{2})}{(1+5\sqrt{2})(1-5\sqrt{2})}=$

$$\begin{gathered} =\frac{14(1-5\sqrt{2})}{1-{\left(5\sqrt{2}\right)}^2}=\frac{14(1-5\sqrt{2})}{1-50}= \\ =\frac{14(1-5\sqrt{2})}{-49}=\frac{2(1-5\sqrt{2})}{-7}=-\frac{2-10\sqrt{2}}{7} \end{gathered}$$

Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби, необходимо умножить числитель и знаменатель этой дроби на выражение, сопряженное знаменателю. При этом используется формула разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$, что позволяет избавиться от корней в знаменателе.

а) Исходная дробь: $\frac{x}{x + \sqrt{y}}$.

Сопряженным выражением для знаменателя $x + \sqrt{y}$ является $x - \sqrt{y}$. Умножим числитель и знаменатель дроби на это выражение:

$\frac{x}{x + \sqrt{y}} = \frac{x(x - \sqrt{y})}{(x + \sqrt{y})(x - \sqrt{y})} = \frac{x^2 - x\sqrt{y}}{x^2 - (\sqrt{y})^2} = \frac{x^2 - x\sqrt{y}}{x^2 - y}$.

Ответ: $\frac{x^2 - x\sqrt{y}}{x^2 - y}$.

б) Исходная дробь: $\frac{b}{a - \sqrt{b}}$.

Сопряженным выражением для знаменателя $a - \sqrt{b}$ является $a + \sqrt{b}$. Умножим числитель и знаменатель дроби на это выражение:

$\frac{b}{a - \sqrt{b}} = \frac{b(a + \sqrt{b})}{(a - \sqrt{b})(a + \sqrt{b})} = \frac{ab + b\sqrt{b}}{a^2 - (\sqrt{b})^2} = \frac{ab + b\sqrt{b}}{a^2 - b}$.

Ответ: $\frac{ab + b\sqrt{b}}{a^2 - b}$.

в) Исходная дробь: $\frac{4}{\sqrt{10} - \sqrt{2}}$.

Сопряженным выражением для знаменателя $\sqrt{10} - \sqrt{2}$ является $\sqrt{10} + \sqrt{2}$. Умножим числитель и знаменатель дроби на это выражение:

$\frac{4}{\sqrt{10} - \sqrt{2}} = \frac{4(\sqrt{10} + \sqrt{2})}{(\sqrt{10} - \sqrt{2})(\sqrt{10} + \sqrt{2})} = \frac{4(\sqrt{10} + \sqrt{2})}{(\sqrt{10})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{4(\sqrt{10} + \sqrt{2})}{10 - 2} = \frac{4(\sqrt{10} + \sqrt{2})}{8}$.

Сократим полученную дробь на 4:

$\frac{4(\sqrt{10} + \sqrt{2})}{8} = \frac{\sqrt{10} + \sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{10} + \sqrt{2}}{2}$.

г) Исходная дробь: $\frac{12}{\sqrt{3} + \sqrt{6}}$.

Сопряженным выражением для знаменателя $\sqrt{3} + \sqrt{6}$ является $\sqrt{3} - \sqrt{6}$. Для удобства вычислений и получения положительного знаменателя, поменяем слагаемые в знаменателе местами: $\sqrt{6} + \sqrt{3}$. Тогда сопряженное выражение будет $\sqrt{6} - \sqrt{3}$.

$\frac{12}{\sqrt{3} + \sqrt{6}} = \frac{12(\sqrt{6} - \sqrt{3})}{(\sqrt{6} + \sqrt{3})(\sqrt{6} - \sqrt{3})} = \frac{12(\sqrt{6} - \sqrt{3})}{(\sqrt{6})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{12(\sqrt{6} - \sqrt{3})}{6 - 3} = \frac{12(\sqrt{6} - \sqrt{3})}{3}$.

Сократим дробь на 3:

$4(\sqrt{6} - \sqrt{3})$.

Ответ: $4(\sqrt{6} - \sqrt{3})$.

д) Исходная дробь: $\frac{9}{3 - 2\sqrt{2}}$.

Сопряженным выражением для знаменателя $3 - 2\sqrt{2}$ является $3 + 2\sqrt{2}$. Умножим числитель и знаменатель на это выражение:

$\frac{9}{3 - 2\sqrt{2}} = \frac{9(3 + 2\sqrt{2})}{(3 - 2\sqrt{2})(3 + 2\sqrt{2})} = \frac{9(3 + 2\sqrt{2})}{3^2 - (2\sqrt{2})^2} = \frac{9(3 + 2\sqrt{2})}{9 - 4 \cdot 2} = \frac{9(3 + 2\sqrt{2})}{9 - 8} = \frac{9(3 + 2\sqrt{2})}{1} = 27 + 18\sqrt{2}$.

Ответ: $27 + 18\sqrt{2}$.

е) Исходная дробь: $\frac{14}{1 + 5\sqrt{2}}$.

Сопряженным выражением для знаменателя $1 + 5\sqrt{2}$ является $1 - 5\sqrt{2}$. Умножим числитель и знаменатель на это выражение:

$\frac{14}{1 + 5\sqrt{2}} = \frac{14(1 - 5\sqrt{2})}{(1 + 5\sqrt{2})(1 - 5\sqrt{2})} = \frac{14(1 - 5\sqrt{2})}{1^2 - (5\sqrt{2})^2} = \frac{14(1 - 5\sqrt{2})}{1 - 25 \cdot 2} = \frac{14(1 - 5\sqrt{2})}{1 - 50} = \frac{14(1 - 5\sqrt{2})}{-49}$.

Сократим дробь на 7 и избавимся от минуса в знаменателе:

$\frac{14(1 - 5\sqrt{2})}{-49} = \frac{2(1 - 5\sqrt{2})}{-7} = -\frac{2(1 - 5\sqrt{2})}{7} = \frac{2(5\sqrt{2} - 1)}{7} = \frac{10\sqrt{2} - 2}{7}$.

Ответ: $\frac{10\sqrt{2} - 2}{7}$.