Номер 433, страница 102 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

18. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. § 6. Применение свойств арифмитического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 433, страница 102.

433. Упростите выражение 9 - x²4x ∙ 8xx² + 6x + 9- 2 и найдите его значение при x = –2,5.

$$\begin{gathered} \frac{9-x^2}{4x}·\frac{8x}{x^2+6x+9}-2=\frac{(3-x)(3+x)·8x}{4x·{(x+3)}^2}-2= \\ =\frac{(3-x)·8x}{4x·(x+3)}-2=\frac{2(3-x)}{x+3}-2= \\ =\frac{2(3-x)-2(x+3)}{x+3}=\frac{6-2x-2x-6}{x+3}=\frac{-4x}{x+3} \end{gathered}$$

при x=-2,5

$\frac{-4·(-2,5)}{-2,5+3}=\frac{10}{0,5}=\frac{100}{5}=20$

Упростите выражение

Исходное выражение: $\frac{9-x^2}{4x} \cdot \frac{8x}{x^2 + 6x + 9} - 2$.

Для упрощения сначала выполним умножение дробей. Разложим на множители числитель первой дроби и знаменатель второй дроби, используя формулы сокращенного умножения.

Числитель $9-x^2$ — это разность квадратов:

$9-x^2 = (3-x)(3+x)$

Знаменатель $x^2+6x+9$ — это полный квадрат суммы:

$x^2+6x+9 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = (x+3)^2$

Подставим полученные разложения в первую часть выражения:

$\frac{(3-x)(3+x)}{4x} \cdot \frac{8x}{(x+3)^2}$

Теперь сократим общие множители. Заметим, что $3+x = x+3$. Область допустимых значений для этого выражения: $x \neq 0$ и $x \neq -3$.

$\frac{(3-x)\cancel{(x+3)}}{\cancel{4x}} \cdot \frac{2\cancel{(4x)}}{(x+3)^{\cancel{2}}} = \frac{2(3-x)}{x+3}$

Теперь подставим результат обратно в исходное выражение и выполним вычитание:

$\frac{2(3-x)}{x+3} - 2$

Приведем к общему знаменателю $(x+3)$:

$\frac{2(3-x)}{x+3} - \frac{2(x+3)}{x+3} = \frac{2(3-x) - 2(x+3)}{x+3}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{6 - 2x - 2x - 6}{x+3} = \frac{-4x}{x+3}$

Ответ: $\frac{-4x}{x+3}$

Найдите его значение при x = -2,5

Подставим значение $x = -2,5$ в упрощенное выражение $\frac{-4x}{x+3}$.

$\frac{-4 \cdot (-2,5)}{-2,5 + 3}$

Вычислим значение числителя и знаменателя:

$-4 \cdot (-2,5) = 10$

$-2,5 + 3 = 0,5$

Теперь выполним деление:

$\frac{10}{0,5} = 20$

Ответ: 20