Номер 434, страница 102 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

18. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. § 6. Применение свойств арифмитического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 434, страница 102.

434. Решите уравнение:

а) 3x - 12 + 2 - x3+ 1 = 0;

б) y - 106 - 5 - 2y4= 2,5.

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}}\mathbf{ }\raisebox{1ex}{${\displaystyle \frac{3x-1}{2}}+{\displaystyle \frac{2-x}{3}}+1=0$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$·6$}\right. \\ 3(3x-1)+2(2-x)+6=0 \\ 9x-3+4-2x+6=0 \\ 7x+7=0 \\ 7x=-7 \\ x=-1 \\ \text{Ответ:} -1 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}}\mathbf{ }\raisebox{1ex}{${\displaystyle \frac{y-10}{6}}-{\displaystyle \frac{5-2y}{4}}=2,5$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$·12$}\right. \\ 2(y-10)-3(5-2y)=30 \\ 2y-20-15+6y=30 \\ 8y-35=30 \\ 8y=65 \\ y=\frac{65}{8} \\ y=8\frac{1}{8} \\ \text{Ответ:} 8\frac{1}{8} \end{gathered}$$

а) $ \frac{3x-1}{2} + \frac{2-x}{3} + 1 = 0 $

Чтобы решить это уравнение, сначала избавимся от дробей. Для этого умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей 2 и 3, которое равно 6.

$ 6 \cdot \left( \frac{3x-1}{2} + \frac{2-x}{3} + 1 \right) = 6 \cdot 0 $

$ 6 \cdot \frac{3x-1}{2} + 6 \cdot \frac{2-x}{3} + 6 \cdot 1 = 0 $

Сократим дроби, умножив числители на результат деления НОК на знаменатель:

$ 3 \cdot (3x-1) + 2 \cdot (2-x) + 6 = 0 $

Теперь раскроем скобки:

$ 9x - 3 + 4 - 2x + 6 = 0 $

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые (члены с x и свободные члены):

$ (9x - 2x) + (-3 + 4 + 6) = 0 $

$ 7x + 7 = 0 $

Перенесем свободный член в правую часть уравнения, изменив его знак:

$ 7x = -7 $

Найдем x, разделив обе части на 7:

$ x = \frac{-7}{7} $

$ x = -1 $

Ответ: $ x = -1 $.

б) $ \frac{y-10}{6} - \frac{5-2y}{4} = 2,5 $

Для начала избавимся от дробей. Найдем наименьшее общее кратное знаменателей 6 и 4. НОК(6, 4) = 12. Также представим десятичную дробь 2,5 в виде обыкновенной: $ 2,5 = \frac{5}{2} $.

Умножим обе части уравнения на 12:

$ 12 \cdot \left( \frac{y-10}{6} - \frac{5-2y}{4} \right) = 12 \cdot 2,5 $

$ 12 \cdot \frac{y-10}{6} - 12 \cdot \frac{5-2y}{4} = 30 $

Сократим дроби:

$ 2 \cdot (y-10) - 3 \cdot (5-2y) = 30 $

Раскроем скобки. Важно помнить, что знак минус перед второй дробью меняет знаки у всех членов в скобках:

$ 2y - 20 - 15 + 6y = 30 $

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$ (2y + 6y) + (-20 - 15) = 30 $

$ 8y - 35 = 30 $

Перенесем свободный член в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$ 8y = 30 + 35 $

$ 8y = 65 $

Найдем y, разделив обе части на 8:

$ y = \frac{65}{8} $

Ответ можно оставить в виде неправильной дроби или перевести в десятичную:

$ y = 8,125 $

Ответ: $ y = \frac{65}{8} $ (или $ y = 8,125 $).