Номер 438, страница 105 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

19. Преобразование двойных радикалов. § 6. Применение свойств арифмитического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 438, страница 105.

438. Найдите значение выражения:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\sqrt{11+6\sqrt{2}}-\sqrt{2}= \\ =\sqrt{3^2+{\left(\sqrt{2}\right)}^2+2·3\sqrt{2}}-\sqrt{2}= \\ =\sqrt{{(3+\sqrt{2})}^2}-\sqrt{2}=\left|3+\sqrt{2}\right|-\sqrt{2}= \\ =3+\sqrt{2}-\sqrt{2}=3 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\sqrt{27-5\sqrt{8}}+\sqrt{2}=\sqrt{27-5\sqrt{4·2}}+\sqrt{2}= \\ =\sqrt{27-10\sqrt{2}}+\sqrt{2}= \\ =\sqrt{5^2+{\left(\sqrt{2}\right)}^2-2·5\sqrt{2}}+\sqrt{2}= \\ =\sqrt{{(5-\sqrt{2})}^2}+\sqrt{2}=\left|5-\sqrt{2}\right|+\sqrt{2}= \\ =5-\sqrt{2}+\sqrt{2}=5 \end{gathered}$$

а) $\sqrt{11 + 6\sqrt{2}} - \sqrt{2}$

Для решения этой задачи мы попытаемся представить выражение под знаком корня, $11 + 6\sqrt{2}$, в виде полного квадрата суммы, используя формулу $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Мы ищем такие $a$ и $b$, что $a^2+b^2=11$ и $2ab = 6\sqrt{2}$.

Из второго уравнения получаем $ab = 3\sqrt{2}$. Попробуем подобрать простые значения. Например, пусть $a=3$ и $b=\sqrt{2}$.

Проверим, выполняется ли первое условие: $a^2+b^2 = 3^2 + (\sqrt{2})^2 = 9 + 2 = 11$. Условие выполняется.

Таким образом, мы можем записать:

$11 + 6\sqrt{2} = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = (3+\sqrt{2})^2$.

Теперь подставим это обратно в исходное выражение:

$\sqrt{11 + 6\sqrt{2}} - \sqrt{2} = \sqrt{(3+\sqrt{2})^2} - \sqrt{2}$.

Поскольку выражение $3+\sqrt{2}$ положительное, корень из его квадрата равен самому выражению:

$\sqrt{(3+\sqrt{2})^2} = 3+\sqrt{2}$.

Завершаем вычисление:

$(3+\sqrt{2}) - \sqrt{2} = 3$.

Ответ: 3

б) $\sqrt{27 - 5\sqrt{8}} + \sqrt{2}$

Сначала упростим выражение под первым корнем. Заметим, что $\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$.

Подставим это в выражение:

$\sqrt{27 - 5(2\sqrt{2})} + \sqrt{2} = \sqrt{27 - 10\sqrt{2}} + \sqrt{2}$.

Теперь представим подкоренное выражение $27 - 10\sqrt{2}$ в виде полного квадрата разности, используя формулу $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Мы ищем такие $a$ и $b$, что $a^2+b^2=27$ и $2ab = 10\sqrt{2}$.

Из второго уравнения получаем $ab = 5\sqrt{2}$. Попробуем подобрать значения. Например, пусть $a=5$ и $b=\sqrt{2}$.

Проверим первое условие: $a^2+b^2 = 5^2 + (\sqrt{2})^2 = 25 + 2 = 27$. Условие выполняется.

Таким образом, мы можем записать:

$27 - 10\sqrt{2} = 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = (5-\sqrt{2})^2$.

Подставим это в наше выражение:

$\sqrt{(5-\sqrt{2})^2} + \sqrt{2}$.

Поскольку $5 > \sqrt{2}$ (ведь $5^2=25$, а $(\sqrt{2})^2=2$), разность $5-\sqrt{2}$ положительна. Значит, корень из ее квадрата равен самой разности:

$\sqrt{(5-\sqrt{2})^2} = 5-\sqrt{2}$.

Завершаем вычисление:

$(5-\sqrt{2}) + \sqrt{2} = 5$.

Ответ: 5