Номер 439, страница 106 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

19. Преобразование двойных радикалов. § 6. Применение свойств арифмитического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 439, страница 106.

439. Освободитесь от внешнего радикала, пользуясь формулой двойного радикала:

a) $\sqrt{55+\sqrt{216}}=\sqrt{\frac{55+\sqrt{{55}^2-216}}{2}}+$

$$\begin{gathered} [phone]\sqrt{\frac{\mathrm{}\sqrt{{\mathrm{}}^{\mathrm{}}\mathrm{}}}{\mathrm{}}}=\sqrt{\frac{55+\sqrt{3025-216}}{2}}+ \\ [phone]\sqrt{\frac{\mathrm{}\sqrt{\mathrm{}\mathrm{}}}{\mathrm{}}}=\sqrt{\frac{55+\sqrt{2809}}{2}}+ \\ +\sqrt{\frac{55-\sqrt{2809}}{2}}=\sqrt{\frac{55+53}{2}}+\sqrt{\frac{55-53}{2}}= \\ =\sqrt{\frac{102}{2}}+\sqrt{1}=\sqrt{54}+1=\sqrt{9·6}+1=3\sqrt{6}+1 \end{gathered}$$

б) $\sqrt{86-\sqrt{5460}}=\sqrt{\frac{86+\sqrt{{86}^2-5460}}{2}}-$

$$\begin{gathered} -\sqrt{\frac{86-\sqrt{{86}^2-5460}}{2}}=\sqrt{\frac{86+\sqrt{7396-5460}}{2}}- \\ -\sqrt{\frac{86-\sqrt{7396-5460}}{2}}=\sqrt{\frac{86+\sqrt{1936}}{2}}- \\ -\sqrt{\frac{86-\sqrt{1936}}{2}}=\sqrt{\frac{86+44}{2}}-\sqrt{\frac{86-44}{2}}= \\ =\sqrt{\frac{130}{2}}-\sqrt{\frac{42}{2}}=\sqrt{65}-\sqrt{21} \end{gathered}$$

в) $\sqrt{17+\sqrt{288}}=\sqrt{\frac{17+\sqrt{{17}^2-288}}{2}}+$

$$\begin{gathered} [phone]\sqrt{\frac{\mathrm{}\sqrt{{\mathrm{}}^{\mathrm{}}\mathrm{}}}{\mathrm{}}}=\sqrt{\frac{17+\sqrt{289-288}}{2}}+ \\ [phone]\sqrt{\frac{\mathrm{}\sqrt{\mathrm{}\mathrm{}}}{\mathrm{}}}=\sqrt{\frac{17+1}{2}}+\sqrt{\frac{17-1}{2}}= \\ =\sqrt{9}+\sqrt{8}=3+\sqrt{4·2}=3+2\sqrt{2} \end{gathered}$$

г) $\sqrt{32-\sqrt{1008}}=\sqrt{\frac{32+\sqrt{{32}^2-1008}}{2}}-$

$$\begin{gathered} -\sqrt{\frac{32-\sqrt{{32}^2-1008}}{2}}=\sqrt{\frac{32+\sqrt{1024-1008}}{2}}- \\ -\sqrt{\frac{32-\sqrt{1024-1008}}{2}}=\sqrt{\frac{32+\sqrt{16}}{2}}- \\ -\sqrt{\frac{32-\sqrt{16}}{2}}=\sqrt{\frac{32+4}{2}}-\sqrt{\frac{32-4}{2}}= \\ =\sqrt{18}-\sqrt{14}=\sqrt{9·2}-\sqrt{14}=3\sqrt{2}-\sqrt{14} \end{gathered}$$

Для решения данных задач воспользуемся формулой двойного радикала, которая позволяет преобразовать выражение вида $\sqrt{A \pm \sqrt{B}}$ в сумму или разность двух простых радикалов. Для этого представим подкоренное выражение в виде полного квадрата.

Общий метод заключается в следующем: преобразуем выражение $\sqrt{A \pm \sqrt{B}}$ к виду $\sqrt{A \pm 2\sqrt{C}}$, где $C = B/4$. Затем ищем два числа, $x$ и $y$, такие, что их сумма $x+y = A$ и произведение $xy = C$. Если такие числа найдены, то исходное выражение равно:

$\sqrt{A \pm 2\sqrt{C}} = \sqrt{(x+y) \pm 2\sqrt{xy}} = \sqrt{(\sqrt{x} \pm \sqrt{y})^2} = |\sqrt{x} \pm \sqrt{y}|$

Применим этот метод к каждому из примеров.

а) $\sqrt{55 + \sqrt{216}}$

Сначала преобразуем внутренний радикал, выделив множитель 2: $\sqrt{216} = \sqrt{4 \cdot 54} = 2\sqrt{54}$. Теперь выражение имеет вид $\sqrt{55 + 2\sqrt{54}}$. Здесь $A=55$ и подкоренное число у второго радикала $C=54$. Нам нужно найти два числа, $x$ и $y$, для которых $x+y=55$ и $xy=54$. Легко видеть, что это числа 54 и 1.

Следовательно, $55 + 2\sqrt{54} = (54+1) + 2\sqrt{54 \cdot 1} = (\sqrt{54} + \sqrt{1})^2$.

Тогда $\sqrt{55 + \sqrt{216}} = \sqrt{(\sqrt{54} + \sqrt{1})^2} = \sqrt{54} + \sqrt{1}$.

Упрощая, получаем: $\sqrt{54} = \sqrt{9 \cdot 6} = 3\sqrt{6}$.

Итоговое выражение: $3\sqrt{6} + 1$.

Ответ: $3\sqrt{6} + 1$.

б) $\sqrt{86 - \sqrt{5460}}$

Преобразуем внутренний радикал: $\sqrt{5460} = \sqrt{4 \cdot 1365} = 2\sqrt{1365}$. Получаем выражение: $\sqrt{86 - 2\sqrt{1365}}$.

Здесь $A=86$ и $C=1365$. Ищем $x$ и $y$ такие, что $x+y=86$ и $xy=1365$. Разложим 1365 на простые множители: $1365 = 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 13$. Подбираем два числа из этих множителей, сумма которых равна 86. Это $x = 5 \cdot 13 = 65$ и $y = 3 \cdot 7 = 21$. Проверяем: $65+21 = 86$.

Следовательно, $86 - 2\sqrt{1365} = (65+21) - 2\sqrt{65 \cdot 21} = (\sqrt{65} - \sqrt{21})^2$.

Тогда $\sqrt{86 - \sqrt{5460}} = \sqrt{(\sqrt{65} - \sqrt{21})^2} = |\sqrt{65} - \sqrt{21}|$. Так как $65 > 21$, то $\sqrt{65} > \sqrt{21}$, поэтому модуль можно убрать.

Ответ: $\sqrt{65} - \sqrt{21}$.

в) $\sqrt{17 + \sqrt{288}}$

Преобразуем внутренний радикал: $\sqrt{288} = \sqrt{4 \cdot 72} = 2\sqrt{72}$. Получаем выражение: $\sqrt{17 + 2\sqrt{72}}$.

Здесь $A=17$ и $C=72$. Ищем $x$ и $y$ такие, что $x+y=17$ и $xy=72$. Эти числа легко подобрать: $x=9$ и $y=8$.

Следовательно, $17 + 2\sqrt{72} = (9+8) + 2\sqrt{9 \cdot 8} = (\sqrt{9} + \sqrt{8})^2$.

Тогда $\sqrt{17 + \sqrt{288}} = \sqrt{(\sqrt{9} + \sqrt{8})^2} = \sqrt{9} + \sqrt{8}$.

Упрощаем результат: $\sqrt{9}=3$ и $\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$.

Итоговое выражение: $3 + 2\sqrt{2}$.

Ответ: $3 + 2\sqrt{2}$.

г) $\sqrt{32 - \sqrt{1008}}$

Преобразуем внутренний радикал: $\sqrt{1008} = \sqrt{4 \cdot 252} = 2\sqrt{252}$. Получаем выражение: $\sqrt{32 - 2\sqrt{252}}$.

Здесь $A=32$ и $C=252$. Ищем $x$ и $y$ такие, что $x+y=32$ и $xy=252$. Для нахождения $x$ и $y$ можно решить квадратное уравнение $t^2 - 32t + 252 = 0$.

Дискриминант $D = (-32)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 252 = 1024 - 1008 = 16$.

Корни уравнения: $t_{1,2} = \frac{32 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{32 \pm 4}{2}$. Отсюда $x = t_1 = \frac{36}{2} = 18$ и $y = t_2 = \frac{28}{2} = 14$.

Следовательно, $32 - 2\sqrt{252} = (18+14) - 2\sqrt{18 \cdot 14} = (\sqrt{18} - \sqrt{14})^2$.

Тогда $\sqrt{32 - \sqrt{1008}} = \sqrt{(\sqrt{18} - \sqrt{14})^2} = |\sqrt{18} - \sqrt{14}|$. Так как $18 > 14$, то $\sqrt{18} > \sqrt{14}$, поэтому модуль можно убрать.

Упрощаем $\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$.

Итоговое выражение: $3\sqrt{2} - \sqrt{14}$.

Ответ: $3\sqrt{2} - \sqrt{14}$.