Номер 444, страница 106 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

19. Преобразование двойных радикалов. § 6. Применение свойств арифмитического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 444, страница 106.

444. Докажите, что верно равенство:

a) $\sqrt{10+\sqrt{24}+\sqrt{40}+\sqrt{60}}=\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}$

Возведем в квадрат обе части равенства

$$\begin{gathered} {\left(\sqrt{10+\sqrt{24}+\sqrt{40}+\sqrt{60}}\right)}^2={\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}\right)}^2 \\ 10+\sqrt{24}+\sqrt{40}+\sqrt{60}= \\ ={(\sqrt{2}+\sqrt{3})}^2+2\sqrt{5}(\sqrt{2}+\sqrt{3})+{\left(\sqrt{5}\right)}^2 \\ 10+\sqrt{4·6}+\sqrt{4·10}+\sqrt{4·15}= \\ =2+3+2\sqrt{6}+2\sqrt{10}+2\sqrt{15}+5 \\ 10+2\sqrt{6}+2\sqrt{10}+2\sqrt{15}= \\ =10+2\sqrt{6}+2\sqrt{10}+2\sqrt{15} \end{gathered}$$

б) $\sqrt{9+\sqrt{12}-\sqrt{20}-\sqrt{60}}=1+\sqrt{3}-\sqrt{5}$

Возведем в квадрат обе части равенства

$$\begin{gathered} {\left(\sqrt{9+\sqrt{12}-\sqrt{20}-\sqrt{60}}\right)}^2={(1+\sqrt{3}-\sqrt{5})}^2 \\ 9+\sqrt{12}-\sqrt{20}-\sqrt{60}={(1+\sqrt{3})}^2-2\sqrt{5}(1+\sqrt{3})+5 \\ 9+\sqrt{4·3}-\sqrt{4·5}-\sqrt{4·15}= \\ =1+2\sqrt{3}+3-2\sqrt{5}-2\sqrt{15}+5 \\ 9+2\sqrt{3}-2\sqrt{5}-2\sqrt{15}=9+2\sqrt{3}-2\sqrt{5}-2\sqrt{15} \end{gathered}$$

а) Чтобы доказать данное равенство, достаточно возвести в квадрат его правую часть и убедиться, что полученное выражение равно подкоренному выражению в левой части. Обе части равенства являются положительными числами (в правой части сумма положительных корней, в левой — арифметический квадратный корень), поэтому такое преобразование является равносильным.

Возведем правую часть в квадрат, используя формулу квадрата суммы трех слагаемых: $(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$.

$(\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5})^2 = (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{5})^2 + 2(\sqrt{2})(\sqrt{3}) + 2(\sqrt{2})(\sqrt{5}) + 2(\sqrt{3})(\sqrt{5})$

Выполним вычисления:

$= 2 + 3 + 5 + 2\sqrt{6} + 2\sqrt{10} + 2\sqrt{15} = 10 + 2\sqrt{6} + 2\sqrt{10} + 2\sqrt{15}$

Теперь упростим подкоренное выражение в левой части исходного равенства:

$10 + \sqrt{24} + \sqrt{40} + \sqrt{60} = 10 + \sqrt{4 \cdot 6} + \sqrt{4 \cdot 10} + \sqrt{4 \cdot 15}$

$= 10 + 2\sqrt{6} + 2\sqrt{10} + 2\sqrt{15}$

Так как квадрат правой части равенства равен подкоренному выражению в левой части, исходное равенство верно.

Ответ: Равенство доказано.

б) Докажем это равенство аналогичным способом. Возведем в квадрат правую часть. Но сначала проверим, является ли правая часть положительным числом, так как арифметический квадратный корень (левая часть) не может быть отрицательным.

Оценим значение выражения $1 + \sqrt{3} - \sqrt{5}$. Мы знаем, что $1.7 < \sqrt{3} < 1.8$ и $2.2 < \sqrt{5} < 2.3$.

$1 + \sqrt{3} - \sqrt{5} \approx 1 + 1.732 - 2.236 = 2.732 - 2.236 = 0.496$.

Так как $0.496 > 0$, правая часть положительна. Теперь мы можем возводить обе части в квадрат.

Возведем правую часть в квадрат по формуле $(a+b-c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab-2ac-2bc$:

$(1 + \sqrt{3} - \sqrt{5})^2 = 1^2 + (\sqrt{3})^2 + (-\sqrt{5})^2 + 2(1)(\sqrt{3}) - 2(1)(\sqrt{5}) - 2(\sqrt{3})(\sqrt{5})$

$= 1 + 3 + 5 + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{5} - 2\sqrt{15} = 9 + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{5} - 2\sqrt{15}$

Теперь упростим подкоренное выражение в левой части равенства:

$9 + \sqrt{12} - \sqrt{20} - \sqrt{60} = 9 + \sqrt{4 \cdot 3} - \sqrt{4 \cdot 5} - \sqrt{4 \cdot 15}$

$= 9 + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{5} - 2\sqrt{15}$

Результаты совпали. Поскольку обе части исходного равенства положительны и их квадраты равны, само равенство также является верным.

Ответ: Равенство доказано.