Номер 451, страница 107 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 4. Дополнительные упражнения к главе II. Глава 2. Квадратные корни - номер 451, страница 107.

451. Известно, что числа х и y нечётные. Будет ли чётным или нечётным числом:

а) сумма x + y;

б) разность x – y;

в) произведение xy?

Так как x и y - нечётные числа, то x=2a+1, y=2b+1

a) $$\begin{gathered} x+y=2a+1+2b+1=2a+2b+2= \\ =2(a+b+1) -\text{ чётное число} \end{gathered}$$

б) $$\begin{gathered} x-y=(2a+1)-(2b+1)=2a+1-2b-1= \\ =2(a-b) -\text{ чётное число} \end{gathered}$$

в) $$\begin{gathered} xy=(2a+1)(2b+1)=4ab+2a+2b+1= \\ =2(2ab+a+b)-1 -\text{ нечётное число} \end{gathered}$$

По определению, нечётное число — это целое число, которое при делении на 2 даёт в остатке 1. Любое нечётное число можно представить в виде $2n + 1$, где $n$ — некоторое целое число.

По условию, числа $x$ и $y$ нечётные. Представим их в общем виде:
$x = 2k + 1$
$y = 2m + 1$
где $k$ и $m$ — некоторые целые числа.

а) сумма $x + y$;

Найдём сумму чисел $x$ и $y$:
$x + y = (2k + 1) + (2m + 1) = 2k + 2m + 2$.
Вынесем общий множитель 2 за скобки:
$x + y = 2(k + m + 1)$.
Так как $k$ и $m$ — целые числа, то их сумма, увеличенная на 1, то есть $k + m + 1$, также является целым числом. Обозначим $n = k + m + 1$.
Тогда сумма $x + y$ равна $2n$. Число, которое можно представить в виде произведения 2 на целое число, по определению является чётным. Таким образом, сумма двух нечётных чисел всегда является чётным числом.
Ответ: чётным.

б) разность $x - y$;

Найдём разность чисел $x$ и $y$:
$x - y = (2k + 1) - (2m + 1) = 2k + 1 - 2m - 1 = 2k - 2m$.
Вынесем общий множитель 2 за скобки:
$x - y = 2(k - m)$.
Так как $k$ и $m$ — целые числа, то их разность $k - m$ также является целым числом. Обозначим $p = k - m$.
Тогда разность $x - y$ равна $2p$. Это число по определению является чётным. Таким образом, разность двух нечётных чисел всегда является чётным числом.
Ответ: чётным.

в) произведение $xy$?

Найдём произведение чисел $x$ и $y$:
$xy = (2k + 1)(2m + 1) = 4km + 2k + 2m + 1$.
В первых трёх слагаемых вынесем общий множитель 2 за скобки:
$xy = 2(2km + k + m) + 1$.
Так как $k$ и $m$ — целые числа, то выражение в скобках $2km + k + m$ также является целым числом. Обозначим $q = 2km + k + m$.
Тогда произведение $xy$ можно представить в виде $2q + 1$. Число такого вида по определению является нечётным. Таким образом, произведение двух нечётных чисел всегда является нечётным числом.
Ответ: нечётным.