Номер 450, страница 107 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 4. Дополнительные упражнения к главе II. Глава 2. Квадратные корни - номер 450, страница 107.

450. Докажите, что если числа x и y чётные, то чётным будет число:

а) x – y;

б) xy;

в) 3x + y.

Так как x и y - чётные числа, то x=2a, y=2b

a) x-y=2a-2b=2(a-b) - число чётное

б) xy=2a*2b=4ab - число чётное

в) 3x+y=3*2a+2b=6a+2b=2(3a+b) - число чётное

По определению, чётное число — это целое число, которое можно разделить на 2 без остатка. Любое чётное число можно представить в виде $2k$, где $k$ — некоторое целое число.

Согласно условию задачи, числа $x$ и $y$ являются чётными. Это означает, что их можно представить в следующем виде:
$x = 2m$
$y = 2n$
где $m$ и $n$ — некоторые целые числа.

Теперь докажем утверждения для каждого из предложенных выражений.

а) Рассмотрим разность $x - y$. Подставим в это выражение наши представления для $x$ и $y$:
$x - y = 2m - 2n$
Вынесем общий множитель 2 за скобки:
$x - y = 2(m - n)$
Поскольку $m$ и $n$ являются целыми числами, их разность $(m - n)$ также будет целым числом. Если мы обозначим эту разность как $k = m - n$, то получим $x - y = 2k$. Это выражение соответствует определению чётного числа.
Ответ: число $x - y$ является чётным.

б) Рассмотрим произведение $xy$. Подставим в него наши представления для $x$ и $y$:
$xy = (2m)(2n) = 4mn$
Мы можем переписать результат так, чтобы явно выделить множитель 2:
$xy = 2(2mn)$
Поскольку $m$ и $n$ являются целыми числами, то произведение $2mn$ также будет целым числом. Если мы обозначим это произведение как $k = 2mn$, то получим $xy = 2k$. Это выражение соответствует определению чётного числа.
Ответ: число $xy$ является чётным.

в) Рассмотрим выражение $3x + y$. Подставим в него наши представления для $x$ и $y$:
$3x + y = 3(2m) + 2n = 6m + 2n$
Вынесем общий множитель 2 за скобки:
$3x + y = 2(3m + n)$
Поскольку $m$ и $n$ являются целыми числами, то выражение в скобках $(3m + n)$ также будет целым числом. Если мы обозначим это выражение как $k = 3m + n$, то получим $3x + y = 2k$. Это выражение соответствует определению чётного числа.
Ответ: число $3x + y$ является чётным.