Номер 455, страница 107 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 4. Дополнительные упражнения к главе II. Глава 2. Квадратные корни - номер 455, страница 107.

455. Известно, что число а рациональное, а число b иррациональное. Будет ли рациональным или иррациональным число:

а) a + b;

б) a – b?

a∈Q, b∈I

а) a+b∈I

Ответ: иррациональное

б) a-b∈I

Ответ: иррациональное

а) a + b;

Чтобы определить, является ли число $a + b$ рациональным или иррациональным, воспользуемся методом доказательства от противного. По условию, число $a$ является рациональным, а число $b$ — иррациональным.

Предположим, что их сумма $c = a + b$ является рациональным числом.

Из этого равенства можно выразить $b$:
$b = c - a$

Мы знаем, что множество рациональных чисел замкнуто относительно операции вычитания. Это означает, что разность двух рациональных чисел всегда является рациональным числом. Поскольку по нашему предположению $c$ — рациональное число и по условию $a$ — рациональное число, то их разность $c - a$ также должна быть рациональным числом.

Таким образом, получается, что число $b$ является рациональным. Однако это прямо противоречит исходному условию, в котором говорится, что $b$ — иррациональное число.

Так как наше предположение привело к противоречию, оно неверно. Следовательно, сумма рационального и иррационального чисел не может быть рациональным числом.

Ответ: иррациональное число.

б) a - b?

Аналогично пункту а), докажем, что разность рационального числа $a$ и иррационального числа $b$ будет иррациональным числом. Воспользуемся методом от противного.

Предположим, что разность $d = a - b$ является рациональным числом.

Выразим из этого равенства $b$:
$b = a - d$

По условию, $a$ — рациональное число. По нашему предположению, $d$ — также рациональное число. Разность двух рациональных чисел ($a$ и $d$) всегда является рациональным числом.

Отсюда следует, что $b$ должно быть рациональным числом. Это утверждение противоречит исходному условию, согласно которому $b$ — иррациональное число.

Противоречие доказывает, что наше первоначальное предположение было ошибочным. Следовательно, разность $a - b$ не может быть рациональным числом.

Ответ: иррациональное число.