Номер 458, страница 108 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 4. Дополнительные упражнения к главе II. Глава 2. Квадратные корни - номер 458, страница 108.

458. Решите уравнение:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}}\mathbf{ }5\sqrt{x}=3 \\ \sqrt{x}=\frac{3}{5} \\ \sqrt{x}=0,6 \\ x=0,36 \\ \text{Ответ:} 0,36 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} \frac{1}{\sqrt{3x}}=1 \\ \sqrt{3x}=1 \\ 3x=1 \\ x=\frac{1}{3} \\ \text{Ответ:} \frac{1}{3} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в)}} \frac{1}{4\sqrt{x}}=2 \\ 8\sqrt{x}=1 \\ \sqrt{x}=\frac{1}{8} \\ x=\frac{1}{64} \\ \text{Ответ:} \frac{1}{64} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г)}} \sqrt{x-5}=4 \\ x-5=16 \\ x=21 \\ \text{Ответ:} 21 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д)}} 1+\sqrt{2x}=10 \\ \sqrt{2x}=9 \\ 2x=81 \\ x=\frac{81}{2} \\ x=40,5 \\ \text{Ответ:} 40,5 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{е)}} 3\sqrt{x}-5=4 \\ 3\sqrt{x}=9 \\ \sqrt{x}=3 \\ x=9 \\ \text{Ответ:} 9 \end{gathered}$$

а) $5\sqrt{x} = 3$

Для решения данного уравнения сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Поскольку подкоренное выражение не может быть отрицательным, $x \ge 0$.

Разделим обе части уравнения на 5, чтобы выделить корень:

$\sqrt{x} = \frac{3}{5}$

Теперь возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x})^2 = (\frac{3}{5})^2$

$x = \frac{9}{25}$

Полученное значение $x = \frac{9}{25}$ входит в ОДЗ ($ \frac{9}{25} \ge 0 $). Выполним проверку, подставив найденный корень в исходное уравнение:

$5\sqrt{\frac{9}{25}} = 5 \cdot \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{25}} = 5 \cdot \frac{3}{5} = 3$

$3 = 3$. Равенство верное.

Ответ: $x = \frac{9}{25}$.

б) $\frac{1}{\sqrt{3x}} = 1$

ОДЗ: выражение под корнем должно быть строго положительным, так как оно находится в знаменателе. $3x > 0$, откуда $x > 0$.

Из уравнения следует, что знаменатель $\sqrt{3x}$ должен быть равен 1:

$\sqrt{3x} = 1$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{3x})^2 = 1^2$

$3x = 1$

$x = \frac{1}{3}$

Значение $x = \frac{1}{3}$ удовлетворяет ОДЗ ($ \frac{1}{3} > 0 $). Проверка:

$\frac{1}{\sqrt{3 \cdot \frac{1}{3}}} = \frac{1}{\sqrt{1}} = \frac{1}{1} = 1$

$1=1$. Равенство верное.

Ответ: $x = \frac{1}{3}$.

в) $\frac{1}{4\sqrt{x}} = 2$

ОДЗ: по аналогии с предыдущим примером, $x > 0$.

Выразим $\sqrt{x}$ из уравнения. Для этого можно поменять местами $4\sqrt{x}$ и 2 (используя свойство пропорции):

$4\sqrt{x} = \frac{1}{2}$

Разделим обе части на 4:

$\sqrt{x} = \frac{1}{2 \cdot 4} = \frac{1}{8}$

Возведем обе части в квадрат:

$x = (\frac{1}{8})^2$

$x = \frac{1}{64}$

Значение $x = \frac{1}{64}$ удовлетворяет ОДЗ ($ \frac{1}{64} > 0 $). Проверка:

$\frac{1}{4\sqrt{\frac{1}{64}}} = \frac{1}{4 \cdot \frac{1}{8}} = \frac{1}{\frac{4}{8}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$

$2=2$. Равенство верное.

Ответ: $x = \frac{1}{64}$.

г) $\sqrt{x-5} = 4$

ОДЗ: выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x-5 \ge 0$, откуда $x \ge 5$.

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от знака корня:

$(\sqrt{x-5})^2 = 4^2$

$x-5 = 16$

Перенесем -5 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$x = 16 + 5$

$x = 21$

Значение $x = 21$ удовлетворяет ОДЗ ($ 21 \ge 5 $). Проверка:

$\sqrt{21-5} = \sqrt{16} = 4$

$4=4$. Равенство верное.

Ответ: $x = 21$.

д) $1 + \sqrt{2x} = 10$

ОДЗ: $2x \ge 0$, откуда $x \ge 0$.

Перенесем 1 в правую часть, чтобы изолировать корень:

$\sqrt{2x} = 10 - 1$

$\sqrt{2x} = 9$

Возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{2x})^2 = 9^2$

$2x = 81$

Найдем $x$:

$x = \frac{81}{2}$

Значение $x = \frac{81}{2}$ удовлетворяет ОДЗ ($ \frac{81}{2} \ge 0 $). Проверка:

$1 + \sqrt{2 \cdot \frac{81}{2}} = 1 + \sqrt{81} = 1 + 9 = 10$

$10=10$. Равенство верное.

Ответ: $x = \frac{81}{2}$.

е) $3\sqrt{x} - 5 = 4$

ОДЗ: $x \ge 0$.

Сначала изолируем слагаемое с корнем, перенеся -5 в правую часть:

$3\sqrt{x} = 4 + 5$

$3\sqrt{x} = 9$

Разделим обе части на 3:

$\sqrt{x} = 3$

Возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{x})^2 = 3^2$

$x = 9$

Значение $x=9$ удовлетворяет ОДЗ ($ 9 \ge 0 $). Проверка:

$3\sqrt{9} - 5 = 3 \cdot 3 - 5 = 9 - 5 = 4$

$4=4$. Равенство верное.

Ответ: $x = 9$.