Страница 108 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

456. Найдите значение выражения:

a) $0,3\sqrt{289}=0,3·17=5,1$

б) $-4\sqrt{0,81}=-4·0,9=-3,6$

в) $\sqrt{\frac{9}{49}}-1=\frac{3}{7}-1=-\frac{4}{7}$

г) $\frac{4}{\sqrt{256}}-\frac{1}{\sqrt{64}}=\frac{4}{16}-\frac{1}{8}=\frac{1}{4}-\frac{1}{8}=\frac{2}{8}-\frac{1}{8}=\frac{1}{8}$

д) $2\sqrt{0,0121}+\sqrt{100}=2·0,11+10=0,22+10=10,22$

е) $\frac{\sqrt{144}}{6}+\sqrt{2,89}=\frac{12}{6}+1,7=2+1,7=3,7$

а) Для вычисления значения выражения $0,3\sqrt{289}$ необходимо сначала найти квадратный корень из 289. Так как $17^2 = 289$, то $\sqrt{289} = 17$. Затем умножим полученное значение на коэффициент 0,3.
$0,3 \cdot \sqrt{289} = 0,3 \cdot 17 = 5,1$.
Ответ: 5,1.

б) Для вычисления значения выражения $-4\sqrt{0,81}$ сначала найдем квадратный корень из 0,81. Так как $0,9^2 = 0,81$, то $\sqrt{0,81} = 0,9$. Затем умножим полученное значение на коэффициент -4.
$-4 \cdot \sqrt{0,81} = -4 \cdot 0,9 = -3,6$.
Ответ: -3,6.

в) Чтобы найти значение выражения $\sqrt{\frac{9}{49}} - 1$, сначала извлечем квадратный корень из дроби. Используем свойство корня из частного $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$.
$\sqrt{\frac{9}{49}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{49}} = \frac{3}{7}$.
Теперь вычтем 1 из полученного результата. Представим 1 в виде дроби со знаменателем 7: $1 = \frac{7}{7}$.
$\frac{3}{7} - 1 = \frac{3}{7} - \frac{7}{7} = \frac{3-7}{7} = -\frac{4}{7}$.
Ответ: $-\frac{4}{7}$.

г) В выражении $\frac{4}{\sqrt{256}} - \frac{1}{\sqrt{64}}$ сначала вычислим значения квадратных корней в знаменателях.
$\sqrt{256} = 16$ и $\sqrt{64} = 8$.
Подставим эти значения в исходное выражение:
$\frac{4}{16} - \frac{1}{8}$.
Сократим первую дробь: $\frac{4}{16} = \frac{1}{4}$.
Теперь необходимо вычесть дроби: $\frac{1}{4} - \frac{1}{8}$. Приведем их к общему знаменателю 8.
$\frac{1 \cdot 2}{4 \cdot 2} - \frac{1}{8} = \frac{2}{8} - \frac{1}{8} = \frac{1}{8}$.
Ответ: $\frac{1}{8}$.

д) Для вычисления значения выражения $2\sqrt{0,0121} + \sqrt{100}$ выполним действия по порядку.
Сначала найдем значения корней: $\sqrt{0,0121} = 0,11$ (так как $0,11^2 = 0,0121$) и $\sqrt{100} = 10$.
Подставим значения в выражение:
$2 \cdot 0,11 + 10 = 0,22 + 10 = 10,22$.
Ответ: 10,22.

е) Чтобы найти значение выражения $\frac{\sqrt{144}}{6} + \sqrt{2,89}$, вычислим каждое слагаемое отдельно.
Найдем значения корней: $\sqrt{144} = 12$ и $\sqrt{2,89} = 1,7$ (так как $1,7^2 = 2,89$).
Подставим значения в выражение:
$\frac{12}{6} + 1,7$.
Выполним деление, а затем сложение:
$2 + 1,7 = 3,7$.
Ответ: 3,7.

457. Найдите значение выражения:

a) при x=2; $\sqrt{5x-10}=\sqrt{5·2-10}=\sqrt{10-10}=\sqrt{0}=0$

при x=2,2; $\sqrt{5x-10}=\sqrt{5·2,2-10}=\sqrt{11-10}=\sqrt{1}=1$

при x=5,2; $\sqrt{5x-10}=\sqrt{5·5,2-10}=\sqrt{26-10}=\sqrt{16}=4$

при x=22; $\sqrt{5x-10}=\sqrt{5·22-10}=\sqrt{110-10}=\sqrt{100}=10$

б) при y=1; $\sqrt{6-2y}=\sqrt{6-2·1}=\sqrt{4}=2$

при y=-1,5; $\sqrt{6-2y}=\sqrt{6-2·(-1,5)}=\sqrt{6+3}=\sqrt{9}=3$

при y=-15; $\sqrt{6-2y}=\sqrt{6-2·(-15)}=\sqrt{6+30}=\sqrt{36}=6$

при y=-37,5; $\sqrt{6-2y}=\sqrt{6-2·(-37,5)}=\sqrt{6+75}=\sqrt{81}=9$

в) при x=0; $\frac{3+\sqrt{x}}{3-\sqrt{x}}=\frac{3+\sqrt{0}}{3-\sqrt{0}}=\frac{3}{3}=1$

при x=1; $\frac{3+\sqrt{x}}{3-\sqrt{x}}=\frac{3+\sqrt{1}}{3-\sqrt{1}}=\frac{3+1}{3-1}=\frac{4}{2}=2$

при x=16; $\frac{3+\sqrt{x}}{3-\sqrt{x}}=\frac{3+\sqrt{16}}{3-\sqrt{16}}=\frac{3+4}{3-4}=\frac{7}{-1}=-7$

при x=0,25; $$\begin{gathered} \frac{3+\sqrt{x}}{3-\sqrt{x}}=\frac{3+\sqrt{0,25}}{3-\sqrt{0,25}}=\frac{3+0,5}{3-0,5}=\frac{3,5}{2,5}= \\ =\frac{35}{25}=\frac{7}{5}=1\frac{2}{5}=1,4 \end{gathered}$$

г) при a=0, b=0; $\sqrt{2a-b}=\sqrt{2·0-0}=\sqrt{0}=0$

при a=4, b=7; $\sqrt{2a-b}=\sqrt{2·4-7}=\sqrt{1}=1$

а)

Чтобы найти значение выражения $\sqrt{5x-10}$, подставим в него поочередно заданные значения $x$ и выполним вычисления:
При $x = 2$: $\sqrt{5 \cdot 2 - 10} = \sqrt{10 - 10} = \sqrt{0} = 0$.
При $x = 2,2$: $\sqrt{5 \cdot 2,2 - 10} = \sqrt{11 - 10} = \sqrt{1} = 1$.
При $x = 5,2$: $\sqrt{5 \cdot 5,2 - 10} = \sqrt{26 - 10} = \sqrt{16} = 4$.
При $x = 22$: $\sqrt{5 \cdot 22 - 10} = \sqrt{110 - 10} = \sqrt{100} = 10$.
Ответ: $0; 1; 4; 10$.

б)

Чтобы найти значение выражения $\sqrt{6-2y}$, подставим в него поочередно заданные значения $y$ и выполним вычисления:
При $y = 1$: $\sqrt{6 - 2 \cdot 1} = \sqrt{6 - 2} = \sqrt{4} = 2$.
При $y = -1,5$: $\sqrt{6 - 2 \cdot (-1,5)} = \sqrt{6 + 3} = \sqrt{9} = 3$.
При $y = -15$: $\sqrt{6 - 2 \cdot (-15)} = \sqrt{6 + 30} = \sqrt{36} = 6$.
При $y = -37,5$: $\sqrt{6 - 2 \cdot (-37,5)} = \sqrt{6 + 75} = \sqrt{81} = 9$.
Ответ: $2; 3; 6; 9$.

в)

Чтобы найти значение выражения $\frac{3+\sqrt{x}}{3-\sqrt{x}}$, подставим в него поочередно заданные значения $x$ и выполним вычисления:
При $x = 0$: $\frac{3+\sqrt{0}}{3-\sqrt{0}} = \frac{3+0}{3-0} = \frac{3}{3} = 1$.
При $x = 1$: $\frac{3+\sqrt{1}}{3-\sqrt{1}} = \frac{3+1}{3-1} = \frac{4}{2} = 2$.
При $x = 16$: $\frac{3+\sqrt{16}}{3-\sqrt{16}} = \frac{3+4}{3-4} = \frac{7}{-1} = -7$.
При $x = 0,25$: $\frac{3+\sqrt{0,25}}{3-\sqrt{0,25}} = \frac{3+0,5}{3-0,5} = \frac{3,5}{2,5} = \frac{35}{25} = \frac{7}{5} = 1,4$.
Ответ: $1; 2; -7; 1,4$.

г)

Чтобы найти значение выражения $\sqrt{2a-b}$, подставим в него заданные пары значений $a$ и $b$ и выполним вычисления:
При $a = 0, b = 0$: $\sqrt{2 \cdot 0 - 0} = \sqrt{0 - 0} = \sqrt{0} = 0$.
При $a = 4, b = 7$: $\sqrt{2 \cdot 4 - 7} = \sqrt{8 - 7} = \sqrt{1} = 1$.
Ответ: $0; 1$.

458. Решите уравнение:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}}\mathbf{ }5\sqrt{x}=3 \\ \sqrt{x}=\frac{3}{5} \\ \sqrt{x}=0,6 \\ x=0,36 \\ \text{Ответ:} 0,36 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} \frac{1}{\sqrt{3x}}=1 \\ \sqrt{3x}=1 \\ 3x=1 \\ x=\frac{1}{3} \\ \text{Ответ:} \frac{1}{3} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в)}} \frac{1}{4\sqrt{x}}=2 \\ 8\sqrt{x}=1 \\ \sqrt{x}=\frac{1}{8} \\ x=\frac{1}{64} \\ \text{Ответ:} \frac{1}{64} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г)}} \sqrt{x-5}=4 \\ x-5=16 \\ x=21 \\ \text{Ответ:} 21 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д)}} 1+\sqrt{2x}=10 \\ \sqrt{2x}=9 \\ 2x=81 \\ x=\frac{81}{2} \\ x=40,5 \\ \text{Ответ:} 40,5 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{е)}} 3\sqrt{x}-5=4 \\ 3\sqrt{x}=9 \\ \sqrt{x}=3 \\ x=9 \\ \text{Ответ:} 9 \end{gathered}$$

а) $5\sqrt{x} = 3$

Для решения данного уравнения сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Поскольку подкоренное выражение не может быть отрицательным, $x \ge 0$.

Разделим обе части уравнения на 5, чтобы выделить корень:

$\sqrt{x} = \frac{3}{5}$

Теперь возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x})^2 = (\frac{3}{5})^2$

$x = \frac{9}{25}$

Полученное значение $x = \frac{9}{25}$ входит в ОДЗ ($ \frac{9}{25} \ge 0 $). Выполним проверку, подставив найденный корень в исходное уравнение:

$5\sqrt{\frac{9}{25}} = 5 \cdot \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{25}} = 5 \cdot \frac{3}{5} = 3$

$3 = 3$. Равенство верное.

Ответ: $x = \frac{9}{25}$.

б) $\frac{1}{\sqrt{3x}} = 1$

ОДЗ: выражение под корнем должно быть строго положительным, так как оно находится в знаменателе. $3x > 0$, откуда $x > 0$.

Из уравнения следует, что знаменатель $\sqrt{3x}$ должен быть равен 1:

$\sqrt{3x} = 1$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{3x})^2 = 1^2$

$3x = 1$

$x = \frac{1}{3}$

Значение $x = \frac{1}{3}$ удовлетворяет ОДЗ ($ \frac{1}{3} > 0 $). Проверка:

$\frac{1}{\sqrt{3 \cdot \frac{1}{3}}} = \frac{1}{\sqrt{1}} = \frac{1}{1} = 1$

$1=1$. Равенство верное.

Ответ: $x = \frac{1}{3}$.

в) $\frac{1}{4\sqrt{x}} = 2$

ОДЗ: по аналогии с предыдущим примером, $x > 0$.

Выразим $\sqrt{x}$ из уравнения. Для этого можно поменять местами $4\sqrt{x}$ и 2 (используя свойство пропорции):

$4\sqrt{x} = \frac{1}{2}$

Разделим обе части на 4:

$\sqrt{x} = \frac{1}{2 \cdot 4} = \frac{1}{8}$

Возведем обе части в квадрат:

$x = (\frac{1}{8})^2$

$x = \frac{1}{64}$

Значение $x = \frac{1}{64}$ удовлетворяет ОДЗ ($ \frac{1}{64} > 0 $). Проверка:

$\frac{1}{4\sqrt{\frac{1}{64}}} = \frac{1}{4 \cdot \frac{1}{8}} = \frac{1}{\frac{4}{8}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$

$2=2$. Равенство верное.

Ответ: $x = \frac{1}{64}$.

г) $\sqrt{x-5} = 4$

ОДЗ: выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x-5 \ge 0$, откуда $x \ge 5$.

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от знака корня:

$(\sqrt{x-5})^2 = 4^2$

$x-5 = 16$

Перенесем -5 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$x = 16 + 5$

$x = 21$

Значение $x = 21$ удовлетворяет ОДЗ ($ 21 \ge 5 $). Проверка:

$\sqrt{21-5} = \sqrt{16} = 4$

$4=4$. Равенство верное.

Ответ: $x = 21$.

д) $1 + \sqrt{2x} = 10$

ОДЗ: $2x \ge 0$, откуда $x \ge 0$.

Перенесем 1 в правую часть, чтобы изолировать корень:

$\sqrt{2x} = 10 - 1$

$\sqrt{2x} = 9$

Возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{2x})^2 = 9^2$

$2x = 81$

Найдем $x$:

$x = \frac{81}{2}$

Значение $x = \frac{81}{2}$ удовлетворяет ОДЗ ($ \frac{81}{2} \ge 0 $). Проверка:

$1 + \sqrt{2 \cdot \frac{81}{2}} = 1 + \sqrt{81} = 1 + 9 = 10$

$10=10$. Равенство верное.

Ответ: $x = \frac{81}{2}$.

е) $3\sqrt{x} - 5 = 4$

ОДЗ: $x \ge 0$.

Сначала изолируем слагаемое с корнем, перенеся -5 в правую часть:

$3\sqrt{x} = 4 + 5$

$3\sqrt{x} = 9$

Разделим обе части на 3:

$\sqrt{x} = 3$

Возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{x})^2 = 3^2$

$x = 9$

Значение $x=9$ удовлетворяет ОДЗ ($ 9 \ge 0 $). Проверка:

$3\sqrt{9} - 5 = 3 \cdot 3 - 5 = 9 - 5 = 4$

$4=4$. Равенство верное.

Ответ: $x = 9$.

459. Решите уравнение 1 + 2 + x = 2.

$$\begin{gathered} \sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{x}}}=2 \\ 1+\sqrt{2+\sqrt{x}}=4 \\ \sqrt{2+\sqrt{x}}=3 \\ 2+\sqrt{x}=9 \\ \sqrt{x}=7 \\ x=49 \end{gathered}$$

Ответ: 49

Дано иррациональное уравнение: $\sqrt{1 + \sqrt{2 + \sqrt{x}}} = 2$.

Для решения этого уравнения необходимо последовательно избавляться от квадратных корней путем возведения обеих частей уравнения в квадрат.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Все подкоренные выражения должны быть неотрицательными.

1. $x \ge 0$.

2. $2 + \sqrt{x}$. Так как $\sqrt{x} \ge 0$, это выражение всегда будет больше или равно 2, поэтому условие $2 + \sqrt{x} \ge 0$ выполняется для всех $x \ge 0$.

3. $1 + \sqrt{2 + \sqrt{x}}$. Аналогично, это выражение всегда будет положительным.

Таким образом, ОДЗ для данного уравнения: $x \ge 0$.

Приступим к решению. Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от внешнего корня:

$(\sqrt{1 + \sqrt{2 + \sqrt{x}}})^2 = 2^2$

$1 + \sqrt{2 + \sqrt{x}} = 4$

Перенесем 1 в правую часть уравнения, чтобы уединить радикал:

$\sqrt{2 + \sqrt{x}} = 4 - 1$

$\sqrt{2 + \sqrt{x}} = 3$

Снова возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{2 + \sqrt{x}})^2 = 3^2$

$2 + \sqrt{x} = 9$

Перенесем 2 в правую часть:

$\sqrt{x} = 9 - 2$

$\sqrt{x} = 7$

И в последний раз возведем обе части в квадрат, чтобы найти $x$:

$(\sqrt{x})^2 = 7^2$

$x = 49$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ. Условие $x \ge 0$ выполняется, так как $49 \ge 0$.

Выполним проверку, подставив найденное значение $x = 49$ в исходное уравнение:

$\sqrt{1 + \sqrt{2 + \sqrt{49}}} = \sqrt{1 + \sqrt{2 + 7}} = \sqrt{1 + \sqrt{9}} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$

$2 = 2$

Равенство верное, следовательно, корень найден правильно.

Ответ: 49.

460. Может ли:

а) сумма двух иррациональных чисел быть рациональным числом;

б) произведение рационального и иррационального чисел быть рациональным числом?

а) $-\sqrt{5}+\sqrt{5}=0$

Ответ: да

б) $0·\sqrt{3}=0$

Ответ: да

а) Да, сумма двух иррациональных чисел может быть рациональным числом. Для подтверждения этого утверждения достаточно привести один пример.

Иррациональные числа — это действительные числа, которые нельзя представить в виде обыкновенной дроби. Рациональные числа, наоборот, можно представить в виде дроби.

Рассмотрим два иррациональных числа: $a = \sqrt{2}$ и $b = -\sqrt{2}$. Число $\sqrt{2}$ является иррациональным. Противоположное ему число $-\sqrt{2}$ также является иррациональным.

Вычислим их сумму:

$a + b = \sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \sqrt{2} = 0$

Результат сложения, 0, является рациональным числом, поскольку его можно представить в виде дроби, например, $0/1$. Таким образом, существует пара иррациональных чисел, сумма которых рациональна.

Другой пример: числа $5 + \sqrt{3}$ и $5 - \sqrt{3}$ являются иррациональными, а их сумма $(5 + \sqrt{3}) + (5 - \sqrt{3}) = 10$ — рациональное число.

Ответ: Да, может.

б) Да, произведение рационального и иррационального чисел может быть рациональным числом. Это возможно в единственном случае: когда рациональное число равно нулю.

Рассмотрим этот случай. Число 0 является рациональным, так как его можно записать в виде дроби, например, $0/1$.

Возьмем рациональное число $r = 0$ и любое иррациональное число, например, $i = \pi$.

Найдем их произведение:

$r \cdot i = 0 \cdot \pi = 0$

Результат, 0, является рациональным числом. Этот пример показывает, что произведение рационального и иррационального чисел может быть рациональным.

Важно отметить, что если рациональный множитель отличен от нуля, то его произведение с любым иррациональным числом всегда будет иррациональным.

Ответ: Да, может.

461. Приведите пример уравнения вида x² = a, которое:

а) имеет два рациональных корня;

б) имеет два иррациональных корня;

в) не имеет корней.

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}}\mathbf{ }{x}^2=1,44 \\ {x}_1=1,2 \\ {x}_2=-1,2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}}\mathbf{ }{x}^2=5 \\ {x}_1=\sqrt{5} \\ {x}_2=-\sqrt{5} \end{gathered}$$

$\mathbf{\text{в)}}\mathbf{ }{x}^2=-2$

Рассмотрим уравнение вида $x^2 = a$. Корни этого уравнения (если они существуют в множестве действительных чисел) равны $x = \pm\sqrt{a}$. Количество и тип корней зависят от значения $a$.

а) имеет два рациональных корня;
Чтобы уравнение $x^2 = a$ имело два рациональных корня, необходимо, чтобы $a$ было положительным числом ($a > 0$), из которого можно извлечь квадратный корень и получить рациональное число. Это означает, что $a$ должно быть полным квадратом некоторого рационального числа.
Например, выберем $a = 25$. Число 25 является полным квадратом числа 5 ($25 = 5^2$).
Тогда уравнение примет вид: $x^2 = 25$.
Его корни: $x_1 = \sqrt{25} = 5$ и $x_2 = -\sqrt{25} = -5$.
Оба корня, 5 и -5, являются рациональными числами.
Ответ: $x^2 = 25$.

б) имеет два иррациональных корня;
Чтобы уравнение $x^2 = a$ имело два иррациональных корня, необходимо, чтобы $a$ было положительным числом ($a > 0$), которое не является полным квадратом рационального числа.
Например, выберем $a = 3$. Число 3 положительное, но не является квадратом какого-либо рационального числа.
Тогда уравнение примет вид: $x^2 = 3$.
Его корни: $x_1 = \sqrt{3}$ и $x_2 = -\sqrt{3}$.
Число $\sqrt{3}$ является иррациональным, следовательно, оба корня иррациональны.
Ответ: $x^2 = 3$.

в) не имеет корней.
Уравнение $x^2 = a$ не имеет действительных корней, если правая часть уравнения, $a$, является отрицательным числом. Это связано с тем, что квадрат любого действительного числа ($x^2$) всегда неотрицателен, то есть $x^2 \ge 0$. Следовательно, $x^2$ не может быть равен отрицательному числу.
Например, выберем $a = -4$.
Тогда уравнение примет вид: $x^2 = -4$.
Это уравнение не имеет корней в множестве действительных чисел, так как нет такого действительного числа, квадрат которого был бы равен -4.
Ответ: $x^2 = -4$.

462. Укажите допустимые значения переменной х в выражении:

a) $\sqrt{x^3}; x^3\ge 0; x\ge 0$

Ответ: x≥0

б) $\sqrt{x^4}; x^4\ge 0$ при любых x

Ответ: все числа

в) $\sqrt{x^2+1}; x^2+1>0$ при любых x

Ответ: все числа

г) $\sqrt{{(4-x)}^2}; {(4-x)}^2\ge 0$ при любых x

Ответ: все числа

д) $\sqrt{-x^2}; -x^2\ge 0; x^2\le 0; x=0$

Ответ: x=0

е) $\sqrt{-x^3}; -x^3\ge 0; x^3\le 0; x\le 0$

Ответ: x≤0

а) Для того чтобы выражение $\sqrt{x^3}$ имело смысл, подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Это значит, что должно выполняться неравенство: $x^3 \ge 0$ Неравенство для нечетной степени справедливо тогда, когда основание степени имеет тот же знак. Следовательно, $x$ должен быть неотрицательным. $x \ge 0$
Ответ: $x \ge 0$.

б) Выражение $\sqrt{x^4}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно: $x^4 \ge 0$ Так как любое действительное число, возведенное в четную степень (в данном случае в 4-ю), всегда является неотрицательным, это неравенство выполняется для любого значения $x$.
Ответ: $x$ - любое число.

в) Выражение $\sqrt{x^2+1}$ имеет смысл, когда $x^2+1 \ge 0$. Для любого действительного числа $x$, его квадрат $x^2$ является неотрицательным: $x^2 \ge 0$. Если к неотрицательному числу прибавить 1, результат всегда будет положительным: $x^2+1 \ge 0+1=1$. Поскольку $1 > 0$, неравенство $x^2+1 \ge 0$ выполняется для любого значения $x$.
Ответ: $x$ - любое число.

г) Выражение $\sqrt{(4-x)^2}$ имеет смысл, когда $(4-x)^2 \ge 0$. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Поэтому выражение $(4-x)^2$ всегда будет больше или равно нулю для любого значения $x$.
Ответ: $x$ - любое число.

д) Выражение $\sqrt{-x^2}$ имеет смысл, когда $-x^2 \ge 0$. Умножим обе части неравенства на -1, при этом знак неравенства изменится на противоположный: $x^2 \le 0$ Мы знаем, что квадрат любого действительного числа $x$ всегда неотрицателен, то есть $x^2 \ge 0$. Единственное значение, удовлетворяющее обоим условиям ($x^2 \le 0$ и $x^2 \ge 0$), это $x^2 = 0$. Это уравнение имеет единственное решение: $x = 0$.
Ответ: $x = 0$.

е) Выражение $\sqrt{-x^3}$ имеет смысл, когда $-x^3 \ge 0$. Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный: $x^3 \le 0$ Неравенство для нечетной степени справедливо тогда, когда основание степени имеет тот же знак. Следовательно, $x$ должен быть неположительным. $x \le 0$
Ответ: $x \le 0$.

463. При каких значениях а и b имеет смысл выражение:

a) $\sqrt{ab};$ ab≥0; a≥0 и b≥0 или a≤0; b≤0

Ответ: при a≥0 и b≥0 или при a≤0 и b≤0

б) $\sqrt{-ab};$ -ab≥0; ab≤0; a≥0 и b≤0 или a≤0 и b≥0

Ответ: при a≥0 и b≤0 или при a≤0 и b≥0

в) $\sqrt{a^{2}b}; a^{2}b\ge 0; a^2\ge 0$ при любых a и b≥0

Ответ: при b≥0 и a - любое число

г) $\sqrt{a^2{b}^2}; a^2{b}^2\ge 0$ при a и b - любых

Ответ: при любых a и b

д) $\sqrt{-a{b}^2}; -a{b}^2\ge 0 a{b}^2\le 0$

$b^2\ge 0$ при любых b, a≤0

Ответ: при a≤0 и любых b

е) $\sqrt{-a^2{b}^2}; -a^2{b}^2\ge 0; a^2{b}^2\le 0$

при a=0 и любых b или

при b=0 и любых a

Ответ: при a=0 и любых b или при b=0 и любых a

Основное правило, которое определяет, имеет ли смысл выражение с квадратным корнем, заключается в том, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным (больше или равно нулю). Для выражения вида $\sqrt{X}$ должно выполняться условие $X \ge 0$.

а) Для выражения $\sqrt{ab}$ подкоренное выражение равно $ab$.

Условие: $ab \ge 0$.

Произведение двух сомножителей неотрицательно в двух случаях: либо оба сомножителя неотрицательны, либо оба не положительны.

1. $a \ge 0$ и $b \ge 0$.

2. $a \le 0$ и $b \le 0$.

Ответ: $a$ и $b$ имеют одинаковые знаки или равны нулю ($a \ge 0, b \ge 0$ или $a \le 0, b \le 0$).

б) Для выражения $\sqrt{-ab}$ подкоренное выражение равно $-ab$.

Условие: $-ab \ge 0$.

Умножим неравенство на $-1$, изменив знак на противоположный: $ab \le 0$.

Произведение двух сомножителей не положительно, если они имеют разные знаки (или один из них равен нулю).

1. $a \ge 0$ и $b \le 0$.

2. $a \le 0$ и $b \ge 0$.

Ответ: $a$ и $b$ имеют разные знаки или один из них равен нулю ($a \ge 0, b \le 0$ или $a \le 0, b \ge 0$).

в) Для выражения $\sqrt{a^2b}$ подкоренное выражение равно $a^2b$.

Условие: $a^2b \ge 0$.

Множитель $a^2$ всегда неотрицателен ($a^2 \ge 0$) для любого действительного $a$.

Если $a=0$, то $0 \cdot b \ge 0$, то есть $0 \ge 0$, что верно для любого $b$.

Если $a \neq 0$, то $a^2 > 0$. В этом случае, чтобы произведение $a^2b$ было неотрицательным, необходимо, чтобы $b \ge 0$.

Объединяя эти условия, получаем, что выражение имеет смысл, если $b \ge 0$ (при любом $a$) или если $a=0$ (при любом $b$).

Ответ: $b \ge 0$ или $a = 0$.

г) Для выражения $\sqrt{a^2b^2}$ подкоренное выражение равно $a^2b^2$.

Условие: $a^2b^2 \ge 0$.

Это выражение можно записать как $(ab)^2$. Неравенство принимает вид $(ab)^2 \ge 0$.

Квадрат любого действительного числа всегда является неотрицательным числом. Следовательно, это неравенство выполняется для любых значений $a$ и $b$.

Ответ: $a$ и $b$ — любые действительные числа.

д) Для выражения $\sqrt{-ab^2}$ подкоренное выражение равно $-ab^2$.

Условие: $-ab^2 \ge 0$.

Умножим неравенство на $-1$, изменив знак: $ab^2 \le 0$.

Множитель $b^2$ всегда неотрицателен ($b^2 \ge 0$) для любого действительного $b$.

Если $b=0$, то $a \cdot 0 \le 0$, то есть $0 \le 0$, что верно для любого $a$.

Если $b \neq 0$, то $b^2 > 0$. Чтобы произведение $ab^2$ было не положительным, необходимо, чтобы $a \le 0$.

Объединяя условия, получаем, что выражение имеет смысл, если $a \le 0$ (при любом $b$) или если $b=0$ (при любом $a$).

Ответ: $a \le 0$ или $b = 0$.

е) Для выражения $\sqrt{-a^2b^2}$ подкоренное выражение равно $-a^2b^2$.

Условие: $-a^2b^2 \ge 0$.

Умножим неравенство на $-1$: $a^2b^2 \le 0$, или $(ab)^2 \le 0$.

С другой стороны, мы знаем, что квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(ab)^2 \ge 0$.

Единственное число, которое одновременно и не положительно, и неотрицательно, — это нуль. Следовательно, должно выполняться равенство $(ab)^2=0$.

Это означает, что $ab=0$. Произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю.

Ответ: $a=0$ или $b=0$.