Страница 111 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

479. Постройте график функции y = |x|.

$y=\sqrt{\left|x\right|}$

Область определения функции: все числа

если x≥0, то $y=\sqrt{x}$

если x<0, то $y=\sqrt{-x}$

Для построения графика функции $y = \sqrt{|x|}$ рассмотрим ее свойства и разобьем задачу на несколько шагов.

1. Анализ функции.

Сначала определим область определения функции. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $|x| \ge 0$. Модуль любого действительного числа всегда больше или равен нулю, поэтому это неравенство выполняется для всех $x$. Таким образом, область определения функции — все действительные числа, то есть $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Проверим функцию на четность. Для этого найдем $y(-x)$:

$y(-x) = \sqrt{|-x|} = \sqrt{|x|} = y(x)$

Поскольку $y(-x) = y(x)$, функция является четной. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат (оси OY).

2. Построение графика.

Благодаря свойству четности, достаточно построить график для неотрицательных значений $x$ (то есть для $x \ge 0$), а затем симметрично отразить его относительно оси OY, чтобы получить часть графика для отрицательных $x$.

При $x \ge 0$, модуль $|x| = x$, и наша функция принимает вид $y = \sqrt{x}$. Это стандартная функция квадратного корня, ее график — ветвь параболы, направленная вправо и вверх из начала координат.

Составим таблицу значений для нескольких точек этой части графика:

при $x = 0, y = \sqrt{0} = 0$ (точка $(0, 0)$)

при $x = 1, y = \sqrt{1} = 1$ (точка $(1, 1)$)

при $x = 4, y = \sqrt{4} = 2$ (точка $(4, 2)$)

при $x = 9, y = \sqrt{9} = 3$ (точка $(9, 3)$)

Строим эту ветвь в первой координатной четверти.

Теперь отражаем построенную ветвь симметрично относительно оси OY. Точка $(1, 1)$ отразится в точку $(-1, 1)$, точка $(4, 2)$ — в $(-4, 2)$, точка $(9, 3)$ — в $(-9, 3)$, и так далее. Начало координат $(0, 0)$ останется на месте. Эта вторая ветвь является графиком функции $y = \sqrt{-x}$ при $x < 0$.

Соединив обе части, мы получаем итоговый график функции $y = \sqrt{|x|}$.

Ответ: График функции $y = \sqrt{|x|}$ состоит из двух ветвей, симметричных относительно оси OY и выходящих из начала координат $(0,0)$. Правая ветвь (при $x \ge 0$) совпадает с графиком функции $y=\sqrt{x}$, а левая ветвь (при $x < 0$) совпадает с графиком функции $y=\sqrt{-x}$.

480. Преобразуйте выражение:

a) $\sqrt{a^4{b}^4}=\sqrt{{\left(a^2\right)}^2{\left(b^2\right)}^2}=\sqrt{{\left(a^2{b}^2\right)}^2}=a^2{b}^2$

б) $$\begin{gathered} \sqrt{b^2{c}^8}=\sqrt{{\left(b^3\right)}^2{\left(c^4\right)}^2}=\sqrt{{\left(b^3{c}^4\right)}^2}=\left|b^3{c}^4\right|= \\ =\left|b^3\right|c^4=b^3{c}^4, \text{где} b\ge 0 \end{gathered}$$

в) $\sqrt{16x^4{y}^{12}}=\sqrt{4^2{\left(x^2\right)}^2{\left(y^6\right)}^2}=\sqrt{{\left(4x^2{y}^6\right)}^2}=4x^2{y}^6$

г) $$\begin{gathered} \sqrt{0,25p^2{y}^6}=\sqrt{0,5^2{p}^2{\left(y^3\right)}^2}=\sqrt{{(0,5p{y}^3)}^2}= \\ =0,5\left|p\right|·\left|y^3\right|=0,5p\left(-y^3\right)=-0,5p{y}^3, \end{gathered}$$

где p≥0, y≤0

д) $\sqrt{\frac{p^4}{a^8}}=\sqrt{\frac{{\left(p^2\right)}^2}{{\left(a^4\right)}^2}}=\sqrt{{\left(\frac{p^2}{a^4}\right)}^2}=\frac{p^2}{a^4}$

е) $\sqrt{\frac{16a^{12}}{b^{10}}}=\sqrt{\frac{4^2{\left(a^6\right)}^2}{{\left(b^5\right)}^2}}=\sqrt{{\left(\frac{4a^6}{b^5}\right)}^2}=\frac{4a^6}{\left|b^5\right|}=\frac{4a^6}{b^5},$

где b>0

ж) $\sqrt{\frac{4x^2}{y^6}}=\sqrt{\frac{2^2{x}^2}{{\left(y^3\right)}^2}}=\sqrt{{\left(\frac{2x}{y^3}\right)}^2}=\frac{2\left|x\right|}{\left|y^3\right|}=\frac{-2x}{-y^3}=\frac{2x}{y^3}$

где x<0, y<0

з) $\sqrt{\frac{c^6}{9a^2}}=\sqrt{\frac{{\left(c^3\right)}^2}{3^2{a}^2}}=\sqrt{{\left(\frac{c^3}{3a}\right)}^2}=\frac{\left|c^3\right|}{3\left|a\right|}=\frac{-c^3}{3a}=-\frac{c^3}{3a},$

где c<0, a>0

а) Для преобразования выражения $\sqrt{a^4b^4}$ воспользуемся свойством $\sqrt{x^{2n}} = |x^n|$. Представим подкоренное выражение как полный квадрат: $a^4b^4 = (a^2b^2)^2$.
Тогда $\sqrt{a^4b^4} = \sqrt{(a^2b^2)^2} = |a^2b^2|$.
Поскольку $a^2 \ge 0$ и $b^2 \ge 0$, их произведение $a^2b^2$ также неотрицательно. Следовательно, модуль можно опустить: $|a^2b^2| = a^2b^2$.
Ответ: $a^2b^2$

б) Преобразуем выражение $\sqrt{b^6c^8}$ с учетом условия $b \ge 0$.
Представим подкоренное выражение как полный квадрат: $b^6c^8 = (b^3c^4)^2$.
Тогда $\sqrt{b^6c^8} = \sqrt{(b^3c^4)^2} = |b^3c^4| = |b^3| \cdot |c^4|$.
Рассмотрим каждый модуль отдельно. Выражение $c^4 = (c^2)^2$ всегда неотрицательно, поэтому $|c^4| = c^4$.
По условию $b \ge 0$, следовательно, $b^3 \ge 0$. Поэтому $|b^3| = b^3$.
Перемножив результаты, получаем: $b^3 \cdot c^4 = b^3c^4$.
Ответ: $b^3c^4$

в) Преобразуем выражение $\sqrt{16x^4y^{12}}$.
Представим подкоренное выражение в виде полного квадрата:
$16x^4y^{12} = 4^2 \cdot (x^2)^2 \cdot (y^6)^2 = (4x^2y^6)^2$.
Тогда $\sqrt{16x^4y^{12}} = \sqrt{(4x^2y^6)^2} = |4x^2y^6|$.
Так как множители $4$, $x^2$ и $y^6$ являются неотрицательными числами, их произведение $4x^2y^6$ также неотрицательно.
Следовательно, $|4x^2y^6| = 4x^2y^6$.
Ответ: $4x^2y^6$

г) Преобразуем выражение $\sqrt{0,25p^2y^6}$, где $p \ge 0$ и $y \le 0$.
Представим подкоренное выражение как полный квадрат:
$0,25p^2y^6 = (0,5)^2 \cdot p^2 \cdot (y^3)^2 = (0,5py^3)^2$.
Тогда $\sqrt{0,25p^2y^6} = \sqrt{(0,5py^3)^2} = |0,5py^3|$.
Раскроем модуль: $|0,5py^3| = |0,5| \cdot |p| \cdot |y^3|$.
$|0,5| = 0,5$.
По условию $p \ge 0$, значит $|p| = p$.
По условию $y \le 0$, значит $y^3 \le 0$. Следовательно, $|y^3| = -y^3$.
Собираем все вместе: $0,5 \cdot p \cdot (-y^3) = -0,5py^3$.
Ответ: $-0,5py^3$

д) Преобразуем выражение $\sqrt{\frac{p^4}{a^8}}$.
Используем свойство корня из дроби $\sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}$ (для $x \ge 0, y > 0$).
$\sqrt{\frac{p^4}{a^8}} = \frac{\sqrt{p^4}}{\sqrt{a^8}}$.
Упростим числитель и знаменатель, используя $\sqrt{x^{2n}} = |x^n|$:
$\sqrt{p^4} = \sqrt{(p^2)^2} = |p^2| = p^2$, так как $p^2 \ge 0$.
$\sqrt{a^8} = \sqrt{(a^4)^2} = |a^4| = a^4$, так как $a^4 \ge 0$. Для существования выражения требуется $a \ne 0$.
Получаем дробь $\frac{p^2}{a^4}$.
Ответ: $\frac{p^2}{a^4}$

е) Преобразуем выражение $\sqrt{\frac{16a^{12}}{b^{10}}}$, где $b > 0$.
Разделим корень на числитель и знаменатель: $\sqrt{\frac{16a^{12}}{b^{10}}} = \frac{\sqrt{16a^{12}}}{\sqrt{b^{10}}}$.
Преобразуем числитель: $\sqrt{16a^{12}} = \sqrt{(4a^6)^2} = |4a^6|$. Поскольку $4>0$ и $a^6=(a^3)^2 \ge 0$, то $4a^6 \ge 0$, следовательно $|4a^6| = 4a^6$.
Преобразуем знаменатель: $\sqrt{b^{10}} = \sqrt{(b^5)^2} = |b^5|$. По условию $b > 0$, значит $b^5 > 0$, следовательно $|b^5| = b^5$.
Собираем дробь: $\frac{4a^6}{b^5}$.
Ответ: $\frac{4a^6}{b^5}$

ж) Преобразуем выражение $\sqrt{\frac{4x^2}{y^6}}$, где $x < 0$ и $y < 0$.
Разделим корень на числитель и знаменатель: $\sqrt{\frac{4x^2}{y^6}} = \frac{\sqrt{4x^2}}{\sqrt{y^6}}$.
Преобразуем числитель: $\sqrt{4x^2} = \sqrt{(2x)^2} = |2x| = 2|x|$. По условию $x < 0$, поэтому $|x| = -x$. Числитель равен $2(-x) = -2x$.
Преобразуем знаменатель: $\sqrt{y^6} = \sqrt{(y^3)^2} = |y^3|$. По условию $y < 0$, поэтому $y^3 < 0$. Следовательно, $|y^3| = -y^3$.
Собираем дробь: $\frac{-2x}{-y^3} = \frac{2x}{y^3}$.
Ответ: $\frac{2x}{y^3}$

з) Преобразуем выражение $\sqrt{\frac{c^6}{9a^2}}$, где $c < 0$ и $a > 0$.
Разделим корень на числитель и знаменатель: $\sqrt{\frac{c^6}{9a^2}} = \frac{\sqrt{c^6}}{\sqrt{9a^2}}$.
Преобразуем числитель: $\sqrt{c^6} = \sqrt{(c^3)^2} = |c^3|$. По условию $c < 0$, поэтому $c^3 < 0$. Следовательно, $|c^3| = -c^3$.
Преобразуем знаменатель: $\sqrt{9a^2} = \sqrt{(3a)^2} = |3a| = 3|a|$. По условию $a > 0$, поэтому $|a| = a$. Знаменатель равен $3a$.
Собираем дробь: $\frac{-c^3}{3a}$.
Ответ: $-\frac{c^3}{3a}$

481. (Задача-исследование.) Верно ли, что при любом натуральном n значение выражения n(n+1)(n+2)(n+3)+1 является натуральным числом?

1) Выберите произвольное значение n и проверьте, является ли натуральным числом соответствующее значение корня.

2) Подумайте, как удобно сгруппировать множители в произведении n(n + 1)(n + 2)(n + 3), чтобы представить подкоренное выражение в виде квадрата.

3) Выполните преобразования и дайте ответ на вопрос задачи.

$$\begin{gathered} \sqrt{n(n+1)(n+2)(n+3)+1}= \\ =\sqrt{\left(n\right(n+3\left)\right)·\left(\right(n+1\left)\right(n+2\left)\right)+1}= \\ =\sqrt{(n^2+3n)(n^2+2n+n+2)+1}= \\ =\sqrt{(n^2+3n)(n^2+3n+2)+1} \end{gathered}$$

Пусть $n^2+3n=t,$ тогда

$\sqrt{t(t+2)+1}=\sqrt{t^2+2t+1}=\sqrt{{(t+1)}^2}=\left|t+1\right|=t+1,$

$$\begin{gathered} \text{т.к.} n\in N, n^2+3n=t\in N \\ t+1=n^2+3n+1 \end{gathered}$$

Пусть n=3

$$\begin{gathered} \sqrt{3(3+1)(3+2)(3+3)+1}=3^2+3·3+1 \\ \sqrt{3·4·5·6+1}=\sqrt{361}=19 \\ {3}^2+3·3+1=9+9+1=19 \end{gathered}$$

Ответ: верно

1) Выберите произвольное значение n и проверьте, является ли натуральным числом соответствующее значение корня.

Выберем произвольное натуральное значение $n$, например, $n=1$.
Подставим это значение в выражение $\sqrt{n(n+1)(n+2)(n+3)+1}$:
$\sqrt{1 \cdot (1+1) \cdot (1+2) \cdot (1+3) + 1} = \sqrt{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 + 1} = \sqrt{24 + 1} = \sqrt{25} = 5$.
Число 5 является натуральным числом.

Для дополнительной проверки выберем $n=2$.
$\sqrt{2 \cdot (2+1) \cdot (2+2) \cdot (2+3) + 1} = \sqrt{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 + 1} = \sqrt{120 + 1} = \sqrt{121} = 11$.
Число 11 также является натуральным числом.

Ответ: при $n=1$ значение выражения равно 5, что является натуральным числом.

2) Подумайте, как удобно сгруппировать множители в произведении n(n + 1)(n + 2)(n + 3), чтобы представить подкоренное выражение в виде квадрата.

Чтобы удобно преобразовать произведение $n(n+1)(n+2)(n+3)$, сгруппируем множители так, чтобы при их попарном перемножении получились выражения с одинаковыми частями. Для этого перемножим первый множитель с четвертым, а второй — с третьим.
Группировка: $[n(n+3)][(n+1)(n+2)]$.
Раскроем скобки в каждой группе:
$n(n+3) = n^2 + 3n$
$(n+1)(n+2) = n^2 + 2n + n + 2 = n^2 + 3n + 2$
В обоих произведениях есть одинаковое выражение $n^2 + 3n$, что позволит в дальнейшем сделать замену переменной и выделить полный квадрат.

Ответ: Удобно сгруппировать первый множитель с четвертым, а второй с третьим: $[n(n+3)][(n+1)(n+2)]$.

3) Выполните преобразования и дайте ответ на вопрос задачи.

Преобразуем подкоренное выражение $n(n+1)(n+2)(n+3)+1$, используя предложенную во втором пункте группировку:
$n(n+1)(n+2)(n+3)+1 = [n(n+3)][(n+1)(n+2)]+1 = (n^2 + 3n)(n^2 + 3n + 2) + 1$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = n^2 + 3n$. Тогда выражение примет вид:
$t(t+2)+1 = t^2 + 2t + 1$.
Полученное выражение является формулой квадрата суммы (полным квадратом): $t^2 + 2t + 1 = (t+1)^2$.
Теперь выполним обратную замену, подставив $t = n^2 + 3n$:
$(n^2+3n+1)^2$.
Таким образом, все подкоренное выражение тождественно равно $(n^2+3n+1)^2$.
Теперь извлечем корень из этого выражения:
$\sqrt{n(n+1)(n+2)(n+3)+1} = \sqrt{(n^2+3n+1)^2}$.
Поскольку $n$ — натуральное число, то есть $n \ge 1$, то выражение $n^2+3n+1$ всегда будет положительным ($n^2 \ge 1$, $3n \ge 3$, следовательно $n^2+3n+1 \ge 1+3+1=5$). Значит, модуль можно опустить:
$\sqrt{(n^2+3n+1)^2} = |n^2+3n+1| = n^2+3n+1$.
Так как $n$ — натуральное число, то $n^2$ и $3n$ также являются натуральными числами. Сумма натуральных чисел и единицы всегда является натуральным числом.
Следовательно, утверждение, что при любом натуральном $n$ значение выражения является натуральным числом, верно.

Ответ: Да, верно. При любом натуральном $n$ значение выражения $\sqrt{n(n+1)(n+2)(n+3)+1}$ является натуральным числом, равным $n^2+3n+1$.

482. Упростите выражение:

a) $\sqrt{{(-a)}^2}=\left|-a\right|=\left|a\right|$

б) $$\begin{gathered} \sqrt{{(-a)}^2{(-b)}^4}=\sqrt{a^2{b}^4}=\sqrt{a^2{\left(b^2\right)}^2}= \\ =\sqrt{{\left(a{b}^2\right)}^2}=\left|a\right|b^2 \end{gathered}$$

а) Для упрощения выражения $\sqrt{(-a)^2}$ воспользуемся основным свойством квадратного корня, которое гласит, что для любого действительного числа $x$ справедливо тождество $\sqrt{x^2} = |x|$ (модуль числа $x$).

Применим это свойство к нашему выражению, где в роли $x$ выступает $-a$:

$\sqrt{(-a)^2} = |-a|$

По определению модуля, модуль противоположного числа равен модулю самого числа, то есть $|-a| = |a|$.

Таким образом, итоговое упрощенное выражение равно $|a|$.
Ответ: $|a|$.

б) Рассмотрим выражение $\sqrt{(-a)^2(-b)^4}$.

Используя свойство корня из произведения ($\sqrt{xy} = \sqrt{x}\sqrt{y}$ для неотрицательных $x$ и $y$), мы можем разбить корень на произведение корней, поскольку выражения $(-a)^2$ и $(-b)^4$ всегда неотрицательны (так как любое число в четной степени больше либо равно нулю).

$\sqrt{(-a)^2(-b)^4} = \sqrt{(-a)^2} \cdot \sqrt{(-b)^4}$

Теперь упростим каждый множитель по отдельности.

Первый множитель, как мы выяснили в пункте а), равен:

$\sqrt{(-a)^2} = |-a| = |a|$

Для второго множителя $\sqrt{(-b)^4}$ представим степень 4 как $(...)^2$:

$\sqrt{(-b)^4} = \sqrt{((-b)^2)^2}$

Снова применяем тождество $\sqrt{x^2}=|x|$, где $x = (-b)^2$:

$\sqrt{((-b)^2)^2} = |(-b)^2|$

Выражение $(-b)^2$ равно $b^2$, и оно всегда неотрицательно ($b^2 \ge 0$) для любого действительного числа $b$. Модуль неотрицательного числа равен самому числу, поэтому:

$|(-b)^2| = |b^2| = b^2$

Теперь объединим упрощенные части:

$\sqrt{(-a)^2} \cdot \sqrt{(-b)^4} = |a| \cdot b^2$

Ответ: $|a|b^2$.

483. Вынесите множитель из-под знака корня:

a) $$\begin{gathered} 0,5\sqrt{60a^2}=0,5\sqrt{4·15}·\sqrt{a^2}= \\ =0,5·2\sqrt{15}\left|a\right|=\left|a\right|\sqrt{15} \end{gathered}$$

б) $$\begin{gathered} 2,1\sqrt{300x^4}=2,1\sqrt{100·3}\sqrt{{\left(x^2\right)}^2}= \\ =2,1·10\sqrt{3}{x}^2=21x^2\sqrt{3} \end{gathered}$$

в) $$\begin{gathered} 0,1\sqrt{150x^3}=0,1\sqrt{25·6}\sqrt{x^2·x}= \\ =0,1·5\sqrt{6}·\left|x\right|\sqrt{x}=0,5x\sqrt{6x}, \end{gathered}$$

по условию $x^3\ge 0; x\ge 0$

г) $$\begin{gathered} 0,2\sqrt{225a^5}=0,2\sqrt{225}\sqrt{a^5}=0,2·15\sqrt{a^{4}a}= \\ =3\sqrt{{\left(a^2\right)}^2}\sqrt{a}=3a^2\sqrt{a}, a^5\ge 0; a\ge 0 \end{gathered}$$

д) $$\begin{gathered} a\sqrt{18a^{2}b}=a\sqrt{9·2}·\sqrt{a^2}·\sqrt{b}=a·3\sqrt{2}·\left|a\right|\sqrt{b}= \\ =\left|a\right|·3a\sqrt{2b}, a-\text{любое}, b\ge 0 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{е) }}-m\sqrt{48a{m}^4}=-m\sqrt{16·3}·\sqrt{a}·\sqrt{{\left(m^2\right)}^2}= \\ =-m·4\sqrt{3}·\sqrt{a}·m^2=-4m^3\sqrt{3a}, a\ge 0, \\ m-\text{любое} \end{gathered}$$

а) Чтобы вынести множитель из-под знака корня в выражении $0,5\sqrt{60a^2}$, разложим подкоренное выражение $60a^2$ на множители так, чтобы выделить полные квадраты.
Число 60 можно представить как $60 = 4 \cdot 15 = 2^2 \cdot 15$.
Множитель $a^2$ уже является полным квадратом.
Таким образом, $\sqrt{60a^2} = \sqrt{4 \cdot 15 \cdot a^2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{15}$.
Используя свойство корня $\sqrt{x^2}=|x|$, получаем: $\sqrt{4}=2$ и $\sqrt{a^2}=|a|$.
Следовательно, $\sqrt{60a^2} = 2|a|\sqrt{15}$.
Теперь умножим результат на коэффициент перед корнем:$0,5 \cdot 2|a|\sqrt{15} = 1 \cdot |a|\sqrt{15} = |a|\sqrt{15}$.
Ответ: $|a|\sqrt{15}$.

б) Рассмотрим выражение $2,1\sqrt{300x^4}$. Разложим подкоренное выражение $300x^4$ на множители.
Число 300 можно представить как $300 = 100 \cdot 3 = 10^2 \cdot 3$.
Множитель $x^4$ можно представить как $(x^2)^2$.
Таким образом, $\sqrt{300x^4} = \sqrt{100 \cdot 3 \cdot (x^2)^2} = \sqrt{100} \cdot \sqrt{(x^2)^2} \cdot \sqrt{3}$.
Так как $\sqrt{100}=10$ и $\sqrt{(x^2)^2}=|x^2|=x^2$ (поскольку $x^2$ всегда неотрицательно), получаем:$\sqrt{300x^4} = 10x^2\sqrt{3}$.
Умножим на коэффициент $2,1$:$2,1 \cdot 10x^2\sqrt{3} = 21x^2\sqrt{3}$.
Ответ: $21x^2\sqrt{3}$.

в) В выражении $0,1\sqrt{150x^3}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $150x^3 \ge 0$, что означает $x \ge 0$.
Разложим $150x^3$ на множители, выделяя полные квадраты.
Число $150 = 25 \cdot 6 = 5^2 \cdot 6$.
Переменную $x^3$ представим как $x^3 = x^2 \cdot x$.
Тогда $\sqrt{150x^3} = \sqrt{25 \cdot 6 \cdot x^2 \cdot x} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{x^2} \cdot \sqrt{6x}$.
Так как из условия $x \ge 0$, то $\sqrt{x^2}=x$. Получаем:$\sqrt{150x^3} = 5x\sqrt{6x}$.
Умножим на коэффициент $0,1$:$0,1 \cdot 5x\sqrt{6x} = 0,5x\sqrt{6x}$.
Ответ: $0,5x\sqrt{6x}$.

г) В выражении $0,2\sqrt{225a^5}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $225a^5 \ge 0$, что означает $a \ge 0$.
Разложим $225a^5$ на множители.
Число $225$ является полным квадратом: $225 = 15^2$.
Переменную $a^5$ представим как $a^5 = a^4 \cdot a = (a^2)^2 \cdot a$.
Тогда $\sqrt{225a^5} = \sqrt{15^2 \cdot a^4 \cdot a} = \sqrt{15^2} \cdot \sqrt{a^4} \cdot \sqrt{a}$.
$\sqrt{15^2}=15$ и $\sqrt{a^4}=\sqrt{(a^2)^2}=a^2$. Получаем:$\sqrt{225a^5} = 15a^2\sqrt{a}$.
Умножим на коэффициент $0,2$:$0,2 \cdot 15a^2\sqrt{a} = 3a^2\sqrt{a}$.
Ответ: $3a^2\sqrt{a}$.

д) В выражении $a\sqrt{18a^2b}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $18a^2b \ge 0$. Так как $a^2 \ge 0$ для любого $a$, это условие сводится к $b \ge 0$.
Разложим подкоренное выражение $18a^2b$ на множители.
Число $18 = 9 \cdot 2 = 3^2 \cdot 2$.
Множитель $a^2$ уже является полным квадратом.
$\sqrt{18a^2b} = \sqrt{9 \cdot 2 \cdot a^2 \cdot b} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{2b} = 3|a|\sqrt{2b}$.
Теперь умножим результат на множитель $a$ перед корнем:$a \cdot 3|a|\sqrt{2b} = 3a|a|\sqrt{2b}$.
Данное выражение является окончательным, но его можно расписать для разных знаков $a$:
1. Если $a \ge 0$, то $|a|=a$, и выражение равно $3a \cdot a \sqrt{2b} = 3a^2\sqrt{2b}$.
2. Если $a < 0$, то $|a|=-a$, и выражение равно $3a \cdot (-a) \sqrt{2b} = -3a^2\sqrt{2b}$.
Ответ: $3a|a|\sqrt{2b}$.

е) В выражении $-m\sqrt{48am^4}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $48am^4 \ge 0$. Так как $m^4 \ge 0$ для любого $m$, это условие означает, что $a \ge 0$.
Разложим подкоренное выражение $48am^4$ на множители.
Число $48 = 16 \cdot 3 = 4^2 \cdot 3$.
Множитель $m^4$ является полным квадратом: $m^4 = (m^2)^2$.
$\sqrt{48am^4} = \sqrt{16 \cdot 3 \cdot a \cdot m^4} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{m^4} \cdot \sqrt{3a} = 4m^2\sqrt{3a}$.
Умножим результат на множитель $-m$ перед корнем:$-m \cdot 4m^2\sqrt{3a} = -4m^3\sqrt{3a}$.
Ответ: $-4m^3\sqrt{3a}$.

484. Сравните числа:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} 0,2\sqrt{200}<10\sqrt{8} \\ 0,2\sqrt{100·2}<10\sqrt{4·2} \\ 0,2·10\sqrt{2}<10·2\sqrt{2} \\ 2\sqrt{2}<20\sqrt{2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} 7\sqrt{\frac{32}{49}}=0,8\sqrt{50} \\ 7\sqrt{\frac{16·2}{49}}=0,8\sqrt{25·2} \\ 7·\frac{4}{7}\sqrt{2}=0,8·5\sqrt{2} \\ 4\sqrt{2}=4\sqrt{2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в)}} 0,5\sqrt{108}<9\sqrt{3} \\ 0,5\sqrt{36·3}<9\sqrt{3} \\ 0,5·6\sqrt{3}<9\sqrt{3} \\ 3\sqrt{3}<9\sqrt{3} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г)}} \frac{5}{2}\sqrt{63}<4,5\sqrt{28} \\ \frac{5}{2}\sqrt{9·7}<4,5\sqrt{4·7} \\ \frac{5}{2}·3\sqrt{7}<4,5·2\sqrt{7} \\ \frac{15}{2}\sqrt{7}<9\sqrt{7} \\ 7,5\sqrt{7}<9\sqrt{7} \end{gathered}$$

а) Сравним числа $0,2\sqrt{200}$ и $10\sqrt{8}$.
Для сравнения чисел, содержащих квадратные корни, удобно привести их к виду $a\sqrt{b}$, где подкоренное выражение $b$ одинаково для обоих чисел, либо внести множители под знак корня. Воспользуемся первым способом.
Упростим каждое выражение, вынеся множитель из-под знака корня.
Первое число: $0,2\sqrt{200} = 0,2\sqrt{100 \cdot 2} = 0,2 \cdot 10\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$.
Второе число: $10\sqrt{8} = 10\sqrt{4 \cdot 2} = 10 \cdot 2\sqrt{2} = 20\sqrt{2}$.
Теперь сравним полученные выражения: $2\sqrt{2}$ и $20\sqrt{2}$.
Так как $2 < 20$ и $\sqrt{2} > 0$, то $2\sqrt{2} < 20\sqrt{2}$.
Следовательно, $0,2\sqrt{200} < 10\sqrt{8}$.
Ответ: $0,2\sqrt{200} < 10\sqrt{8}$.

б) Сравним числа $7\sqrt{\frac{32}{49}}$ и $0,8\sqrt{50}$.
Для сравнения внесем множители под знак корня. Это позволит нам сравнить только подкоренные выражения.
Первое число: $7\sqrt{\frac{32}{49}} = \sqrt{7^2 \cdot \frac{32}{49}} = \sqrt{49 \cdot \frac{32}{49}} = \sqrt{32}$.
Второе число: $0,8\sqrt{50} = \sqrt{(0,8)^2 \cdot 50} = \sqrt{0,64 \cdot 50} = \sqrt{32}$.
Так как подкоренные выражения равны ($\sqrt{32} = \sqrt{32}$), то и исходные числа равны.
Ответ: $7\sqrt{\frac{32}{49}} = 0,8\sqrt{50}$.

в) Сравним числа $0,5\sqrt{108}$ и $9\sqrt{3}$.
Упростим первое выражение, вынеся множитель из-под знака корня, чтобы привести оба числа к одинаковому подкоренному выражению.
Найдем полный квадрат в подкоренном выражении: $108 = 36 \cdot 3$.
$0,5\sqrt{108} = 0,5\sqrt{36 \cdot 3} = 0,5 \cdot \sqrt{36} \cdot \sqrt{3} = 0,5 \cdot 6\sqrt{3} = 3\sqrt{3}$.
Теперь сравним полученное выражение $3\sqrt{3}$ с числом $9\sqrt{3}$.
Так как $3 < 9$, то $3\sqrt{3} < 9\sqrt{3}$.
Следовательно, $0,5\sqrt{108} < 9\sqrt{3}$.
Ответ: $0,5\sqrt{108} < 9\sqrt{3}$.

г) Сравним числа $\frac{5}{2}\sqrt{63}$ и $4,5\sqrt{28}$.
Упростим каждое выражение, вынеся множители из-под знака корня.
Первое число: $\frac{5}{2}\sqrt{63} = \frac{5}{2}\sqrt{9 \cdot 7} = \frac{5}{2} \cdot \sqrt{9} \cdot \sqrt{7} = \frac{5}{2} \cdot 3\sqrt{7} = \frac{15}{2}\sqrt{7} = 7,5\sqrt{7}$.
Второе число: $4,5\sqrt{28} = 4,5\sqrt{4 \cdot 7} = 4,5 \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{7} = 4,5 \cdot 2\sqrt{7} = 9\sqrt{7}$.
Теперь сравним полученные выражения: $7,5\sqrt{7}$ и $9\sqrt{7}$.
Так как $7,5 < 9$, то $7,5\sqrt{7} < 9\sqrt{7}$.
Следовательно, $\frac{5}{2}\sqrt{63} < 4,5\sqrt{28}$.
Ответ: $\frac{5}{2}\sqrt{63} < 4,5\sqrt{28}$.

485. Расположите в порядке возрастания числа:

a) $$\begin{gathered} \frac{2}{3}\sqrt{72}=\frac{2}{3}·\sqrt{36·2}=\frac{2}{3}·6\sqrt{2}= \\ =4\sqrt{2}=\sqrt{16}·\sqrt{2}=\sqrt{32} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 7\sqrt{2}=\sqrt{49}·\sqrt{2}=\sqrt{49·2}=\sqrt{98} \\ \sqrt{30}; \sqrt{32}; \sqrt{98} \\ \sqrt{30}; \frac{2}{3}\sqrt{72}; 7\sqrt{2} \end{gathered}$$

б) $5\sqrt{\frac{7}{2}}=\sqrt{25}·\sqrt{\frac{7}{2}}=\sqrt{25·\frac{7}{2}}=\sqrt{\frac{175}{2}}=\sqrt{87,5}$

$$\begin{gathered} \frac{1}{2}\sqrt{62}=\sqrt{\frac{1}{4}}·\sqrt{62}=\sqrt{\frac{1}{4}·62}=\sqrt{15,5} \\ \sqrt{15,5}; \sqrt{17}; \sqrt{87,5} \\ \frac{1}{2}\sqrt{62}; \sqrt{17}; 5\sqrt{\frac{7}{2}} \end{gathered}$$

в) $8\sqrt{0,2}=\sqrt{64}·\sqrt{0,2}=\sqrt{64·0,2}=\sqrt{12,8}$

$$\begin{gathered} \frac{2}{5}\sqrt{250}=\sqrt{\frac{4}{25}}·\sqrt{250}=\sqrt{\frac{4}{25}·250}=\sqrt{4·10}=\sqrt{40} \\ \sqrt{12,8}; \sqrt{40}; \sqrt{41} \\ 8\sqrt{0,2}; \frac{2}{5}\sqrt{250}; \sqrt{41} \end{gathered}$$

г) $12\sqrt{0,5}=\sqrt{144}·\sqrt{0,5}=\sqrt{144·0,5}=\sqrt{72}$

$$\begin{gathered} \frac{3}{4}\sqrt{160}=\sqrt{\frac{9}{16}}·\sqrt{160}=\sqrt{\frac{9}{16}·160}=\sqrt{9·10}=\sqrt{90} \\ \sqrt{72}; \sqrt{89}; \sqrt{90} \\ 12\sqrt{0,5}; \sqrt{89}; \frac{3}{4}\sqrt{160} \end{gathered}$$

a) Чтобы расположить числа $\frac{2}{3}\sqrt{72}$, $\sqrt{30}$ и $7\sqrt{2}$ в порядке возрастания, необходимо сравнить их значения. Для этого представим каждое число в виде $\sqrt{A}$, внеся множитель под знак корня. Для положительных чисел верно, что чем больше подкоренное выражение, тем больше значение самого корня.

Преобразуем первое число: $\frac{2}{3}\sqrt{72} = \sqrt{(\frac{2}{3})^2 \cdot 72} = \sqrt{\frac{4}{9} \cdot 72} = \sqrt{4 \cdot \frac{72}{9}} = \sqrt{4 \cdot 8} = \sqrt{32}$.

Второе число уже представлено в нужном виде: $\sqrt{30}$.

Преобразуем третье число: $7\sqrt{2} = \sqrt{7^2 \cdot 2} = \sqrt{49 \cdot 2} = \sqrt{98}$.

Теперь сравним полученные числа: $\sqrt{30}$, $\sqrt{32}$ и $\sqrt{98}$. Так как подкоренные выражения находятся в соотношении $30 < 32 < 98$, то и сами корни располагаются в том же порядке: $\sqrt{30} < \sqrt{32} < \sqrt{98}$.

Следовательно, исходные числа в порядке возрастания располагаются так: $\sqrt{30}$, $\frac{2}{3}\sqrt{72}$, $7\sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{30}, \frac{2}{3}\sqrt{72}, 7\sqrt{2}$.

б) Сравним числа $5\sqrt{\frac{7}{2}}$, $\sqrt{17}$ и $\frac{1}{2}\sqrt{62}$, приведя их к виду $\sqrt{A}$.

Преобразуем первое число: $5\sqrt{\frac{7}{2}} = \sqrt{5^2 \cdot \frac{7}{2}} = \sqrt{25 \cdot \frac{7}{2}} = \sqrt{\frac{175}{2}} = \sqrt{87,5}$.

Второе число: $\sqrt{17}$.

Преобразуем третье число: $\frac{1}{2}\sqrt{62} = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 \cdot 62} = \sqrt{\frac{1}{4} \cdot 62} = \sqrt{\frac{62}{4}} = \sqrt{15,5}$.

Сравниваем подкоренные выражения чисел $\sqrt{87,5}$, $\sqrt{17}$ и $\sqrt{15,5}$. Поскольку $15,5 < 17 < 87,5$, то $\sqrt{15,5} < \sqrt{17} < \sqrt{87,5}$.

Таким образом, исходные числа в порядке возрастания: $\frac{1}{2}\sqrt{62}$, $\sqrt{17}$, $5\sqrt{\frac{7}{2}}$.

Ответ: $\frac{1}{2}\sqrt{62}, \sqrt{17}, 5\sqrt{\frac{7}{2}}$.

в) Сравним числа $8\sqrt{0,2}$, $\sqrt{41}$ и $\frac{2}{5}\sqrt{250}$, приведя их к виду $\sqrt{A}$.

$8\sqrt{0,2} = \sqrt{8^2 \cdot 0,2} = \sqrt{64 \cdot 0,2} = \sqrt{12,8}$.

Число $\sqrt{41}$ уже в необходимой форме.

$\frac{2}{5}\sqrt{250} = \sqrt{(\frac{2}{5})^2 \cdot 250} = \sqrt{\frac{4}{25} \cdot 250} = \sqrt{4 \cdot \frac{250}{25}} = \sqrt{4 \cdot 10} = \sqrt{40}$.

Сравниваем числа $\sqrt{12,8}$, $\sqrt{40}$ и $\sqrt{41}$. Так как $12,8 < 40 < 41$, то $\sqrt{12,8} < \sqrt{40} < \sqrt{41}$.

Следовательно, исходные числа в порядке возрастания: $8\sqrt{0,2}$, $\frac{2}{5}\sqrt{250}$, $\sqrt{41}$.

Ответ: $8\sqrt{0,2}, \frac{2}{5}\sqrt{250}, \sqrt{41}$.

г) Сравним числа $12\sqrt{0,5}$, $\sqrt{89}$ и $\frac{3}{4}\sqrt{160}$, приведя их к виду $\sqrt{A}$.

$12\sqrt{0,5} = \sqrt{12^2 \cdot 0,5} = \sqrt{144 \cdot 0,5} = \sqrt{72}$.

Число $\sqrt{89}$ уже в необходимой форме.

$\frac{3}{4}\sqrt{160} = \sqrt{(\frac{3}{4})^2 \cdot 160} = \sqrt{\frac{9}{16} \cdot 160} = \sqrt{9 \cdot \frac{160}{16}} = \sqrt{9 \cdot 10} = \sqrt{90}$.

Сравниваем числа $\sqrt{72}$, $\sqrt{89}$ и $\sqrt{90}$. Так как $72 < 89 < 90$, то $\sqrt{72} < \sqrt{89} < \sqrt{90}$.

Следовательно, исходные числа в порядке возрастания: $12\sqrt{0,5}$, $\sqrt{89}$, $\frac{3}{4}\sqrt{160}$.

Ответ: $12\sqrt{0,5}, \sqrt{89}, \frac{3}{4}\sqrt{160}$.