Номер 481, страница 111 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 5. Дополнительные упражнения к главе II. Глава 2. Квадратные корни - номер 481, страница 111.

481. (Задача-исследование.) Верно ли, что при любом натуральном n значение выражения n(n+1)(n+2)(n+3)+1 является натуральным числом?

1) Выберите произвольное значение n и проверьте, является ли натуральным числом соответствующее значение корня.

2) Подумайте, как удобно сгруппировать множители в произведении n(n + 1)(n + 2)(n + 3), чтобы представить подкоренное выражение в виде квадрата.

3) Выполните преобразования и дайте ответ на вопрос задачи.

$$\begin{gathered} \sqrt{n(n+1)(n+2)(n+3)+1}= \\ =\sqrt{\left(n\right(n+3\left)\right)·\left(\right(n+1\left)\right(n+2\left)\right)+1}= \\ =\sqrt{(n^2+3n)(n^2+2n+n+2)+1}= \\ =\sqrt{(n^2+3n)(n^2+3n+2)+1} \end{gathered}$$

Пусть $n^2+3n=t,$ тогда

$\sqrt{t(t+2)+1}=\sqrt{t^2+2t+1}=\sqrt{{(t+1)}^2}=\left|t+1\right|=t+1,$

$$\begin{gathered} \text{т.к.} n\in N, n^2+3n=t\in N \\ t+1=n^2+3n+1 \end{gathered}$$

Пусть n=3

$$\begin{gathered} \sqrt{3(3+1)(3+2)(3+3)+1}=3^2+3·3+1 \\ \sqrt{3·4·5·6+1}=\sqrt{361}=19 \\ {3}^2+3·3+1=9+9+1=19 \end{gathered}$$

Ответ: верно

1) Выберите произвольное значение n и проверьте, является ли натуральным числом соответствующее значение корня.

Выберем произвольное натуральное значение $n$, например, $n=1$.
Подставим это значение в выражение $\sqrt{n(n+1)(n+2)(n+3)+1}$:
$\sqrt{1 \cdot (1+1) \cdot (1+2) \cdot (1+3) + 1} = \sqrt{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 + 1} = \sqrt{24 + 1} = \sqrt{25} = 5$.
Число 5 является натуральным числом.

Для дополнительной проверки выберем $n=2$.
$\sqrt{2 \cdot (2+1) \cdot (2+2) \cdot (2+3) + 1} = \sqrt{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 + 1} = \sqrt{120 + 1} = \sqrt{121} = 11$.
Число 11 также является натуральным числом.

Ответ: при $n=1$ значение выражения равно 5, что является натуральным числом.

2) Подумайте, как удобно сгруппировать множители в произведении n(n + 1)(n + 2)(n + 3), чтобы представить подкоренное выражение в виде квадрата.

Чтобы удобно преобразовать произведение $n(n+1)(n+2)(n+3)$, сгруппируем множители так, чтобы при их попарном перемножении получились выражения с одинаковыми частями. Для этого перемножим первый множитель с четвертым, а второй — с третьим.
Группировка: $[n(n+3)][(n+1)(n+2)]$.
Раскроем скобки в каждой группе:
$n(n+3) = n^2 + 3n$
$(n+1)(n+2) = n^2 + 2n + n + 2 = n^2 + 3n + 2$
В обоих произведениях есть одинаковое выражение $n^2 + 3n$, что позволит в дальнейшем сделать замену переменной и выделить полный квадрат.

Ответ: Удобно сгруппировать первый множитель с четвертым, а второй с третьим: $[n(n+3)][(n+1)(n+2)]$.

3) Выполните преобразования и дайте ответ на вопрос задачи.

Преобразуем подкоренное выражение $n(n+1)(n+2)(n+3)+1$, используя предложенную во втором пункте группировку:
$n(n+1)(n+2)(n+3)+1 = [n(n+3)][(n+1)(n+2)]+1 = (n^2 + 3n)(n^2 + 3n + 2) + 1$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = n^2 + 3n$. Тогда выражение примет вид:
$t(t+2)+1 = t^2 + 2t + 1$.
Полученное выражение является формулой квадрата суммы (полным квадратом): $t^2 + 2t + 1 = (t+1)^2$.
Теперь выполним обратную замену, подставив $t = n^2 + 3n$:
$(n^2+3n+1)^2$.
Таким образом, все подкоренное выражение тождественно равно $(n^2+3n+1)^2$.
Теперь извлечем корень из этого выражения:
$\sqrt{n(n+1)(n+2)(n+3)+1} = \sqrt{(n^2+3n+1)^2}$.
Поскольку $n$ — натуральное число, то есть $n \ge 1$, то выражение $n^2+3n+1$ всегда будет положительным ($n^2 \ge 1$, $3n \ge 3$, следовательно $n^2+3n+1 \ge 1+3+1=5$). Значит, модуль можно опустить:
$\sqrt{(n^2+3n+1)^2} = |n^2+3n+1| = n^2+3n+1$.
Так как $n$ — натуральное число, то $n^2$ и $3n$ также являются натуральными числами. Сумма натуральных чисел и единицы всегда является натуральным числом.
Следовательно, утверждение, что при любом натуральном $n$ значение выражения является натуральным числом, верно.

Ответ: Да, верно. При любом натуральном $n$ значение выражения $\sqrt{n(n+1)(n+2)(n+3)+1}$ является натуральным числом, равным $n^2+3n+1$.