Номер 482, страница 111 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 5. Дополнительные упражнения к главе II. Глава 2. Квадратные корни - номер 482, страница 111.

482. Упростите выражение:

a) $\sqrt{{(-a)}^2}=\left|-a\right|=\left|a\right|$

б) $$\begin{gathered} \sqrt{{(-a)}^2{(-b)}^4}=\sqrt{a^2{b}^4}=\sqrt{a^2{\left(b^2\right)}^2}= \\ =\sqrt{{\left(a{b}^2\right)}^2}=\left|a\right|b^2 \end{gathered}$$

а) Для упрощения выражения $\sqrt{(-a)^2}$ воспользуемся основным свойством квадратного корня, которое гласит, что для любого действительного числа $x$ справедливо тождество $\sqrt{x^2} = |x|$ (модуль числа $x$).

Применим это свойство к нашему выражению, где в роли $x$ выступает $-a$:

$\sqrt{(-a)^2} = |-a|$

По определению модуля, модуль противоположного числа равен модулю самого числа, то есть $|-a| = |a|$.

Таким образом, итоговое упрощенное выражение равно $|a|$.
Ответ: $|a|$.

б) Рассмотрим выражение $\sqrt{(-a)^2(-b)^4}$.

Используя свойство корня из произведения ($\sqrt{xy} = \sqrt{x}\sqrt{y}$ для неотрицательных $x$ и $y$), мы можем разбить корень на произведение корней, поскольку выражения $(-a)^2$ и $(-b)^4$ всегда неотрицательны (так как любое число в четной степени больше либо равно нулю).

$\sqrt{(-a)^2(-b)^4} = \sqrt{(-a)^2} \cdot \sqrt{(-b)^4}$

Теперь упростим каждый множитель по отдельности.

Первый множитель, как мы выяснили в пункте а), равен:

$\sqrt{(-a)^2} = |-a| = |a|$

Для второго множителя $\sqrt{(-b)^4}$ представим степень 4 как $(...)^2$:

$\sqrt{(-b)^4} = \sqrt{((-b)^2)^2}$

Снова применяем тождество $\sqrt{x^2}=|x|$, где $x = (-b)^2$:

$\sqrt{((-b)^2)^2} = |(-b)^2|$

Выражение $(-b)^2$ равно $b^2$, и оно всегда неотрицательно ($b^2 \ge 0$) для любого действительного числа $b$. Модуль неотрицательного числа равен самому числу, поэтому:

$|(-b)^2| = |b^2| = b^2$

Теперь объединим упрощенные части:

$\sqrt{(-a)^2} \cdot \sqrt{(-b)^4} = |a| \cdot b^2$

Ответ: $|a|b^2$.