Номер 480, страница 111 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 5. Дополнительные упражнения к главе II. Глава 2. Квадратные корни - номер 480, страница 111.

480. Преобразуйте выражение:

a) $\sqrt{a^4{b}^4}=\sqrt{{\left(a^2\right)}^2{\left(b^2\right)}^2}=\sqrt{{\left(a^2{b}^2\right)}^2}=a^2{b}^2$

б) $$\begin{gathered} \sqrt{b^2{c}^8}=\sqrt{{\left(b^3\right)}^2{\left(c^4\right)}^2}=\sqrt{{\left(b^3{c}^4\right)}^2}=\left|b^3{c}^4\right|= \\ =\left|b^3\right|c^4=b^3{c}^4, \text{где} b\ge 0 \end{gathered}$$

в) $\sqrt{16x^4{y}^{12}}=\sqrt{4^2{\left(x^2\right)}^2{\left(y^6\right)}^2}=\sqrt{{\left(4x^2{y}^6\right)}^2}=4x^2{y}^6$

г) $$\begin{gathered} \sqrt{0,25p^2{y}^6}=\sqrt{0,5^2{p}^2{\left(y^3\right)}^2}=\sqrt{{(0,5p{y}^3)}^2}= \\ =0,5\left|p\right|·\left|y^3\right|=0,5p\left(-y^3\right)=-0,5p{y}^3, \end{gathered}$$

где p≥0, y≤0

д) $\sqrt{\frac{p^4}{a^8}}=\sqrt{\frac{{\left(p^2\right)}^2}{{\left(a^4\right)}^2}}=\sqrt{{\left(\frac{p^2}{a^4}\right)}^2}=\frac{p^2}{a^4}$

е) $\sqrt{\frac{16a^{12}}{b^{10}}}=\sqrt{\frac{4^2{\left(a^6\right)}^2}{{\left(b^5\right)}^2}}=\sqrt{{\left(\frac{4a^6}{b^5}\right)}^2}=\frac{4a^6}{\left|b^5\right|}=\frac{4a^6}{b^5},$

где b>0

ж) $\sqrt{\frac{4x^2}{y^6}}=\sqrt{\frac{2^2{x}^2}{{\left(y^3\right)}^2}}=\sqrt{{\left(\frac{2x}{y^3}\right)}^2}=\frac{2\left|x\right|}{\left|y^3\right|}=\frac{-2x}{-y^3}=\frac{2x}{y^3}$

где x<0, y<0

з) $\sqrt{\frac{c^6}{9a^2}}=\sqrt{\frac{{\left(c^3\right)}^2}{3^2{a}^2}}=\sqrt{{\left(\frac{c^3}{3a}\right)}^2}=\frac{\left|c^3\right|}{3\left|a\right|}=\frac{-c^3}{3a}=-\frac{c^3}{3a},$

где c<0, a>0

а) Для преобразования выражения $\sqrt{a^4b^4}$ воспользуемся свойством $\sqrt{x^{2n}} = |x^n|$. Представим подкоренное выражение как полный квадрат: $a^4b^4 = (a^2b^2)^2$.
Тогда $\sqrt{a^4b^4} = \sqrt{(a^2b^2)^2} = |a^2b^2|$.
Поскольку $a^2 \ge 0$ и $b^2 \ge 0$, их произведение $a^2b^2$ также неотрицательно. Следовательно, модуль можно опустить: $|a^2b^2| = a^2b^2$.
Ответ: $a^2b^2$

б) Преобразуем выражение $\sqrt{b^6c^8}$ с учетом условия $b \ge 0$.
Представим подкоренное выражение как полный квадрат: $b^6c^8 = (b^3c^4)^2$.
Тогда $\sqrt{b^6c^8} = \sqrt{(b^3c^4)^2} = |b^3c^4| = |b^3| \cdot |c^4|$.
Рассмотрим каждый модуль отдельно. Выражение $c^4 = (c^2)^2$ всегда неотрицательно, поэтому $|c^4| = c^4$.
По условию $b \ge 0$, следовательно, $b^3 \ge 0$. Поэтому $|b^3| = b^3$.
Перемножив результаты, получаем: $b^3 \cdot c^4 = b^3c^4$.
Ответ: $b^3c^4$

в) Преобразуем выражение $\sqrt{16x^4y^{12}}$.
Представим подкоренное выражение в виде полного квадрата:
$16x^4y^{12} = 4^2 \cdot (x^2)^2 \cdot (y^6)^2 = (4x^2y^6)^2$.
Тогда $\sqrt{16x^4y^{12}} = \sqrt{(4x^2y^6)^2} = |4x^2y^6|$.
Так как множители $4$, $x^2$ и $y^6$ являются неотрицательными числами, их произведение $4x^2y^6$ также неотрицательно.
Следовательно, $|4x^2y^6| = 4x^2y^6$.
Ответ: $4x^2y^6$

г) Преобразуем выражение $\sqrt{0,25p^2y^6}$, где $p \ge 0$ и $y \le 0$.
Представим подкоренное выражение как полный квадрат:
$0,25p^2y^6 = (0,5)^2 \cdot p^2 \cdot (y^3)^2 = (0,5py^3)^2$.
Тогда $\sqrt{0,25p^2y^6} = \sqrt{(0,5py^3)^2} = |0,5py^3|$.
Раскроем модуль: $|0,5py^3| = |0,5| \cdot |p| \cdot |y^3|$.
$|0,5| = 0,5$.
По условию $p \ge 0$, значит $|p| = p$.
По условию $y \le 0$, значит $y^3 \le 0$. Следовательно, $|y^3| = -y^3$.
Собираем все вместе: $0,5 \cdot p \cdot (-y^3) = -0,5py^3$.
Ответ: $-0,5py^3$

д) Преобразуем выражение $\sqrt{\frac{p^4}{a^8}}$.
Используем свойство корня из дроби $\sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}$ (для $x \ge 0, y > 0$).
$\sqrt{\frac{p^4}{a^8}} = \frac{\sqrt{p^4}}{\sqrt{a^8}}$.
Упростим числитель и знаменатель, используя $\sqrt{x^{2n}} = |x^n|$:
$\sqrt{p^4} = \sqrt{(p^2)^2} = |p^2| = p^2$, так как $p^2 \ge 0$.
$\sqrt{a^8} = \sqrt{(a^4)^2} = |a^4| = a^4$, так как $a^4 \ge 0$. Для существования выражения требуется $a \ne 0$.
Получаем дробь $\frac{p^2}{a^4}$.
Ответ: $\frac{p^2}{a^4}$

е) Преобразуем выражение $\sqrt{\frac{16a^{12}}{b^{10}}}$, где $b > 0$.
Разделим корень на числитель и знаменатель: $\sqrt{\frac{16a^{12}}{b^{10}}} = \frac{\sqrt{16a^{12}}}{\sqrt{b^{10}}}$.
Преобразуем числитель: $\sqrt{16a^{12}} = \sqrt{(4a^6)^2} = |4a^6|$. Поскольку $4>0$ и $a^6=(a^3)^2 \ge 0$, то $4a^6 \ge 0$, следовательно $|4a^6| = 4a^6$.
Преобразуем знаменатель: $\sqrt{b^{10}} = \sqrt{(b^5)^2} = |b^5|$. По условию $b > 0$, значит $b^5 > 0$, следовательно $|b^5| = b^5$.
Собираем дробь: $\frac{4a^6}{b^5}$.
Ответ: $\frac{4a^6}{b^5}$

ж) Преобразуем выражение $\sqrt{\frac{4x^2}{y^6}}$, где $x < 0$ и $y < 0$.
Разделим корень на числитель и знаменатель: $\sqrt{\frac{4x^2}{y^6}} = \frac{\sqrt{4x^2}}{\sqrt{y^6}}$.
Преобразуем числитель: $\sqrt{4x^2} = \sqrt{(2x)^2} = |2x| = 2|x|$. По условию $x < 0$, поэтому $|x| = -x$. Числитель равен $2(-x) = -2x$.
Преобразуем знаменатель: $\sqrt{y^6} = \sqrt{(y^3)^2} = |y^3|$. По условию $y < 0$, поэтому $y^3 < 0$. Следовательно, $|y^3| = -y^3$.
Собираем дробь: $\frac{-2x}{-y^3} = \frac{2x}{y^3}$.
Ответ: $\frac{2x}{y^3}$

з) Преобразуем выражение $\sqrt{\frac{c^6}{9a^2}}$, где $c < 0$ и $a > 0$.
Разделим корень на числитель и знаменатель: $\sqrt{\frac{c^6}{9a^2}} = \frac{\sqrt{c^6}}{\sqrt{9a^2}}$.
Преобразуем числитель: $\sqrt{c^6} = \sqrt{(c^3)^2} = |c^3|$. По условию $c < 0$, поэтому $c^3 < 0$. Следовательно, $|c^3| = -c^3$.
Преобразуем знаменатель: $\sqrt{9a^2} = \sqrt{(3a)^2} = |3a| = 3|a|$. По условию $a > 0$, поэтому $|a| = a$. Знаменатель равен $3a$.
Собираем дробь: $\frac{-c^3}{3a}$.
Ответ: $-\frac{c^3}{3a}$