Номер 473, страница 110 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 5. Дополнительные упражнения к главе II. Глава 2. Квадратные корни - номер 473, страница 110.

473. Найдите значение выражения (если оно имеет смысл):

a) $\sqrt{{(-12)}^2}=\left|-12\right|=12$

б) $-\sqrt{{10}^2}=-10$

в) $\sqrt{-{10}^2}$ - выражение не имеет смысла

г) $-\sqrt{{(-11)}^2}=-\left|-11\right|=-11$

д) $\sqrt{-{(-15)}^2}$ - выражение не имеет смысла

е) $-\sqrt{{(-25)}^2}=-\left|-25\right|=-25$

а) $\sqrt{(-12)^2}$

Для нахождения значения этого выражения воспользуемся определением арифметического квадратного корня, согласно которому $\sqrt{a^2} = |a|$ для любого числа $a$. В данном случае $a = -12$.

$\sqrt{(-12)^2} = |-12| = 12$.

Также можно сначала выполнить возведение в квадрат под корнем:

$(-12)^2 = 144$.

Затем извлечь корень: $\sqrt{144} = 12$.

Ответ: 12.

б) $-\sqrt{10^2}$

Сначала вычислим значение выражения под корнем, а затем учтем знак минус, стоящий перед ним.

$10^2 = 100$.

Выражение принимает вид $-\sqrt{100}$.

Поскольку $\sqrt{100} = 10$, то $-\sqrt{100} = -10$.

Используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем: $-\sqrt{10^2} = -|10| = -10$.

Ответ: -10.

в) $\sqrt{-10^2}$

Рассмотрим выражение под знаком корня: $-10^2$. Согласно порядку выполнения математических операций, сначала выполняется возведение в степень, а затем операция отрицания (унарный минус).

$10^2 = 100$.

Следовательно, подкоренное выражение равно $-(100) = -100$.

Выражение целиком имеет вид $\sqrt{-100}$.

Арифметический квадратный корень определен только для неотрицательных чисел. Так как под знаком корня находится отрицательное число, данное выражение не имеет смысла в области действительных чисел.

Ответ: выражение не имеет смысла.

г) $-\sqrt{(-11)^2}$

Сначала вычислим значение корня $\sqrt{(-11)^2}$.

Используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем: $\sqrt{(-11)^2} = |-11| = 11$.

Теперь учтем знак минус перед корнем:

$-\sqrt{(-11)^2} = -11$.

Альтернативный способ: сначала возводим в квадрат под корнем $(-11)^2 = 121$. Затем извлекаем корень и ставим знак минус: $-\sqrt{121} = -11$.

Ответ: -11.

д) $\sqrt{-(-15)^2}$

Проанализируем выражение под знаком корня: $-(-15)^2$.

В соответствии с порядком действий, сначала вычисляем степень выражения в скобках:

$(-15)^2 = 225$.

Затем применяем знак минуса, стоящий перед скобкой:

$-(-15)^2 = -225$.

Таким образом, исходное выражение равносильно $\sqrt{-225}$.

Поскольку извлечение квадратного корня из отрицательного числа не является определенной операцией в множестве действительных чисел, данное выражение не имеет смысла.

Ответ: выражение не имеет смысла.

е) $-\sqrt{(-25)^2}$

Найдем значение корня $\sqrt{(-25)^2}$.

Применяя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, где $a = -25$, получаем:

$\sqrt{(-25)^2} = |-25| = 25$.

Подставим полученное значение в исходное выражение, учитывая знак минус перед корнем:

$-\sqrt{(-25)^2} = -25$.

Другой вариант решения: $(-25)^2 = 625$. Тогда $-\sqrt{(-25)^2} = -\sqrt{625} = -25$.

Ответ: -25.