Страница 110 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

471. Вычислите:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}15\sqrt{20}·0,1\sqrt{45}=15\sqrt{4·5}·0,1\sqrt{9·5}= \\ =15·2\sqrt{5}·0,1·3\sqrt{5}= \\ =30\sqrt{5}·0,3\sqrt{5}=9·5=45 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}0,3\sqrt{10}·0,2\sqrt{15}·0,5\sqrt{6}= \\ =0,3·0,2·0,5\sqrt{10·15·6}= \\ =0,03·\sqrt{900}=0,03·30=0,9 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\frac{8\sqrt{5}}{0,4\sqrt{0,2}}=\frac{80}{4}·\sqrt{\frac{5}{0,2}}=20·\sqrt{\frac{50}{2}}= \\ =20·\sqrt{25}=20·5=100 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\frac{\sqrt{0,48}}{5\sqrt{12}}=\frac{1}{5}·\sqrt{\frac{0,48}{12}}=\frac{1}{5}\sqrt{\frac{48}{1200}}= \\ =\frac{1}{5}·\sqrt{\frac{1}{25}}=\frac{1}{5}·\frac{1}{5}=\frac{1}{25}=0,04 \end{gathered}$$

а) Чтобы вычислить выражение $15\sqrt{20} \cdot 0,1\sqrt{45}$, сгруппируем отдельно числовые коэффициенты и квадратные корни, а затем перемножим их.
$15\sqrt{20} \cdot 0,1\sqrt{45} = (15 \cdot 0,1) \cdot (\sqrt{20} \cdot \sqrt{45})$
Сначала вычислим произведение коэффициентов:
$15 \cdot 0,1 = 1,5$
Теперь используем свойство произведения корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$:
$\sqrt{20} \cdot \sqrt{45} = \sqrt{20 \cdot 45} = \sqrt{900}$
Извлекаем квадратный корень:
$\sqrt{900} = 30$
Наконец, перемножим полученные результаты:
$1,5 \cdot 30 = 45$
Ответ: 45

б) Для вычисления выражения $0,3\sqrt{10} \cdot 0,2\sqrt{15} \cdot 0,5\sqrt{6}$ поступим аналогично предыдущему пункту: сгруппируем коэффициенты и корни.
$(0,3 \cdot 0,2 \cdot 0,5) \cdot (\sqrt{10} \cdot \sqrt{15} \cdot \sqrt{6})$
Вычислим произведение коэффициентов:
$0,3 \cdot 0,2 \cdot 0,5 = 0,06 \cdot 0,5 = 0,03$
Теперь перемножим подкоренные выражения, используя свойство $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \cdot \sqrt{c} = \sqrt{a \cdot b \cdot c}$:
$\sqrt{10 \cdot 15 \cdot 6} = \sqrt{(2 \cdot 5) \cdot (3 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 3)} = \sqrt{2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2} = \sqrt{(2 \cdot 3 \cdot 5)^2} = \sqrt{30^2} = 30$
Перемножим полученные результаты:
$0,03 \cdot 30 = 0,9$
Ответ: 0,9

в) Чтобы вычислить значение дроби $\frac{8\sqrt{5}}{0,4\sqrt{0,2}}$, разделим отдельно коэффициенты и отдельно квадратные корни.
$\frac{8\sqrt{5}}{0,4\sqrt{0,2}} = \frac{8}{0,4} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{0,2}}$
Вычислим частное коэффициентов:
$\frac{8}{0,4} = \frac{80}{4} = 20$
Для частного корней используем свойство $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$:
$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{0,2}} = \sqrt{\frac{5}{0,2}} = \sqrt{\frac{50}{2}} = \sqrt{25}$
Извлекаем корень:
$\sqrt{25} = 5$
Перемножим полученные результаты:
$20 \cdot 5 = 100$
Ответ: 100

г) Для вычисления выражения $\frac{\sqrt{0,48}}{5\sqrt{12}}$ также разделим вычисления на две части: для коэффициентов и для корней.
$\frac{\sqrt{0,48}}{5\sqrt{12}} = \frac{1}{5} \cdot \frac{\sqrt{0,48}}{\sqrt{12}}$
Применим свойство частного корней $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$:
$\frac{\sqrt{0,48}}{\sqrt{12}} = \sqrt{\frac{0,48}{12}} = \sqrt{0,04}$
Извлечем квадратный корень:
$\sqrt{0,04} = 0,2$
Теперь умножим полученный результат на коэффициент $\frac{1}{5}$:
$\frac{1}{5} \cdot 0,2 = 0,2 \cdot 0,2 = 0,04$
Ответ: 0,04

472. Известно, что a ‹ 0 и b ‹ 0. Представьте выражение:

а) ab в виде произведения корней;

б) ab в виде частного корней.

a<0, b<0

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} \sqrt{ab}=\sqrt{-a}·\sqrt{-b} \\ \mathbf{\text{б)}} \sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{-a}}{\sqrt{-b}} \end{gathered}$$

а)

Рассмотрим выражение $\sqrt{ab}$. По условию задачи $a < 0$ и $b < 0$. Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом, то есть $ab > 0$. Следовательно, выражение $\sqrt{ab}$ определено в множестве действительных чисел.

Общее свойство корня из произведения, $\sqrt{xy} = \sqrt{x}\sqrt{y}$, справедливо только для неотрицательных чисел ($x \ge 0$, $y \ge 0$). Поскольку $a$ и $b$ отрицательны, мы не можем применять это свойство напрямую. Нам нужно преобразовать выражение так, чтобы под знаками новых корней стояли неотрицательные числа.

Так как $a < 0$, то $-a > 0$. Аналогично, так как $b < 0$, то $-b > 0$.
Представим произведение $ab$ следующим образом:
$ab = (-1) \cdot (-a) \cdot (-1) \cdot (-b) = (-1)^2 \cdot (-a)(-b) = (-a)(-b)$.
Тогда исходное выражение можно переписать в виде:
$\sqrt{ab} = \sqrt{(-a)(-b)}$.

Теперь, поскольку множители $-a$ и $-b$ являются положительными числами, мы можем применить свойство корня из произведения:
$\sqrt{(-a)(-b)} = \sqrt{-a} \cdot \sqrt{-b}$.
Это и есть искомое представление в виде произведения корней.

Ответ: $\sqrt{-a} \cdot \sqrt{-b}$

б)

Рассмотрим выражение $\sqrt{\frac{a}{b}}$. По условию $a < 0$ и $b < 0$. Частное двух отрицательных чисел является положительным числом, то есть $\frac{a}{b} > 0$. Следовательно, выражение $\sqrt{\frac{a}{b}}$ определено в множестве действительных чисел.

Свойство корня из частного, $\sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}$, справедливо для $x \ge 0$ и $y > 0$. Так как $a$ и $b$ отрицательны, мы не можем применить его напрямую.
Преобразуем подкоренное выражение. Умножим числитель и знаменатель дроби на $-1$, что не изменит значения дроби:
$\frac{a}{b} = \frac{a \cdot (-1)}{b \cdot (-1)} = \frac{-a}{-b}$.

Тогда исходное выражение можно переписать как:
$\sqrt{\frac{a}{b}} = \sqrt{\frac{-a}{-b}}$.

Поскольку $-a > 0$ и $-b > 0$, мы можем применить свойство корня из частного для неотрицательных чисел:
$\sqrt{\frac{-a}{-b}} = \frac{\sqrt{-a}}{\sqrt{-b}}$.
Это и есть искомое представление в виде частного корней.

Ответ: $\frac{\sqrt{-a}}{\sqrt{-b}}$

473. Найдите значение выражения (если оно имеет смысл):

a) $\sqrt{{(-12)}^2}=\left|-12\right|=12$

б) $-\sqrt{{10}^2}=-10$

в) $\sqrt{-{10}^2}$ - выражение не имеет смысла

г) $-\sqrt{{(-11)}^2}=-\left|-11\right|=-11$

д) $\sqrt{-{(-15)}^2}$ - выражение не имеет смысла

е) $-\sqrt{{(-25)}^2}=-\left|-25\right|=-25$

а) $\sqrt{(-12)^2}$

Для нахождения значения этого выражения воспользуемся определением арифметического квадратного корня, согласно которому $\sqrt{a^2} = |a|$ для любого числа $a$. В данном случае $a = -12$.

$\sqrt{(-12)^2} = |-12| = 12$.

Также можно сначала выполнить возведение в квадрат под корнем:

$(-12)^2 = 144$.

Затем извлечь корень: $\sqrt{144} = 12$.

Ответ: 12.

б) $-\sqrt{10^2}$

Сначала вычислим значение выражения под корнем, а затем учтем знак минус, стоящий перед ним.

$10^2 = 100$.

Выражение принимает вид $-\sqrt{100}$.

Поскольку $\sqrt{100} = 10$, то $-\sqrt{100} = -10$.

Используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем: $-\sqrt{10^2} = -|10| = -10$.

Ответ: -10.

в) $\sqrt{-10^2}$

Рассмотрим выражение под знаком корня: $-10^2$. Согласно порядку выполнения математических операций, сначала выполняется возведение в степень, а затем операция отрицания (унарный минус).

$10^2 = 100$.

Следовательно, подкоренное выражение равно $-(100) = -100$.

Выражение целиком имеет вид $\sqrt{-100}$.

Арифметический квадратный корень определен только для неотрицательных чисел. Так как под знаком корня находится отрицательное число, данное выражение не имеет смысла в области действительных чисел.

Ответ: выражение не имеет смысла.

г) $-\sqrt{(-11)^2}$

Сначала вычислим значение корня $\sqrt{(-11)^2}$.

Используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем: $\sqrt{(-11)^2} = |-11| = 11$.

Теперь учтем знак минус перед корнем:

$-\sqrt{(-11)^2} = -11$.

Альтернативный способ: сначала возводим в квадрат под корнем $(-11)^2 = 121$. Затем извлекаем корень и ставим знак минус: $-\sqrt{121} = -11$.

Ответ: -11.

д) $\sqrt{-(-15)^2}$

Проанализируем выражение под знаком корня: $-(-15)^2$.

В соответствии с порядком действий, сначала вычисляем степень выражения в скобках:

$(-15)^2 = 225$.

Затем применяем знак минуса, стоящий перед скобкой:

$-(-15)^2 = -225$.

Таким образом, исходное выражение равносильно $\sqrt{-225}$.

Поскольку извлечение квадратного корня из отрицательного числа не является определенной операцией в множестве действительных чисел, данное выражение не имеет смысла.

Ответ: выражение не имеет смысла.

е) $-\sqrt{(-25)^2}$

Найдем значение корня $\sqrt{(-25)^2}$.

Применяя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, где $a = -25$, получаем:

$\sqrt{(-25)^2} = |-25| = 25$.

Подставим полученное значение в исходное выражение, учитывая знак минус перед корнем:

$-\sqrt{(-25)^2} = -25$.

Другой вариант решения: $(-25)^2 = 625$. Тогда $-\sqrt{(-25)^2} = -\sqrt{625} = -25$.

Ответ: -25.

474. Вычислите:

a) $$\begin{gathered} 3\sqrt{{(-2)}^6}=3\sqrt{({{(-2)}^3)}^2}=3\left|{(-2)}^3\right|= \\ =3·\left|-8\right|=3·8=24 \end{gathered}$$

б) $-2\sqrt{{10}^4}=-2\sqrt{{\left({10}^2\right)}^2}=-2·{10}^2=-2·100=-200$

в) $-3\sqrt{5^4}=-3\sqrt{{\left(5^2\right)}^2}=-3·5^2=-3·25=-75$

г) $0,1\sqrt{2^{10}}=0,1·\sqrt{{\left(2^5\right)}^2}=0,1·2^5=0,1·32=3,2$

д) $$\begin{gathered} 0,1\sqrt{{(-3)}^8}=0,1·\sqrt{({{(-3)}^4)}^2}=0,1\left|{(-3)}^4\right|= \\ =0,1\left|81\right|=0,1·81=8,1 \end{gathered}$$

е) $$\begin{gathered} 100\sqrt{0,1^{10}}=100\sqrt{({{(0,1)}^5)}^2}=100·0,1^5= \\ =100·0,00001=0,001 \end{gathered}$$

ж) $-\sqrt{{(-2)}^{12}}=-\sqrt{({{(-2)}^6)}^2}=-\left|{\left(-2\right)}^6\right|=-64$

з) $$\begin{gathered} 2,5\sqrt{{(-0,1)}^4}=2,5\sqrt{({{(-0,1)}^2)}^2}=2,5\left|{\left(-0,1\right)}^2\right|= \\ =2,5·0,01=0,025 \end{gathered}$$

а) Для вычисления значения выражения $3\sqrt{(-2)^6}$ воспользуемся свойством $\sqrt{a^2} = |a|$. Так как $(-2)^6$ является четной степенью, результат будет положительным. Можно представить степень как $(-2)^6 = ((-2)^3)^2$.
$3\sqrt{(-2)^6} = 3\sqrt{((-2)^3)^2} = 3 \cdot |(-2)^3| = 3 \cdot |-8| = 3 \cdot 8 = 24$.
Альтернативный способ — сначала вычислить значение под корнем: $(-2)^6 = 64$.
$3\sqrt{64} = 3 \cdot 8 = 24$.
Ответ: 24

б) Для вычисления $-2\sqrt{10^4}$ представим $10^4$ в виде квадрата: $10^4 = (10^2)^2$.
$-2\sqrt{10^4} = -2\sqrt{(10^2)^2} = -2 \cdot |10^2| = -2 \cdot 100 = -200$.
Ответ: -200

в) Для вычисления $-3\sqrt{5^4}$ представим $5^4$ в виде квадрата: $5^4 = (5^2)^2$.
$-3\sqrt{5^4} = -3\sqrt{(5^2)^2} = -3 \cdot |5^2| = -3 \cdot 25 = -75$.
Ответ: -75

г) Для вычисления $0,1\sqrt{2^{10}}$ представим $2^{10}$ в виде квадрата: $2^{10} = (2^5)^2$.
$0,1\sqrt{2^{10}} = 0,1\sqrt{(2^5)^2} = 0,1 \cdot |2^5| = 0,1 \cdot 32 = 3,2$.
Ответ: 3,2

д) Для вычисления $0,1\sqrt{(-3)^8}$ представим $(-3)^8$ в виде квадрата: $(-3)^8 = ((-3)^4)^2$.
$0,1\sqrt{(-3)^8} = 0,1\sqrt{((-3)^4)^2} = 0,1 \cdot |(-3)^4| = 0,1 \cdot 81 = 8,1$.
Ответ: 8,1

е) Для вычисления $100\sqrt{0,1^{10}}$ представим $0,1^{10}$ в виде квадрата: $0,1^{10} = (0,1^5)^2$.
$100\sqrt{0,1^{10}} = 100\sqrt{(0,1^5)^2} = 100 \cdot |0,1^5| = 100 \cdot 0,00001 = 0,001$.
Ответ: 0,001

ж) Для вычисления $-\sqrt{(-2)^{12}}$ представим $(-2)^{12}$ в виде квадрата: $(-2)^{12} = ((-2)^6)^2$.
$-\sqrt{(-2)^{12}} = -\sqrt{((-2)^6)^2} = -|(-2)^6| = -|64| = -64$.
Ответ: -64

з) Для вычисления $2,5\sqrt{(-0,1)^4}$ представим $(-0,1)^4$ в виде квадрата: $(-0,1)^4 = ((-0,1)^2)^2$.
$2,5\sqrt{(-0,1)^4} = 2,5\sqrt{((-0,1)^2)^2} = 2,5 \cdot |(-0,1)^2| = 2,5 \cdot |0,01| = 2,5 \cdot 0,01 = 0,025$.
Ответ: 0,025

475. Найдите значение выражения:

a) $\sqrt{4^3}=\sqrt{{\left(2^2\right)}^3}=\sqrt{{\left(2^3\right)}^2}=2^3=8$

б) $\sqrt{9^5}=\sqrt{{\left(3^2\right)}^5}=\sqrt{{\left(3^5\right)}^2}=3^5=243$

в) $\sqrt{{16}^5}=\sqrt{{\left(2^4\right)}^5}=\sqrt{2^{20}}=\sqrt{{\left(2^{10}\right)}^2}=2^{10}=1024$

г) $\sqrt{{25}^3}=\sqrt{{\left(5^2\right)}^3}=\sqrt{{\left(5^3\right)}^2}=5^3=125$

д) $$\begin{gathered} \sqrt{8·162}=\sqrt{8·2·81}=\sqrt{16·81}= \\ =\sqrt{16}·\sqrt{81}=4·9=36 \end{gathered}$$

е) $$\begin{gathered} \sqrt{96·486}=\sqrt{16·6·81·6}=\sqrt{16·81·36}= \\ =\sqrt{16}·\sqrt{81}·\sqrt{36}=4·9·6=216 \end{gathered}$$

ж) $$\begin{gathered} \sqrt{750·270}=\sqrt{25·3·10·9·3·10}= \\ =\sqrt{25·81·100}=\sqrt{25}·\sqrt{81}·\sqrt{100}=5·9·10=450 \end{gathered}$$

з) $$\begin{gathered} \sqrt{194·776}=\sqrt{2·97·97·8}=\sqrt{{97}^2·16}= \\ =\sqrt{{97}^2}·\sqrt{16}=97·4=388 \end{gathered}$$

а) Для вычисления значения выражения $\sqrt{4^3}$ можно представить его как степень с рациональным показателем или вынести степень из-под знака корня. Воспользуемся свойством $\sqrt{a^n} = (\sqrt{a})^n$ для $a \ge 0$:
$\sqrt{4^3} = (\sqrt{4})^3 = 2^3 = 8$.
Другой способ — сначала возвести в степень, а затем извлечь корень:
$\sqrt{4^3} = \sqrt{64} = 8$.
Ответ: 8

б) Аналогично предыдущему пункту, используем свойство $\sqrt{a^n} = (\sqrt{a})^n$:
$\sqrt{9^5} = (\sqrt{9})^5 = 3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 243$.
Ответ: 243

в) Применим тот же подход, что и в пунктах а) и б):
$\sqrt{16^5} = (\sqrt{16})^5 = 4^5 = 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 1024$.
Ответ: 1024

г) Используем свойство $\sqrt{a^n} = (\sqrt{a})^n$:
$\sqrt{25^3} = (\sqrt{25})^3 = 5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$.
Ответ: 125

д) Для вычисления корня из произведения $\sqrt{8 \cdot 162}$ разложим подкоренные числа на множители так, чтобы выделить полные квадраты.
$8 = 2 \cdot 4$
$162 = 2 \cdot 81$
Тогда выражение под корнем преобразуется к виду:
$8 \cdot 162 = (2 \cdot 4) \cdot (2 \cdot 81) = 2 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 81 = 4 \cdot 4 \cdot 81 = 16 \cdot 81$.
Теперь извлечем корень, используя свойство $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$:
$\sqrt{16 \cdot 81} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{81} = 4 \cdot 9 = 36$.
Ответ: 36

е) Разложим числа 96 и 486 на множители, чтобы упростить извлечение корня.
$96 = 16 \cdot 6$
$486 = 81 \cdot 6$
Подставим разложения в исходное выражение:
$\sqrt{96 \cdot 486} = \sqrt{(16 \cdot 6) \cdot (81 \cdot 6)} = \sqrt{16 \cdot 81 \cdot 6^2}$.
Теперь извлечем корень из произведения:
$\sqrt{16 \cdot 81 \cdot 6^2} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{81} \cdot \sqrt{6^2} = 4 \cdot 9 \cdot 6 = 216$.
Ответ: 216

ж) Для вычисления $\sqrt{750 \cdot 270}$ разложим числа на удобные множители.
$750 = 75 \cdot 10 = (25 \cdot 3) \cdot 10$
$270 = 27 \cdot 10 = (9 \cdot 3) \cdot 10$
Сгруппируем множители под корнем:
$\sqrt{750 \cdot 270} = \sqrt{(25 \cdot 3 \cdot 10) \cdot (9 \cdot 3 \cdot 10)} = \sqrt{25 \cdot 9 \cdot 3^2 \cdot 10^2}$.
Извлечем корень из каждого множителя:
$\sqrt{25} \cdot \sqrt{9} \cdot \sqrt{3^2} \cdot \sqrt{10^2} = 5 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 10 = 450$.
Ответ: 450

з) В выражении $\sqrt{194 \cdot 776}$ заметим, что второй множитель кратен первому.
$776 \div 194 = 4$.
Следовательно, $776 = 4 \cdot 194$.
Подставим это в выражение под корнем:
$\sqrt{194 \cdot 776} = \sqrt{194 \cdot (4 \cdot 194)} = \sqrt{194^2 \cdot 4}$.
Теперь извлечем корень:
$\sqrt{194^2 \cdot 4} = \sqrt{194^2} \cdot \sqrt{4} = 194 \cdot 2 = 388$.
Ответ: 388

476. При каких значениях х верно равенство x² = (x)²?

$\sqrt{x^2}={\left(\sqrt{x}\right)}^2$ верно при x≥0

Ответ: при x≥0

Для того чтобы найти значения $x$, при которых верно равенство $\sqrt{x^2} = (\sqrt{x})^2$, необходимо проанализировать область определения каждой части этого равенства.

Рассмотрим левую часть равенства: $\sqrt{x^2}$. Выражение под знаком квадратного корня, $x^2$, всегда неотрицательно ($x^2 \ge 0$) при любом действительном $x$. Следовательно, левая часть определена для всех $x \in (-\infty, +\infty)$. По определению арифметического квадратного корня, $\sqrt{x^2}$ равно модулю $x$, то есть $\sqrt{x^2} = |x|$.

Теперь рассмотрим правую часть равенства: $(\sqrt{x})^2$. Выражение $\sqrt{x}$ определено только для неотрицательных значений подкоренного выражения. Таким образом, для правой части должно выполняться условие $x \ge 0$. При этом условии $(\sqrt{x})^2 = x$.

Чтобы всё равенство имело смысл, необходимо, чтобы были определены обе его части. Область допустимых значений (ОДЗ) для всего уравнения находится как пересечение областей определения его левой и правой частей. ОДЗ для левой части — все действительные числа, а для правой — только неотрицательные числа ($x \ge 0$). Пересечением этих двух множеств является промежуток $[0, +\infty)$.

Итак, исходное равенство может быть верным только при $x \ge 0$. Проверим его на этой области.

Подставим упрощенные выражения в исходное уравнение:

Левая часть: $\sqrt{x^2} = |x|$. Поскольку мы рассматриваем $x \ge 0$, то $|x| = x$.

Правая часть: $(\sqrt{x})^2 = x$.

Таким образом, уравнение принимает вид:

$x = x$

Это равенство является тождеством и верно для всех значений $x$ из области допустимых значений, то есть для всех $x \ge 0$.

Ответ: Равенство верно при $x \ge 0$.

477. При каких значениях переменной верно равенство:

a) $\sqrt{y^4}=y^2$ при любых y

б) $\sqrt{x^{12}}=x^6$ при любых x

в) $\sqrt{x^6}=x^3$ при x≥0

г) $\sqrt{c^{10}}=-c^5$ при c≤0

д) $\sqrt{a^{14}}=-a^7$ при a≤0

е) $\sqrt{b^8}=b^4$ при любых b

а) Рассмотрим равенство $\sqrt{y^4} = y^2$.
Левую часть равенства можно преобразовать, используя свойство корня $\sqrt{a^{2n}} = |a^n|$. В данном случае, подкоренное выражение $y^4$ можно представить как $(y^2)^2$.
$\sqrt{y^4} = \sqrt{(y^2)^2} = |y^2|$.
Выражение $y^2$ является неотрицательным при любом действительном значении $y$, то есть $y^2 \ge 0$. Поэтому, модуль этого выражения равен самому выражению: $|y^2| = y^2$.
Таким образом, мы получаем тождество $y^2 = y^2$, которое справедливо для любого значения переменной $y$.
Ответ: $y$ - любое число.

б) Рассмотрим равенство $\sqrt{x^{12}} = x^6$.
Преобразуем левую часть, представив $x^{12}$ как $(x^6)^2$.
$\sqrt{x^{12}} = \sqrt{(x^6)^2} = |x^6|$.
Поскольку показатель степени у $x^6$ четный, выражение $x^6$ всегда неотрицательно ($x^6 \ge 0$) для любого действительного $x$. Следовательно, $|x^6| = x^6$.
Мы получаем тождество $x^6 = x^6$, которое верно для любого значения $x$.
Ответ: $x$ - любое число.

в) Рассмотрим равенство $\sqrt{x^6} = x^3$.
Преобразуем левую часть, представив $x^6$ как $(x^3)^2$.
$\sqrt{x^6} = \sqrt{(x^3)^2} = |x^3|$.
Исходное равенство принимает вид $|x^3| = x^3$.
Равенство вида $|a| = a$ выполняется только в том случае, когда подмодульное выражение неотрицательно, то есть $a \ge 0$.
Применяя это к нашему случаю, получаем условие $x^3 \ge 0$, которое выполняется при $x \ge 0$.
Ответ: $x \ge 0$.

г) Рассмотрим равенство $\sqrt{c^{10}} = -c^5$.
Преобразуем левую часть, представив $c^{10}$ как $(c^5)^2$.
$\sqrt{c^{10}} = \sqrt{(c^5)^2} = |c^5|$.
Исходное равенство принимает вид $|c^5| = -c^5$.
Равенство вида $|a| = -a$ выполняется только в том случае, когда подмодульное выражение неположительно, то есть $a \le 0$.
Применяя это к нашему случаю, получаем условие $c^5 \le 0$, которое выполняется при $c \le 0$.
Ответ: $c \le 0$.

д) Рассмотрим равенство $\sqrt{a^{14}} = -a^7$.
Преобразуем левую часть, представив $a^{14}$ как $(a^7)^2$.
$\sqrt{a^{14}} = \sqrt{(a^7)^2} = |a^7|$.
Исходное равенство принимает вид $|a^7| = -a^7$.
Равенство вида $|x| = -x$ выполняется только тогда, когда $x \le 0$.
Следовательно, мы должны иметь $a^7 \le 0$, что верно при $a \le 0$.
Ответ: $a \le 0$.

е) Рассмотрим равенство $\sqrt{b^8} = b^4$.
Преобразуем левую часть, представив $b^8$ как $(b^4)^2$.
$\sqrt{b^8} = \sqrt{(b^4)^2} = |b^4|$.
Поскольку показатель степени у $b^4$ четный, выражение $b^4$ всегда неотрицательно ($b^4 \ge 0$) для любого действительного $b$. Следовательно, $|b^4| = b^4$.
Мы получаем тождество $b^4 = b^4$, которое верно для любого значения $b$.
Ответ: $b$ - любое число.

478. Постройте график функции, заданной формулой:

a) $y=\frac{\sqrt{x^2}}{x}; y=\frac{\left|x\right|}{x}$

если x>0, то $y=\frac{x}{x}; y=1$

если x<0, то $y=\frac{-x}{x}; y=-1$

Область определения функции: все числа, кроме 0

б) $y=\frac{-2\sqrt{x^2}}{x}; y=\frac{-2\left|x\right|}{x}$

если x>0, то $y=\frac{-2x}{x}; y=-2$

если x<0, то $y=\frac{2x}{x}; y=2$

Область определения функции: все числа, кроме 0

в) $y=x\sqrt{x^2}; y=x\left|x\right|$

если x≥0; $y=x^2$

если x<0; $y=-x^2$

Область определения: все числа

г) $y=-x\sqrt{x^2}; y=-x\left|x\right|$

если x≥0; то $y=-x^2$

если x<0; то $y=x^2$

Область определения функции: все числа

Первым шагом упростим данную функцию. Используем тождество $\sqrt{a^2} = |a|$. Для нашей функции это означает $\sqrt{x^2} = |x|$. Тогда функция примет вид: $y = \frac{|x|}{x}$.

Область определения функции (ОДЗ): так как в знаменателе находится переменная $x$, она не может быть равна нулю. Таким образом, $x \neq 0$.

Теперь раскроем модуль, рассмотрев два случая:

1. Если $x > 0$, то по определению модуля $|x| = x$. Функция принимает вид: $y = \frac{x}{x} = 1$.

2. Если $x < 0$, то по определению модуля $|x| = -x$. Функция принимает вид: $y = \frac{-x}{x} = -1$.

Итак, для построения графика нам нужно нарисовать два горизонтальных луча. Для всех положительных значений $x$ (справа от оси OY) график совпадает с прямой $y=1$. Для всех отрицательных значений $x$ (слева от оси OY) график совпадает с прямой $y=-1$. Так как $x=0$ не входит в область определения, на оси OY у графика будет разрыв. Концы лучей в точках, соответствующих $x=0$, будут "выколотыми", то есть не будут принадлежать графику.

Ответ: График функции представляет собой объединение двух открытых лучей: луч $y=1$ для $x \in (0, +\infty)$ и луч $y=-1$ для $x \in (-\infty, 0)$.

Упростим функцию, используя тождество $\sqrt{x^2} = |x|$. Получим: $y = \frac{-2|x|}{x}$.

Область определения функции: знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x \neq 0$.

Раскроем модуль, рассмотрев два случая:

1. Если $x > 0$, то $|x| = x$. Функция принимает вид $y = \frac{-2x}{x} = -2$.

2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Функция принимает вид $y = \frac{-2(-x)}{x} = \frac{2x}{x} = 2$.

Следовательно, график этой функции также состоит из двух горизонтальных лучей. Для $x > 0$ это луч $y=-2$. Для $x < 0$ это луч $y=2$. В точке $x=0$ функция не определена, что на графике отображается разрывом.

Ответ: График функции представляет собой объединение двух открытых лучей: луч $y=2$ для $x \in (-\infty, 0)$ и луч $y=-2$ для $x \in (0, +\infty)$.

Сначала упростим выражение для функции, используя тождество $\sqrt{x^2} = |x|$. Функция примет вид: $y = x|x|$.

Область определения этой функции — все действительные числа, так как подкоренное выражение $x^2$ всегда неотрицательно, и нет деления на ноль. $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

Рассмотрим два случая для раскрытия модуля:

1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Функция становится $y = x \cdot x = x^2$.

2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Функция становится $y = x \cdot (-x) = -x^2$.

Таким образом, график функции "сшит" из двух частей парабол. Для $x \ge 0$ (справа от оси OY, включая начало координат) это часть параболы $y=x^2$, ветви которой направлены вверх. Для $x < 0$ (слева от оси OY) это часть параболы $y=-x^2$, ветви которой направлены вниз. В точке $x=0$ обе части сходятся ($y(0)=0$), поэтому график является непрерывным.

Ответ: График функции состоит из двух ветвей: ветви параболы $y=x^2$ при $x \ge 0$ и ветви параболы $y=-x^2$ при $x < 0$.

Упростим функцию, заменив $\sqrt{x^2}$ на $|x|$: $y = -x|x|$.

Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

Раскроем модуль, рассмотрев два случая:

1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Функция принимает вид $y = -x \cdot x = -x^2$.

2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Функция принимает вид $y = -x \cdot (-x) = x^2$.

График этой функции также состоит из двух частей парабол. Для $x \ge 0$ (справа от оси OY и в начале координат) это часть параболы $y=-x^2$, ветви которой направлены вниз. Для $x < 0$ (слева от оси OY) это часть параболы $y=x^2$, ветви которой направлены вверх. График непрерывен в точке $x=0$.

Ответ: График функции состоит из двух ветвей: ветви параболы $y=x^2$ при $x < 0$ и ветви параболы $y=-x^2$ при $x \ge 0$.