Страница 107 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

447. Известно, что числа а и b натуральные. Является ли натуральным число:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}}\mathbf{ }a\in N, b\in N \\ a+b\in N \end{gathered}$$

Ответ: да

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}}\mathbf{ }a-b\in N, \text{если }a>b \\ a-b\notin N, \text{если }a<b \end{gathered}$$

Ответ: не всегда

$\mathbf{\text{в)}}\mathbf{ }ab\in N$

Ответ: да

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г)}} \frac{a}{b}\in N, \text{если }a \text{кратно }b \\ \frac{a}{b}\notin N, \text{если }a \text{не кратно }b \end{gathered}$$

Ответ: не всегда

В этой задаче мы исходим из стандартного определения натуральных чисел, как множества чисел, используемых при счете: $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, 4, ...\}$. Число 0 не является натуральным числом. Даны два натуральных числа $a$ и $b$, то есть $a \in \mathbb{N}$ и $b \in \mathbb{N}$.

а) $a + b$

Сумма двух натуральных чисел всегда является натуральным числом. Это свойство называется замкнутостью множества натуральных чисел относительно операции сложения. Так как наименьшее натуральное число – это 1, то наименьшая возможная сумма двух натуральных чисел будет $1 + 1 = 2$. Любая другая сумма будет больше. Поскольку результат всегда является целым числом, большим или равным 2, он всегда будет натуральным числом. Например, если взять $a = 15$ и $b = 32$, то их сумма $a + b = 15 + 32 = 47$, что является натуральным числом.

Ответ: Да, всегда является натуральным числом.

б) $a - b$

Разность двух натуральных чисел не всегда является натуральным числом. Чтобы доказать это, достаточно привести хотя бы один пример, где результат не является натуральным. Рассмотрим несколько случаев:

• Если $a > b$, то разность $a - b$ будет натуральным числом. Например, при $a = 10$, $b = 3$, получаем $a - b = 10 - 3 = 7$. Число 7 – натуральное.
• Если $a = b$, то разность $a - b$ будет равна нулю. Например, при $a = 5$, $b = 5$, получаем $a - b = 5 - 5 = 0$. Ноль не является натуральным числом.
• Если $a < b$, то разность $a - b$ будет отрицательным целым числом. Например, при $a = 4$, $b = 9$, получаем $a - b = 4 - 9 = -5$. Отрицательные числа не являются натуральными.

Поскольку существуют случаи, когда результат не является натуральным числом, общее утверждение неверно.

Ответ: Нет, не всегда.

в) $ab$

Произведение двух натуральных чисел всегда является натуральным числом. Это свойство называется замкнутостью множества натуральных чисел относительно операции умножения. Поскольку $a \ge 1$ и $b \ge 1$, их произведение $ab$ всегда будет не меньше, чем $1 \cdot 1 = 1$. Результат всегда будет целым и положительным, а значит, и натуральным. Например, если $a = 7$ и $b = 8$, то их произведение $ab = 7 \cdot 8 = 56$, что является натуральным числом.

Ответ: Да, всегда является натуральным числом.

г) $\frac{a}{b}$

Частное от деления одного натурального числа на другое не всегда является натуральным числом. Рассмотрим примеры:

• Если число $a$ делится на число $b$ нацело (т.е. $a$ кратно $b$), то результат будет натуральным числом. Например, при $a = 20$, $b = 4$, получаем $\frac{a}{b} = \frac{20}{4} = 5$. Число 5 – натуральное.
• Если число $a$ не делится на число $b$ нацело, то результат будет дробным (рациональным) числом, а не натуральным. Например, при $a = 2$, $b = 3$, получаем $\frac{a}{b} = \frac{2}{3}$. Это число не является натуральным.

Поскольку существует случай, когда результат не является натуральным, общее утверждение неверно.

Ответ: Нет, не всегда.

448. Известно, что числа а и b целые. Является ли целым число:

a∈Z, b∈Z

a) a+b∈Z

Ответ: да

б) a-b∈Z

Ответ: да

в) ab∈Z

Ответ: да

г) $\frac{a}{b}\in Z,$ если a кратно b, b≠0

$\frac{a}{b}\notin Z,$ если a не кратно b, b≠0

Ответ: не всегда

По условию задачи, числа a и b являются целыми. Целые числа — это натуральные числа (1, 2, 3, …), противоположные им числа (–1, –2, –3, …) и число 0. Множество целых чисел обозначается как $ \mathbb{Z} $. Проанализируем каждое выражение на предмет того, всегда ли его значение будет целым числом.

а) a + b;
Сумма двух целых чисел всегда является целым числом. Это одно из основных свойств множества целых чисел, которое называется замкнутостью относительно операции сложения.
Например, если $a = 5$ и $b = -3$, то $a + b = 5 + (-3) = 2$. Число 2 является целым.
Если $a = -10$ и $b = -4$, то $a + b = -10 + (-4) = -14$. Число -14 является целым.
Следовательно, выражение $a+b$ всегда будет целым числом, если $a$ и $b$ — целые числа.
Ответ: да, является.

б) a - b;
Разность двух целых чисел всегда является целым числом. Множество целых чисел также замкнуто относительно операции вычитания.
Например, если $a = 7$ и $b = 12$, то $a - b = 7 - 12 = -5$. Число -5 является целым.
Если $a = -2$ и $b = -9$, то $a - b = -2 - (-9) = -2 + 9 = 7$. Число 7 является целым.
Следовательно, выражение $a-b$ всегда будет целым числом, если $a$ и $b$ — целые числа.
Ответ: да, является.

в) ab;
Произведение двух целых чисел всегда является целым числом. Множество целых чисел замкнуто и относительно операции умножения.
Например, если $a = 6$ и $b = -4$, то $ab = 6 \times (-4) = -24$. Число -24 является целым.
Если $a = -5$ и $b = -7$, то $ab = (-5) \times (-7) = 35$. Число 35 является целым.
Следовательно, выражение $ab$ всегда будет целым числом, если $a$ и $b$ — целые числа.
Ответ: да, является.

г) $\frac{a}{b}$ ($b \neq 0$)?
Частное двух целых чисел не всегда является целым числом. Множество целых чисел не является замкнутым относительно операции деления. Результат деления будет целым числом только в том случае, если делимое $a$ нацело делится на делитель $b$. В общем случае результатом деления является рациональное число.
Для доказательства достаточно привести один контрпример. Пусть $a = 3$ и $b = 2$. Оба числа являются целыми.
Их частное равно $\frac{a}{b} = \frac{3}{2} = 1.5$.
Число 1.5 не является целым. Следовательно, частное двух целых чисел не всегда является целым числом.
Ответ: нет, не всегда.

449. Известно, что числа а и b рациональные. Является ли рациональным число:

a∈Q, b∈Q

a) a+b∈Q

Ответ: да

б) a-b∈Q

Ответ: да

в) ab∈Q

Ответ: да

г) $\frac{a}{b}\in Q (b\ne 0)$

Ответ: да

а) a + b; Поскольку числа $a$ и $b$ рациональные, их можно представить в виде дробей с целыми числителями и ненулевыми целыми знаменателями. Пусть $a = \frac{m}{n}$ и $b = \frac{p}{q}$, где $m, n, p, q$ — целые числа, причем $n \neq 0$ и $q \neq 0$.
Найдем сумму этих чисел: $a + b = \frac{m}{n} + \frac{p}{q} = \frac{mq + np}{nq}$.
В полученной дроби числитель $mq + np$ является целым числом, так как представляет собой сумму произведений целых чисел. Знаменатель $nq$ также является целым числом, и, поскольку $n \neq 0$ и $q \neq 0$, их произведение $nq$ не равно нулю.
Таким образом, сумма $a+b$ представляется в виде дроби, где числитель — целое число, а знаменатель — ненулевое целое число. Это означает, что $a+b$ является рациональным числом.
Ответ: да, является.

б) a - b; Аналогично предыдущему пункту, представим $a = \frac{m}{n}$ и $b = \frac{p}{q}$.
Найдем разность этих чисел: $a - b = \frac{m}{n} - \frac{p}{q} = \frac{mq - np}{nq}$.
Числитель $mq - np$ является целым числом (как разность произведений целых чисел), а знаменатель $nq$ — ненулевым целым числом.
Следовательно, разность $a-b$ является рациональным числом.
Ответ: да, является.

в) ab; Представим $a = \frac{m}{n}$ и $b = \frac{p}{q}$.
Найдем произведение этих чисел: $ab = \frac{m}{n} \cdot \frac{p}{q} = \frac{mp}{nq}$.
Числитель $mp$ является целым числом (как произведение целых чисел), а знаменатель $nq$ — ненулевым целым числом.
Следовательно, произведение $ab$ является рациональным числом.
Ответ: да, является.

г) a/b ($b \neq 0$)? Представим $a = \frac{m}{n}$ и $b = \frac{p}{q}$. Условие $b \neq 0$ означает, что числитель $p$ также не равен нулю ($p \neq 0$), поскольку знаменатель $q$ по определению не равен нулю.
Найдем частное этих чисел: $\frac{a}{b} = \frac{\frac{m}{n}}{\frac{p}{q}} = \frac{m}{n} \cdot \frac{q}{p} = \frac{mq}{np}$.
В полученной дроби числитель $mq$ является целым числом. Знаменатель $np$ является произведением двух ненулевых целых чисел ($n \neq 0$ и $p \neq 0$), поэтому он также является ненулевым целым числом.
Следовательно, частное $\frac{a}{b}$ является рациональным числом.
Ответ: да, является.

450. Докажите, что если числа x и y чётные, то чётным будет число:

а) x – y;

б) xy;

в) 3x + y.

Так как x и y - чётные числа, то x=2a, y=2b

a) x-y=2a-2b=2(a-b) - число чётное

б) xy=2a*2b=4ab - число чётное

в) 3x+y=3*2a+2b=6a+2b=2(3a+b) - число чётное

По определению, чётное число — это целое число, которое можно разделить на 2 без остатка. Любое чётное число можно представить в виде $2k$, где $k$ — некоторое целое число.

Согласно условию задачи, числа $x$ и $y$ являются чётными. Это означает, что их можно представить в следующем виде:
$x = 2m$
$y = 2n$
где $m$ и $n$ — некоторые целые числа.

Теперь докажем утверждения для каждого из предложенных выражений.

а) Рассмотрим разность $x - y$. Подставим в это выражение наши представления для $x$ и $y$:
$x - y = 2m - 2n$
Вынесем общий множитель 2 за скобки:
$x - y = 2(m - n)$
Поскольку $m$ и $n$ являются целыми числами, их разность $(m - n)$ также будет целым числом. Если мы обозначим эту разность как $k = m - n$, то получим $x - y = 2k$. Это выражение соответствует определению чётного числа.
Ответ: число $x - y$ является чётным.

б) Рассмотрим произведение $xy$. Подставим в него наши представления для $x$ и $y$:
$xy = (2m)(2n) = 4mn$
Мы можем переписать результат так, чтобы явно выделить множитель 2:
$xy = 2(2mn)$
Поскольку $m$ и $n$ являются целыми числами, то произведение $2mn$ также будет целым числом. Если мы обозначим это произведение как $k = 2mn$, то получим $xy = 2k$. Это выражение соответствует определению чётного числа.
Ответ: число $xy$ является чётным.

в) Рассмотрим выражение $3x + y$. Подставим в него наши представления для $x$ и $y$:
$3x + y = 3(2m) + 2n = 6m + 2n$
Вынесем общий множитель 2 за скобки:
$3x + y = 2(3m + n)$
Поскольку $m$ и $n$ являются целыми числами, то выражение в скобках $(3m + n)$ также будет целым числом. Если мы обозначим это выражение как $k = 3m + n$, то получим $3x + y = 2k$. Это выражение соответствует определению чётного числа.
Ответ: число $3x + y$ является чётным.

451. Известно, что числа х и y нечётные. Будет ли чётным или нечётным числом:

а) сумма x + y;

б) разность x – y;

в) произведение xy?

Так как x и y - нечётные числа, то x=2a+1, y=2b+1

a) $$\begin{gathered} x+y=2a+1+2b+1=2a+2b+2= \\ =2(a+b+1) -\text{ чётное число} \end{gathered}$$

б) $$\begin{gathered} x-y=(2a+1)-(2b+1)=2a+1-2b-1= \\ =2(a-b) -\text{ чётное число} \end{gathered}$$

в) $$\begin{gathered} xy=(2a+1)(2b+1)=4ab+2a+2b+1= \\ =2(2ab+a+b)-1 -\text{ нечётное число} \end{gathered}$$

По определению, нечётное число — это целое число, которое при делении на 2 даёт в остатке 1. Любое нечётное число можно представить в виде $2n + 1$, где $n$ — некоторое целое число.

По условию, числа $x$ и $y$ нечётные. Представим их в общем виде:
$x = 2k + 1$
$y = 2m + 1$
где $k$ и $m$ — некоторые целые числа.

а) сумма $x + y$;

Найдём сумму чисел $x$ и $y$:
$x + y = (2k + 1) + (2m + 1) = 2k + 2m + 2$.
Вынесем общий множитель 2 за скобки:
$x + y = 2(k + m + 1)$.
Так как $k$ и $m$ — целые числа, то их сумма, увеличенная на 1, то есть $k + m + 1$, также является целым числом. Обозначим $n = k + m + 1$.
Тогда сумма $x + y$ равна $2n$. Число, которое можно представить в виде произведения 2 на целое число, по определению является чётным. Таким образом, сумма двух нечётных чисел всегда является чётным числом.
Ответ: чётным.

б) разность $x - y$;

Найдём разность чисел $x$ и $y$:
$x - y = (2k + 1) - (2m + 1) = 2k + 1 - 2m - 1 = 2k - 2m$.
Вынесем общий множитель 2 за скобки:
$x - y = 2(k - m)$.
Так как $k$ и $m$ — целые числа, то их разность $k - m$ также является целым числом. Обозначим $p = k - m$.
Тогда разность $x - y$ равна $2p$. Это число по определению является чётным. Таким образом, разность двух нечётных чисел всегда является чётным числом.
Ответ: чётным.

в) произведение $xy$?

Найдём произведение чисел $x$ и $y$:
$xy = (2k + 1)(2m + 1) = 4km + 2k + 2m + 1$.
В первых трёх слагаемых вынесем общий множитель 2 за скобки:
$xy = 2(2km + k + m) + 1$.
Так как $k$ и $m$ — целые числа, то выражение в скобках $2km + k + m$ также является целым числом. Обозначим $q = 2km + k + m$.
Тогда произведение $xy$ можно представить в виде $2q + 1$. Число такого вида по определению является нечётным. Таким образом, произведение двух нечётных чисел всегда является нечётным числом.
Ответ: нечётным.

452. Назовите:

а) пять положительных чисел, меньших 0,002;

б) пять отрицательных чисел, больших -111;

в) пять чисел, больших 13 и меньших 12.

$\mathbf{\text{а)}}\mathbf{ }0,00035; 0,00005; 0,001; 0,0000001; 0,0009$

$\mathbf{\text{б)}}\mathbf{ }-\frac{1}{12}; -\frac{1}{13}; -\frac{1}{14}; -\frac{1}{15}; -\frac{1}{16}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в)}} \frac{1}{3}<x<\frac{1}{2} \\ \frac{2}{6}<x<\frac{3}{6} \\ \frac{20}{60}<x<\frac{30}{60} \\ \frac{21}{60}=\frac{7}{20}=0,35; \frac{22}{60}=\frac{11}{30}; \\ \frac{23}{60}; \frac{24}{60}=\frac{4}{10}=0,4; \frac{25}{60}=\frac{5}{12} \end{gathered}$$

а) Нам необходимо назвать пять положительных чисел, меньших 0,002. Это означает, что мы ищем числа $x$, которые удовлетворяют двойному неравенству $0 < x < 0,002$. Мы можем выбрать любую десятичную дробь, которая находится в этом интервале. Например, можно взять числа, у которых первые три знака после запятой — 001, а следующие знаки любые, или просто числа с большим количеством нулей после запятой. Например, 0,001, 0,0015, 0,0001 и так далее.

Ответ: 0,001; 0,0011; 0,0015; 0,0018; 0,00199.

б) Нам необходимо назвать пять отрицательных чисел, больших $-\frac{1}{11}$. Это означает, что мы ищем числа $x$, которые удовлетворяют неравенству $-\frac{1}{11} < x < 0$. Для отрицательных чисел действует правило: чем меньше модуль (абсолютная величина) числа, тем больше само число. Следовательно, нам нужно найти отрицательные числа, модуль которых будет меньше, чем $|\!-\frac{1}{11}| = \frac{1}{11}$.

Например, рассмотрим дробь $-\frac{1}{12}$. Так как $12 > 11$, то $\frac{1}{12} < \frac{1}{11}$. Умножая обе части на -1, мы меняем знак неравенства: $-\frac{1}{12} > -\frac{1}{11}$. Таким образом, любое число вида $-\frac{1}{n}$, где $n$ — целое число больше 11, будет удовлетворять условию.

Ответ: $-\frac{1}{12}; -\frac{1}{13}; -\frac{1}{14}; -\frac{1}{20}; -\frac{1}{100}$.

в) Нам необходимо назвать пять чисел, больших $\frac{1}{3}$ и меньших $\frac{1}{2}$. Это означает, что мы ищем числа $x$, которые удовлетворяют неравенству $\frac{1}{3} < x < \frac{1}{2}$.

Для нахождения таких чисел удобно привести дроби $\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{2}$ к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 3 и 2 равен 6. $\frac{1}{3} = \frac{2}{6}$ и $\frac{1}{2} = \frac{3}{6}$. Между $\frac{2}{6}$ и $\frac{3}{6}$ сложно найти дробь с целым числителем. Поэтому выберем другой, больший общий знаменатель. Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на 6 (можно выбрать любое число больше 1, но 6 даст нам достаточно промежуточных вариантов):

$\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot (2 \cdot 6)}{3 \cdot (2 \cdot 6)} = \frac{12}{36}$

$\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot (3 \cdot 6)}{2 \cdot (3 \cdot 6)} = \frac{18}{36}$

Теперь задача сводится к поиску пяти чисел в интервале от $\frac{12}{36}$ до $\frac{18}{36}$. Мы можем выбрать дроби с числителями 13, 14, 15, 16, 17 и знаменателем 36.

Ответ: $\frac{13}{36}; \frac{14}{36}; \frac{15}{36}; \frac{16}{36}; \frac{17}{36}$.

453. Представьте в виде бесконечной десятичной периодической дроби число:

a) $\frac{23}{64}=0,359375 \left(0\right)$

б) $-\frac{7}{25}=-\frac{28}{100}=-0,28 \left(0\right)$

в) $\frac{11}{13}=0,\left(846153\right)$

г) $\frac{1}{27}=0,\left(037\right)$

д) $\frac{2}{35}=0,0\left(571428\right)$

е) $-\frac{7}{22}=-0,3\left(18\right)$

ж) $\frac{23}{30}=0,7\left(6\right)$

з) $\frac{12}{55}=0,2\left(18\right)$

а) Чтобы представить обыкновенную дробь в виде бесконечной десятичной периодической дроби, необходимо разделить числитель на знаменатель.
Рассмотрим дробь $ \frac{23}{64} $. Знаменатель дроби $ 64 = 2^6 $. Так как в разложении знаменателя на простые множители присутствует только множитель 2, данная дробь является конечной десятичной дробью.
Выполним деление:
$ 23 \div 64 = 0.359375 $.
Любую конечную десятичную дробь можно записать в виде бесконечной периодической дроби, добавив в периоде ноль.
$ \frac{23}{64} = 0.359375 = 0.359375000... = 0.359375(0) $.
Ответ: $0.359375(0)$.

б) Рассмотрим дробь $ -\frac{7}{25} $. Сначала найдем десятичное представление для $ \frac{7}{25} $.
Знаменатель дроби $ 25 = 5^2 $. Так как в разложении знаменателя на простые множители присутствует только множитель 5, эта дробь также является конечной десятичной.
$ \frac{7}{25} = \frac{7 \times 4}{25 \times 4} = \frac{28}{100} = 0.28 $.
Соответственно, $ -\frac{7}{25} = -0.28 $.
Запишем в виде бесконечной периодической дроби:
$ -0.28 = -0.28000... = -0.28(0) $.
Ответ: $-0.28(0)$.

в) Для дроби $ \frac{11}{13} $ выполним деление столбиком.
$ 11 \div 13 = 0.846153846153... $
В процессе деления остатки последовательно равны: 6, 8, 2, 7, 5, 11. Как только остаток снова становится равен 11, частное начинает повторяться. Таким образом, период дроби состоит из шести цифр.
$ \frac{11}{13} = 0.(846153) $.
Ответ: $0.(846153)$.

г) Для дроби $ \frac{1}{27} $ выполним деление столбиком.
$ 1 \div 27 = 0.037037... $
Выполняем деление:
$ 10 \div 27 = 0 $ (остаток 10)
$ 100 \div 27 = 3 $ (остаток 19)
$ 190 \div 27 = 7 $ (остаток 1)
Остаток 1 совпал с исходным числителем, поэтому последовательность цифр в частном начинает повторяться.
$ \frac{1}{27} = 0.(037) $.
Ответ: $0.(037)$.

д) Для дроби $ \frac{2}{35} $ выполним деление столбиком.
$ 2 \div 35 = 0.0571428571428... $
Этапы деления:
$ 20 \div 35 \rightarrow 0 $ (остаток 20)
$ 200 \div 35 \rightarrow 5 $ (остаток 25)
$ 250 \div 35 \rightarrow 7 $ (остаток 5)
$ 50 \div 35 \rightarrow 1 $ (остаток 15)
$ 150 \div 35 \rightarrow 4 $ (остаток 10)
$ 100 \div 35 \rightarrow 2 $ (остаток 30)
$ 300 \div 35 \rightarrow 8 $ (остаток 20)
Остаток 20 повторился, значит, группа цифр 571428 будет повторяться. Первая цифра после запятой (0) не входит в период.
$ \frac{2}{35} = 0.0(571428) $.
Ответ: $0.0(571428)$.

е) Для дроби $ -\frac{7}{22} $ сначала найдем представление для $ \frac{7}{22} $, разделив 7 на 22 столбиком.
$ 7 \div 22 = 0.3181818... $
Этапы деления:
$ 70 \div 22 \rightarrow 3 $ (остаток 4)
$ 40 \div 22 \rightarrow 1 $ (остаток 18)
$ 180 \div 22 \rightarrow 8 $ (остаток 4)
Остаток 4 повторился, значит, последующие цифры частного (18) будут повторяться. Цифра 3 не входит в период.
$ \frac{7}{22} = 0.3(18) $.
Следовательно, $ -\frac{7}{22} = -0.3(18) $.
Ответ: $-0.3(18)$.

ж) Для дроби $ \frac{23}{30} $ выполним деление столбиком.
$ 23 \div 30 = 0.7666... $
Этапы деления:
$ 230 \div 30 \rightarrow 7 $ (остаток 20)
$ 200 \div 30 \rightarrow 6 $ (остаток 20)
Остаток 20 повторяется, значит, цифра 6 будет повторяться.
$ \frac{23}{30} = 0.7(6) $.
Ответ: $0.7(6)$.

з) Для дроби $ \frac{12}{55} $ выполним деление столбиком.
$ 12 \div 55 = 0.2181818... $
Этапы деления:
$ 120 \div 55 \rightarrow 2 $ (остаток 10)
$ 100 \div 55 \rightarrow 1 $ (остаток 45)
$ 450 \div 55 \rightarrow 8 $ (остаток 10)
Остаток 10 повторился, значит, группа цифр 18 будет повторяться. Цифра 2 не входит в период.
$ \frac{12}{55} = 0.2(18) $.
Ответ: $0.2(18)$.

454. Назовите два рациональных и два иррациональных числа, заключённых между числами 10 и 10,1.

Рациональные: 10,02; 10,0004

Иррациональные: 10,0012357083.... 10,0008713584....

Задача состоит в том, чтобы найти два рациональных и два иррациональных числа, которые находятся между 10 и 10,1. Это значит, что мы ищем числа x, для которых выполняется строгое неравенство $10 < x < 10,1$.

Два рациональных числа

Рациональные числа — это числа, которые могут быть представлены в виде дроби $\frac{m}{n}$, где m — целое число, а n — натуральное. В десятичной форме это конечные или периодические дроби. Мы можем легко найти такие числа в заданном интервале (10; 10,1), выбрав конечные десятичные дроби.

1. Возьмем число 10,03. Оно удовлетворяет условию $10 < 10,03 < 10,1$. Это число является конечной десятичной дробью, и его можно записать как $\frac{1003}{100}$, поэтому оно рациональное.

2. Возьмем число 10,07. Оно также удовлетворяет условию $10 < 10,07 < 10,1$. Это число можно представить в виде дроби $\frac{1007}{100}$, следовательно, оно тоже является рациональным.

Ответ: 10,03 и 10,07.

Два иррациональных числа

Иррациональные числа — это числа, которые не могут быть представлены в виде дроби $\frac{m}{n}$. Их десятичное представление является бесконечной непериодической дробью. Для нахождения иррациональных чисел в заданном интервале можно использовать квадратные корни из чисел, не являющихся точными квадратами. Найдем такое число y, чтобы выполнялось неравенство $10 < \sqrt{y} < 10,1$. Для этого возведем все части неравенства в квадрат: $10^2 < (\sqrt{y})^2 < (10,1)^2$ $100 < y < 102,01$

1. Мы можем выбрать любое целое число y из интервала (100; 102,01), которое не является точным квадратом. Возьмем, например, $y = 101$. Так как $100 < 101 < 102,01$, то $10 < \sqrt{101} < 10,1$. Число $\sqrt{101}$ является иррациональным.

2. Аналогично, мы можем взять $y = 102$. Так как $100 < 102 < 102,01$, то $10 < \sqrt{102} < 10,1$. Число $\sqrt{102}$ также является иррациональным.

Другой способ — это создать бесконечную непериодическую дробь, например, $10,0123456...$ или $10,050050005...$. Эти числа также являются иррациональными и лежат в заданном интервале.

Ответ: $\sqrt{101}$ и $\sqrt{102}$.

455. Известно, что число а рациональное, а число b иррациональное. Будет ли рациональным или иррациональным число:

а) a + b;

б) a – b?

a∈Q, b∈I

а) a+b∈I

Ответ: иррациональное

б) a-b∈I

Ответ: иррациональное

а) a + b;

Чтобы определить, является ли число $a + b$ рациональным или иррациональным, воспользуемся методом доказательства от противного. По условию, число $a$ является рациональным, а число $b$ — иррациональным.

Предположим, что их сумма $c = a + b$ является рациональным числом.

Из этого равенства можно выразить $b$:
$b = c - a$

Мы знаем, что множество рациональных чисел замкнуто относительно операции вычитания. Это означает, что разность двух рациональных чисел всегда является рациональным числом. Поскольку по нашему предположению $c$ — рациональное число и по условию $a$ — рациональное число, то их разность $c - a$ также должна быть рациональным числом.

Таким образом, получается, что число $b$ является рациональным. Однако это прямо противоречит исходному условию, в котором говорится, что $b$ — иррациональное число.

Так как наше предположение привело к противоречию, оно неверно. Следовательно, сумма рационального и иррационального чисел не может быть рациональным числом.

Ответ: иррациональное число.

б) a - b?

Аналогично пункту а), докажем, что разность рационального числа $a$ и иррационального числа $b$ будет иррациональным числом. Воспользуемся методом от противного.

Предположим, что разность $d = a - b$ является рациональным числом.

Выразим из этого равенства $b$:
$b = a - d$

По условию, $a$ — рациональное число. По нашему предположению, $d$ — также рациональное число. Разность двух рациональных чисел ($a$ и $d$) всегда является рациональным числом.

Отсюда следует, что $b$ должно быть рациональным числом. Это утверждение противоречит исходному условию, согласно которому $b$ — иррациональное число.

Противоречие доказывает, что наше первоначальное предположение было ошибочным. Следовательно, разность $a - b$ не может быть рациональным числом.

Ответ: иррациональное число.