Страница 112 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

486. Выполните умножение:

a) $\sqrt{x}(\sqrt{a}-\sqrt{b})=\sqrt{x}·\sqrt{a}-\sqrt{x}·\sqrt{b}=\sqrt{ax}-\sqrt{bx}$

б) $(\sqrt{x}+\sqrt{y})\sqrt{x}=\sqrt{x}\sqrt{x}+\sqrt{y}\sqrt{x}=x+\sqrt{xy}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\sqrt{ab}(\sqrt{a}+\sqrt{b})=\sqrt{ab}\sqrt{a}+\sqrt{ab}\sqrt{b}= \\ =a\sqrt{b}+b\sqrt{a} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\left(\sqrt{m}-\sqrt{n}\right)\sqrt{mn}=\sqrt{m}\sqrt{mn}-\sqrt{n}\sqrt{mn}= \\ =m\sqrt{n}-n\sqrt{m} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д) }}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(2\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)= \\ =\sqrt{x}·2\sqrt{x}-\sqrt{x}\sqrt{y}+2\sqrt{y}\sqrt{x}-\sqrt{y}·\sqrt{y}= \\ =2x-\sqrt{xy}+2\sqrt{xy}-y=2x+\sqrt{xy}-y \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{е) }}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(3\sqrt{a}+2\sqrt{b}\right)= \\ =3\sqrt{a}\sqrt{a}+2\sqrt{a}\sqrt{b}-3\sqrt{a}\sqrt{b}-2\sqrt{b}\sqrt{b}= \\ =3a+2\sqrt{ab}-3\sqrt{ab}-2b=3a-\sqrt{ab}-2b \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{ж) }}\left(2\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(3\sqrt{a}-2\sqrt{b}\right)= \\ =6\sqrt{a}\sqrt{a}-2\sqrt{a}2\sqrt{b}+3\sqrt{a}\sqrt{b}-2\sqrt{b}\sqrt{b}= \\ =6a-4\sqrt{ab}+3\sqrt{ab}-2b=6a-\sqrt{ab}-2b \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{з) }}\left(4\sqrt{x}-\sqrt{2x}\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{2x}\right)= \\ =4\sqrt{x}\sqrt{x}-4\sqrt{x}·\sqrt{2x}-\sqrt{x}·\sqrt{2x}+\sqrt{2x}\sqrt{2x}= \\ =4x-4x\sqrt{2}-x\sqrt{2}+2x=6x-5x\sqrt{2} \end{gathered}$$

а) Для решения этого примера воспользуемся распределительным свойством умножения: $c(a-b) = ca - cb$. В данном случае $c=\sqrt{x}$, $a=\sqrt{a}$, $b=\sqrt{b}$.

$\sqrt{x}(\sqrt{a} - \sqrt{b}) = \sqrt{x} \cdot \sqrt{a} - \sqrt{x} \cdot \sqrt{b}$

Используя свойство корней $\sqrt{m} \cdot \sqrt{n} = \sqrt{mn}$, получаем:

$\sqrt{xa} - \sqrt{xb}$

Ответ: $\sqrt{ax} - \sqrt{bx}$.

б) Применим распределительное свойство умножения: $(a+b)c = ac + bc$.

$(\sqrt{x} + \sqrt{y})\sqrt{x} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{x} + \sqrt{y} \cdot \sqrt{x}$

Используя свойства корней $\sqrt{m} \cdot \sqrt{m} = m$ и $\sqrt{m} \cdot \sqrt{n} = \sqrt{mn}$, получаем:

$x + \sqrt{yx}$

Ответ: $x + \sqrt{xy}$.

в) Используем распределительное свойство умножения.

$\sqrt{ab}(\sqrt{a} + \sqrt{b}) = \sqrt{ab} \cdot \sqrt{a} + \sqrt{ab} \cdot \sqrt{b}$

Применяем свойство $\sqrt{m} \cdot \sqrt{n} = \sqrt{mn}$:

$\sqrt{ab \cdot a} + \sqrt{ab \cdot b} = \sqrt{a^2b} + \sqrt{ab^2}$

Выносим множители из-под знака корня, используя свойство $\sqrt{k^2l} = |k|\sqrt{l}$. Так как по определению арифметического корня подкоренные выражения $a$ и $b$ неотрицательны, то $|a|=a$ и $|b|=b$:

$a\sqrt{b} + b\sqrt{a}$

Ответ: $a\sqrt{b} + b\sqrt{a}$.

г) Раскрываем скобки, умножая каждый член в скобках на $\sqrt{mn}$.

$(\sqrt{m} - \sqrt{n})\sqrt{mn} = \sqrt{m} \cdot \sqrt{mn} - \sqrt{n} \cdot \sqrt{mn}$

Используем свойство $\sqrt{x} \cdot \sqrt{y} = \sqrt{xy}$:

$\sqrt{m \cdot mn} - \sqrt{n \cdot mn} = \sqrt{m^2n} - \sqrt{mn^2}$

Выносим множители из-под знака корня (при $m, n \ge 0$):

$m\sqrt{n} - n\sqrt{m}$

Ответ: $m\sqrt{n} - n\sqrt{m}$.

д) Для умножения двух скобок воспользуемся правилом умножения многочленов: $(a+b)(c-d) = ac-ad+bc-bd$.

$(\sqrt{x} + \sqrt{y})(2\sqrt{x} - \sqrt{y}) = \sqrt{x} \cdot 2\sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot (-\sqrt{y}) + \sqrt{y} \cdot 2\sqrt{x} + \sqrt{y} \cdot (-\sqrt{y})$

Упростим полученное выражение:

$2(\sqrt{x})^2 - \sqrt{xy} + 2\sqrt{xy} - (\sqrt{y})^2$

Так как $(\sqrt{k})^2 = k$, получаем:

$2x - \sqrt{xy} + 2\sqrt{xy} - y$

Приведем подобные слагаемые:

$2x + \sqrt{xy} - y$

Ответ: $2x + \sqrt{xy} - y$.

е) Умножим скобки по правилу умножения многочленов.

$(\sqrt{a} - \sqrt{b})(3\sqrt{a} + 2\sqrt{b}) = \sqrt{a} \cdot 3\sqrt{a} + \sqrt{a} \cdot 2\sqrt{b} - \sqrt{b} \cdot 3\sqrt{a} - \sqrt{b} \cdot 2\sqrt{b}$

Упрощаем каждый член выражения:

$3(\sqrt{a})^2 + 2\sqrt{ab} - 3\sqrt{ab} - 2(\sqrt{b})^2$

$3a + 2\sqrt{ab} - 3\sqrt{ab} - 2b$

Приводим подобные слагаемые:

$3a - \sqrt{ab} - 2b$

Ответ: $3a - \sqrt{ab} - 2b$.

ж) Перемножим скобки, используя правило умножения многочленов.

$(2\sqrt{a} + \sqrt{b})(3\sqrt{a} - 2\sqrt{b}) = (2\sqrt{a})(3\sqrt{a}) + (2\sqrt{a})(-2\sqrt{b}) + (\sqrt{b})(3\sqrt{a}) + (\sqrt{b})(-2\sqrt{b})$

Выполним умножение:

$6(\sqrt{a})^2 - 4\sqrt{ab} + 3\sqrt{ab} - 2(\sqrt{b})^2$

$6a - 4\sqrt{ab} + 3\sqrt{ab} - 2b$

Сгруппируем и сложим подобные члены:

$6a - \sqrt{ab} - 2b$

Ответ: $6a - \sqrt{ab} - 2b$.

з) Раскроем скобки, перемножая их содержимое.

$(4\sqrt{x} - \sqrt{2x})(\sqrt{x} - \sqrt{2x}) = 4\sqrt{x} \cdot \sqrt{x} + 4\sqrt{x} \cdot (-\sqrt{2x}) - \sqrt{2x} \cdot \sqrt{x} - \sqrt{2x} \cdot (-\sqrt{2x})$

Упростим выражение:

$4(\sqrt{x})^2 - 4\sqrt{x \cdot 2x} - \sqrt{2x \cdot x} + (\sqrt{2x})^2$

$4x - 4\sqrt{2x^2} - \sqrt{2x^2} + 2x$

Вынесем $x$ из-под корня (при $x \ge 0$), $\sqrt{2x^2} = x\sqrt{2}$:

$4x - 4x\sqrt{2} - x\sqrt{2} + 2x$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(4x + 2x) + (-4x\sqrt{2} - x\sqrt{2}) = 6x - 5x\sqrt{2}$

Ответ: $6x - 5x\sqrt{2}$.

487. Упростите выражение:

a) $\left(1-\sqrt{x}\right)\left(1+\sqrt{x}+x\right)=1^3-{\left(\sqrt{x}\right)}^3=1-x\sqrt{x}$

б) $\left(\sqrt{a}+2\right)\left(a-2\sqrt{a}+4\right)={\left(\sqrt{a}\right)}^3+2^3=a\sqrt{a}+8$

в) $$\begin{gathered} \left(\sqrt{m}-\sqrt{n}\right)\left(m+n+\sqrt{mn}\right)={\left(\sqrt{m}\right)}^3-{\left(\sqrt{n}\right)}^3= \\ =m\sqrt{m}-n\sqrt{n} \end{gathered}$$

г) $\left(x+\sqrt{y}\right)\left(x^2+y-x\sqrt{y}\right)=x^3+{\left(\sqrt{y}\right)}^3=x^3+y\sqrt{y}$

а) Для упрощения выражения $(1-\sqrt{x})(1+\sqrt{x}+x)$ используется формула разности кубов: $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3 - b^3$.
Пусть $a=1$ и $b=\sqrt{x}$. Тогда $a^2=1^2=1$, $ab=1 \cdot \sqrt{x} = \sqrt{x}$ и $b^2=(\sqrt{x})^2=x$.
Подставим эти значения в формулу:
$(1-\sqrt{x})(1^2+1\cdot\sqrt{x}+(\sqrt{x})^2) = (1-\sqrt{x})(1+\sqrt{x}+x)$.
Это в точности совпадает с исходным выражением. Следовательно, результат будет равен $a^3 - b^3 = 1^3 - (\sqrt{x})^3 = 1 - x\sqrt{x}$.
Ответ: $1 - x\sqrt{x}$.

б) Для упрощения выражения $(\sqrt{a}+2)(a-2\sqrt{a}+4)$ используется формула суммы кубов: $(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3 + b^3$.
Пусть $a=\sqrt{a}$ и $b=2$. Тогда $a^2=(\sqrt{a})^2=a$, $ab=2\sqrt{a}$ и $b^2=2^2=4$.
Подставим эти значения в формулу:
$(\sqrt{a}+2)((\sqrt{a})^2 - \sqrt{a}\cdot2 + 2^2) = (\sqrt{a}+2)(a-2\sqrt{a}+4)$.
Это в точности совпадает с исходным выражением. Следовательно, результат будет равен $(\sqrt{a})^3 + 2^3 = a\sqrt{a} + 8$.
Ответ: $a\sqrt{a} + 8$.

в) Для упрощения выражения $(\sqrt{m}-\sqrt{n})(m+n+\sqrt{mn})$ используется формула разности кубов: $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3 - b^3$.
Переставим слагаемые во второй скобке для соответствия формуле: $(\sqrt{m}-\sqrt{n})(m+\sqrt{mn}+n)$.
Пусть $a=\sqrt{m}$ и $b=\sqrt{n}$. Тогда $a^2=(\sqrt{m})^2=m$, $ab=\sqrt{m}\sqrt{n}=\sqrt{mn}$ и $b^2=(\sqrt{n})^2=n$.
Подставим эти значения в формулу:
$(\sqrt{m}-\sqrt{n})((\sqrt{m})^2+\sqrt{m}\sqrt{n}+(\sqrt{n})^2) = (\sqrt{m}-\sqrt{n})(m+\sqrt{mn}+n)$.
Это в точности совпадает с исходным выражением. Следовательно, результат будет равен $(\sqrt{m})^3 - (\sqrt{n})^3 = m\sqrt{m} - n\sqrt{n}$.
Ответ: $m\sqrt{m} - n\sqrt{n}$.

г) Для упрощения выражения $(x+\sqrt{y})(x^2+y-x\sqrt{y})$ используется формула суммы кубов: $(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3 + b^3$.
Переставим слагаемые во второй скобке для соответствия формуле: $(x+\sqrt{y})(x^2-x\sqrt{y}+y)$.
Пусть $a=x$ и $b=\sqrt{y}$. Тогда $a^2=x^2$, $ab=x\sqrt{y}$ и $b^2=(\sqrt{y})^2=y$.
Подставим эти значения в формулу:
$(x+\sqrt{y})(x^2-x\sqrt{y}+(\sqrt{y})^2) = (x+\sqrt{y})(x^2-x\sqrt{y}+y)$.
Это в точности совпадает с исходным выражением. Следовательно, результат будет равен $x^3 + (\sqrt{y})^3 = x^3 + y\sqrt{y}$.
Ответ: $x^3 + y\sqrt{y}$.

488. Представьте в виде квадрата суммы или квадрата разности выражение:

a) $$\begin{gathered} x-4\sqrt{x-1}+3=x-1-2·2·\sqrt{x-1}+4= \\ ={\left(\sqrt{x-1}\right)}^2-2·2\sqrt{x-1}+2^2={(\sqrt{x-1}-2)}^2 \end{gathered}$$

б) $$\begin{gathered} y+2\sqrt{y+2}+3=y+2+2·1·\sqrt{y+2}+1= \\ ={\left(\sqrt{y+2}\right)}^2+2·1·\sqrt{y+2}+1^2={(\sqrt{y+2}+1)}^2 \end{gathered}$$

а)

Чтобы представить выражение $x - 4\sqrt{x-1} + 3$ в виде квадрата разности, мы будем использовать формулу сокращенного умножения для квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Наша цель — найти такие $a$ и $b$, чтобы их квадраты и удвоенное произведение соответствовали членам исходного выражения.

Член с корнем $-4\sqrt{x-1}$ должен соответствовать члену $-2ab$. Отсюда $-2ab = -4\sqrt{x-1}$, или $ab = 2\sqrt{x-1}$.

Можно предположить, что в качестве $a$ и $b$ выступают $\sqrt{x-1}$ и $2$. Давайте проверим это предположение. Пусть $a = \sqrt{x-1}$ и $b=2$. Тогда:

• $a^2 = (\sqrt{x-1})^2 = x-1$
• $b^2 = 2^2 = 4$
• $2ab = 2 \cdot \sqrt{x-1} \cdot 2 = 4\sqrt{x-1}$

Теперь преобразуем исходное выражение, чтобы выделить эти компоненты. Для этого представим $x$ как $(x-1)+1$ и $3$ как $4-1$. Или, что проще, сгруппируем члены иначе:

$x - 4\sqrt{x-1} + 3 = (x - 1) - 4\sqrt{x-1} + 4$

Теперь мы видим, что полученное выражение можно записать как:

$(\sqrt{x-1})^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{x-1} + 2^2$

Это в точности соответствует формуле квадрата разности $(a-b)^2$ для $a=\sqrt{x-1}$ и $b=2$.

Следовательно, $x - 4\sqrt{x-1} + 3 = (\sqrt{x-1} - 2)^2$.

Ответ: $(\sqrt{x-1} - 2)^2$

б)

Чтобы представить выражение $y + 2\sqrt{y+2} + 3$ в виде квадрата суммы, мы будем использовать формулу сокращенного умножения для квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Наша цель — найти такие $a$ и $b$, чтобы их квадраты и удвоенное произведение соответствовали членам исходного выражения.

Член с корнем $2\sqrt{y+2}$ должен соответствовать члену $2ab$. Отсюда $2ab = 2\sqrt{y+2}$, или $ab = \sqrt{y+2}$.

Можно предположить, что в качестве $a$ и $b$ выступают $\sqrt{y+2}$ и $1$. Давайте проверим это предположение. Пусть $a = \sqrt{y+2}$ и $b=1$. Тогда:

• $a^2 = (\sqrt{y+2})^2 = y+2$
• $b^2 = 1^2 = 1$
• $2ab = 2 \cdot \sqrt{y+2} \cdot 1 = 2\sqrt{y+2}$

Теперь преобразуем исходное выражение, чтобы выделить эти компоненты. Для этого представим $y$ как $(y+2)-2$ и $3$ как $1+2$:

$y + 2\sqrt{y+2} + 3 = (y+2) + 2\sqrt{y+2} + 1$

Теперь мы видим, что полученное выражение можно записать как:

$(\sqrt{y+2})^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{y+2} + 1^2$

Это в точности соответствует формуле квадрата суммы $(a+b)^2$ для $a=\sqrt{y+2}$ и $b=1$.

Следовательно, $y + 2\sqrt{y+2} + 3 = (\sqrt{y+2} + 1)^2$.

Ответ: $(\sqrt{y+2} + 1)^2$

489. Докажите, что:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} \sqrt{6+4\sqrt{2}}=2+\sqrt{2} \\ \sqrt{6+4\sqrt{2}}=\sqrt{2^2+{\left(\sqrt{2}\right)}^2+2·2·\sqrt{2}}= \\ =\sqrt{{(2+\sqrt{2})}^2}=\left|2+\sqrt{2}\right|=2+\sqrt{2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} \sqrt{8\sqrt{3}+19}=\sqrt{3}+4 \\ \sqrt{8\sqrt{3}+19}=\sqrt{2·4·\sqrt{3}+4^2+{\left(\sqrt{3}\right)}^2}= \\ =\sqrt{{(4+\sqrt{3})}^2}=\left|4+\sqrt{3}\right|=4+\sqrt{3} \end{gathered}$$

а) Для доказательства равенства $\sqrt{6 + 4\sqrt{2}} = 2 + \sqrt{2}$ преобразуем выражение, стоящее под знаком корня в левой части. Наша цель — представить его в виде полного квадрата, используя формулу $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Мы ищем такие числа $a$ и $b$, что $a^2 + b^2 = 6$ и $2ab = 4\sqrt{2}$.

Из второго уравнения получаем $ab = 2\sqrt{2}$. Попробуем подобрать значения. Пусть $a=2$ и $b=\sqrt{2}$.

Проверим, выполняется ли первое условие для этих значений: $a^2 + b^2 = 2^2 + (\sqrt{2})^2 = 4 + 2 = 6$. Условие выполняется.

Следовательно, подкоренное выражение можно записать в виде квадрата суммы:

$6 + 4\sqrt{2} = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = (2 + \sqrt{2})^2$.

Теперь левая часть исходного равенства принимает вид:

$\sqrt{6 + 4\sqrt{2}} = \sqrt{(2 + \sqrt{2})^2}$.

По определению арифметического квадратного корня, $\sqrt{x^2} = |x|$. Так как $2 + \sqrt{2}$ — положительное число, то $|2 + \sqrt{2}| = 2 + \sqrt{2}$.

Таким образом, левая часть равна $2 + \sqrt{2}$, что совпадает с правой частью. Равенство доказано.

Ответ: равенство доказано.

б) Для доказательства равенства $\sqrt{8\sqrt{3} + 19} = \sqrt{3} + 4$ преобразуем подкоренное выражение в левой части. Запишем $8\sqrt{3} + 19$ в виде полного квадрата $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Мы ищем такие числа $a$ и $b$, что $2ab = 8\sqrt{3}$ и $a^2 + b^2 = 19$.

Из первого уравнения получаем $ab = 4\sqrt{3}$. Попробуем подобрать значения. Пусть $a=4$ и $b=\sqrt{3}$.

Проверим, выполняется ли второе условие: $a^2 + b^2 = 4^2 + (\sqrt{3})^2 = 16 + 3 = 19$. Условие выполняется.

Следовательно, подкоренное выражение можно записать в виде квадрата суммы (порядок слагаемых не важен):

$8\sqrt{3} + 19 = (\sqrt{3})^2 + 2 \cdot 4 \cdot \sqrt{3} + 4^2 = (\sqrt{3} + 4)^2$.

Теперь левая часть исходного равенства принимает вид:

$\sqrt{8\sqrt{3} + 19} = \sqrt{(\sqrt{3} + 4)^2}$.

По определению арифметического квадратного корня, $\sqrt{x^2} = |x|$. Так как $\sqrt{3} + 4$ — положительное число, то $|\sqrt{3} + 4| = \sqrt{3} + 4$.

Таким образом, левая часть равна $\sqrt{3} + 4$, что совпадает с правой частью. Равенство доказано.

Ответ: равенство доказано.

490. Найдите значение выражения:

a) $x^2-6$

при $x=1+\sqrt{5};$${(1+\sqrt{5})}^2-6=1+2\sqrt{5}+5-6=2\sqrt{5}$

б) $x^2-6x$

при $x=3-\sqrt{3};$

$$\begin{gathered} {\left(3-\sqrt{3}\right)}^2-6\left(3-\sqrt{3}\right)=9-6\sqrt{3}+3-18+6\sqrt{3}= \\ =12-18=-6 \end{gathered}$$

в) $x^2-4x+3$

при $x=2+\sqrt{3};$

$$\begin{gathered} {\left(2+\sqrt{3}\right)}^2-4·(2+\sqrt{3})+3= \\ =4+4\sqrt{3}+3-8-4\sqrt{3}+3=-1+3=2 \end{gathered}$$

г) $x^2-3x+5$

при $x=\frac{3+\sqrt{2}}{2};$

$$\begin{gathered} {\left(\frac{3+\sqrt{2}}{2}\right)}^2-3·\frac{3+\sqrt{2}}{2}+5=\frac{9+6\sqrt{2}+2}{4}- \\ -\frac{9+3\sqrt{2}}{2}+5=\frac{11+6\sqrt{2}-2(9+3\sqrt{2})}{4}+5= \\ =\frac{11+6\sqrt{2}-18-6\sqrt{2}+20}{4}=\frac{13}{4}=3\frac{1}{4}=3,25 \end{gathered}$$

а) Чтобы найти значение выражения $x^2 - 6$ при $x = 1 + \sqrt{5}$, подставим данное значение $x$ в выражение:

$x^2 - 6 = (1 + \sqrt{5})^2 - 6$

Воспользуемся формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(1 + \sqrt{5})^2 - 6 = (1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2) - 6 = (1 + 2\sqrt{5} + 5) - 6 = 6 + 2\sqrt{5} - 6 = 2\sqrt{5}$.

Ответ: $2\sqrt{5}$.

б) Чтобы найти значение выражения $x^2 - 6x$ при $x = 3 - \sqrt{3}$, подставим данное значение $x$ в выражение:

$x^2 - 6x = (3 - \sqrt{3})^2 - 6(3 - \sqrt{3})$

Воспользуемся формулой квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и раскроем скобки:

$(3^2 - 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2) - (6 \cdot 3 - 6 \cdot \sqrt{3}) = (9 - 6\sqrt{3} + 3) - (18 - 6\sqrt{3}) = 12 - 6\sqrt{3} - 18 + 6\sqrt{3} = (12 - 18) + (-6\sqrt{3} + 6\sqrt{3}) = -6$.

Ответ: $-6$.

в) Чтобы найти значение выражения $x^2 - 4x + 3$ при $x = 2 + \sqrt{3}$, подставим данное значение $x$ в выражение:

$x^2 - 4x + 3 = (2 + \sqrt{3})^2 - 4(2 + \sqrt{3}) + 3$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы и распределительный закон:

$(2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2) - (4 \cdot 2 + 4 \cdot \sqrt{3}) + 3 = (4 + 4\sqrt{3} + 3) - (8 + 4\sqrt{3}) + 3 = 7 + 4\sqrt{3} - 8 - 4\sqrt{3} + 3 = (7 - 8 + 3) + (4\sqrt{3} - 4\sqrt{3}) = 2$.

Ответ: $2$.

г) Чтобы найти значение выражения $x^2 - 3x + 5$ при $x = \frac{3+\sqrt{2}}{2}$, подставим данное значение $x$ в выражение:

$x^2 - 3x + 5 = \left(\frac{3+\sqrt{2}}{2}\right)^2 - 3\left(\frac{3+\sqrt{2}}{2}\right) + 5$

Возведем в квадрат дробь и раскроем скобки:

$\frac{(3+\sqrt{2})^2}{2^2} - \frac{3(3+\sqrt{2})}{2} + 5 = \frac{3^2 + 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2}{4} - \frac{9+3\sqrt{2}}{2} + 5 = \frac{9 + 6\sqrt{2} + 2}{4} - \frac{9+3\sqrt{2}}{2} + 5 = \frac{11 + 6\sqrt{2}}{4} - \frac{9+3\sqrt{2}}{2} + 5$

Приведем все слагаемые к общему знаменателю 4:

$\frac{11 + 6\sqrt{2}}{4} - \frac{2(9+3\sqrt{2})}{4} + \frac{5 \cdot 4}{4} = \frac{11 + 6\sqrt{2} - (18+6\sqrt{2}) + 20}{4} = \frac{11 + 6\sqrt{2} - 18 - 6\sqrt{2} + 20}{4} = \frac{11 - 18 + 20}{4} = \frac{13}{4}$.

Ответ: $\frac{13}{4}$.

491. Докажите, что значения выражений являются натуральными числами.

$$\begin{gathered} \sqrt{7+4\sqrt{3}}+\sqrt{7-4\sqrt{3}}=\sqrt{2^2+{\left(\sqrt{3}\right)}^2+2·2·\sqrt{3}}+ \\ +\sqrt{2^2+{\left(\sqrt{3}\right)}^2-2·2·\sqrt{3}}=\sqrt{{(2+\sqrt{3})}^2}+ \\ +\sqrt{{(2-\sqrt{3})}^2}=\left|2+\sqrt{3}\right|+\left|2-\sqrt{3}\right|= \\ =2+\sqrt{3}+2-\sqrt{3}=4 \\ \sqrt{7+4\sqrt{3}}·\sqrt{7-4\sqrt{3}}=\sqrt{(7+4\sqrt{3})(7-4\sqrt{3})}= \\ =\sqrt{7^2-{\left(4\sqrt{3}\right)}^2}=\sqrt{49-16·3}=\sqrt{49-48}=\sqrt{1}=1 \end{gathered}$$

Для доказательства того, что значения данных выражений являются натуральными числами, мы упростим каждое из них.

$ \sqrt{7 + 4\sqrt{3}} + \sqrt{7 - 4\sqrt{3}} $

Сначала упростим каждое слагаемое отдельно, представив подкоренные выражения в виде полных квадратов. Формула полного квадрата суммы: $ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $.

Рассмотрим подкоренное выражение $ 7 + 4\sqrt{3} $. Попробуем представить его в виде $ (a+b)^2 $. $ 7 + 4\sqrt{3} = 7 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} $. Можно предположить, что $ a^2+b^2 = 7 $ и $ 2ab = 4\sqrt{3} $. Если взять $ a=2 $ и $ b=\sqrt{3} $, то $ a^2+b^2 = 2^2 + (\sqrt{3})^2 = 4 + 3 = 7 $. Условия выполняются. Следовательно, $ 7 + 4\sqrt{3} = (2 + \sqrt{3})^2 $. Тогда $ \sqrt{7 + 4\sqrt{3}} = \sqrt{(2 + \sqrt{3})^2} = |2 + \sqrt{3}| = 2 + \sqrt{3} $.

Аналогично для второго слагаемого, используя формулу полного квадрата разности $ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $: $ 7 - 4\sqrt{3} = 4 - 4\sqrt{3} + 3 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = (2 - \sqrt{3})^2 $. Тогда $ \sqrt{7 - 4\sqrt{3}} = \sqrt{(2 - \sqrt{3})^2} = |2 - \sqrt{3}| $. Так как $ 2 = \sqrt{4} $ и $ \sqrt{4} > \sqrt{3} $, то $ 2 - \sqrt{3} > 0 $, поэтому $ |2 - \sqrt{3}| = 2 - \sqrt{3} $.

Теперь найдем сумму полученных выражений: $ \sqrt{7 + 4\sqrt{3}} + \sqrt{7 - 4\sqrt{3}} = (2 + \sqrt{3}) + (2 - \sqrt{3}) = 2 + 2 + \sqrt{3} - \sqrt{3} = 4 $. Число 4 является натуральным числом.

Ответ: 4.

$ \sqrt{7 + 4\sqrt{3}} \cdot \sqrt{7 - 4\sqrt{3}} $

Для вычисления значения этого выражения воспользуемся свойством произведения корней $ \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} $: $ \sqrt{7 + 4\sqrt{3}} \cdot \sqrt{7 - 4\sqrt{3}} = \sqrt{(7 + 4\sqrt{3})(7 - 4\sqrt{3})} $.

Выражение под корнем является произведением суммы и разности двух чисел. Применим формулу разности квадратов $ (x+y)(x-y) = x^2 - y^2 $: $ (7 + 4\sqrt{3})(7 - 4\sqrt{3}) = 7^2 - (4\sqrt{3})^2 = 49 - (16 \cdot 3) = 49 - 48 = 1 $.

Тогда исходное выражение равно: $ \sqrt{1} = 1 $. Число 1 является натуральным числом.

Ответ: 1.

492. Докажите, что значение выражения есть число рациональное:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{1}{3\sqrt{2}-5}-\frac{1}{3\sqrt{2}+5}=\frac{3\sqrt{2}+5-(3\sqrt{2}-5)}{(3\sqrt{2}-5)(3\sqrt{2}+5)}= \\ =\frac{3\sqrt{2}+5-3\sqrt{2}+5}{{\left(3\sqrt{2}\right)}^2-5^2}=\frac{10}{18-25}=\frac{10}{-7}=-1\frac{3}{7} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{1}{7+2\sqrt{6}}+\frac{1}{7-2\sqrt{6}}=\frac{7-2\sqrt{6}+7+2\sqrt{6}}{(7+2\sqrt{6})(7-2\sqrt{6})}= \\ =\frac{14}{7^2-{\left(2\sqrt{6}\right)}^2}=\frac{14}{49-24}=\frac{14}{25}=\frac{56}{100}=0,56 \end{gathered}$$

а)

Чтобы доказать, что значение выражения является рациональным числом, необходимо упростить его. Для этого приведем дроби к общему знаменателю.

$ \frac{1}{3\sqrt{2}-5} - \frac{1}{3\sqrt{2}+5} $

Общим знаменателем является произведение знаменателей $ (3\sqrt{2}-5)(3\sqrt{2}+5) $. Для его вычисления воспользуемся формулой разности квадратов $ (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 $.

$ (3\sqrt{2}-5)(3\sqrt{2}+5) = (3\sqrt{2})^2 - 5^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{2})^2 - 25 = 9 \cdot 2 - 25 = 18 - 25 = -7 $.

Теперь выполним вычитание дробей, приведя их к общему знаменателю:

$ \frac{1 \cdot (3\sqrt{2}+5)}{(3\sqrt{2}-5)(3\sqrt{2}+5)} - \frac{1 \cdot (3\sqrt{2}-5)}{(3\sqrt{2}+5)(3\sqrt{2}-5)} = \frac{(3\sqrt{2}+5) - (3\sqrt{2}-5)}{-7} $.

Упростим числитель:

$ \frac{3\sqrt{2}+5 - 3\sqrt{2}+5}{-7} = \frac{10}{-7} = -\frac{10}{7} $.

Полученное число $ -\frac{10}{7} $ является отношением двух целых чисел, а значит, является рациональным числом.

Ответ: значение выражения равно $ -\frac{10}{7} $, что является рациональным числом.

б)

Аналогично предыдущему пункту, упростим выражение, приведя дроби к общему знаменателю.

$ \frac{1}{7+2\sqrt{6}} + \frac{1}{7-2\sqrt{6}} $

Общий знаменатель равен $ (7+2\sqrt{6})(7-2\sqrt{6}) $. Вычислим его по формуле разности квадратов $ (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 $:

$ (7+2\sqrt{6})(7-2\sqrt{6}) = 7^2 - (2\sqrt{6})^2 = 49 - 2^2 \cdot (\sqrt{6})^2 = 49 - 4 \cdot 6 = 49 - 24 = 25 $.

Теперь выполним сложение дробей:

$ \frac{1 \cdot (7-2\sqrt{6})}{(7+2\sqrt{6})(7-2\sqrt{6})} + \frac{1 \cdot (7+2\sqrt{6})}{(7-2\sqrt{6})(7+2\sqrt{6})} = \frac{(7-2\sqrt{6}) + (7+2\sqrt{6})}{25} $.

Упростим числитель:

$ \frac{7-2\sqrt{6} + 7+2\sqrt{6}}{25} = \frac{14}{25} $.

Полученное число $ \frac{14}{25} $ является отношением двух целых чисел, следовательно, оно рациональное.

Ответ: значение выражения равно $ \frac{14}{25} $, что является рациональным числом.

493. Найдите значение выражения:

a) $\frac{1}{11-2\sqrt{30}}-\frac{1}{11+2\sqrt{30}}=$

$$\begin{gathered} =\frac{11+2\sqrt{30}-(11-2\sqrt{30})}{(11-2\sqrt{30})(11+2\sqrt{30})}= \\ =\frac{11+2\sqrt{30}-11+2\sqrt{30}}{{11}^2-{\left(2\sqrt{30}\right)}^2}=\frac{4\sqrt{30}}{121-4·30}= \\ =\frac{4\sqrt{30}}{121-120}=4\sqrt{30} \end{gathered}$$

б) $\frac{5}{3+2\sqrt{2}}+\frac{5}{3-2\sqrt{2}}=\frac{5(3-2\sqrt{2})+5(3+2\sqrt{2})}{(3+2\sqrt{2})(3-2\sqrt{2})}=$

$=\frac{15-10\sqrt{2}+15+10\sqrt{2}}{3^2-{\left(2\sqrt{2}\right)}^2}=\frac{30}{9-8}=30$

в) $\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}=$

$$\begin{gathered} =\frac{{(\sqrt{5}-\sqrt{3})}^2+{(\sqrt{5}+\sqrt{3})}^2}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})}= \\ =\frac{5-2\sqrt{5}\sqrt{3}+3+5+2\sqrt{5}·\sqrt{3}+3}{{\left(\sqrt{5}\right)}^2-{\left(\sqrt{3}\right)}^2}= \\ =\frac{16}{5-3}=\frac{16}{2}=8 \end{gathered}$$

г) $\frac{11+\sqrt{21}}{11-\sqrt{21}}+\frac{11-\sqrt{21}}{11+\sqrt{21}}=$

$$\begin{gathered} =\frac{{(11+\sqrt{21})}^2+{(11-\sqrt{21})}^2}{(11-\sqrt{21})(11+\sqrt{21})}= \\ =\frac{121+2·11·\sqrt{21}+21+121-2·11·\sqrt{21}+21}{{11}^2-{\left(\sqrt{21}\right)}^2}= \\ =\frac{284}{121-21}=\frac{284}{100}=2,84 \end{gathered}$$

а)

Чтобы найти значение выражения $\frac{1}{11 - 2\sqrt{30}} - \frac{1}{11 + 2\sqrt{30}}$, приведем дроби к общему знаменателю.

Общий знаменатель равен произведению знаменателей исходных дробей: $(11 - 2\sqrt{30})(11 + 2\sqrt{30})$.
Используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:
$(11 - 2\sqrt{30})(11 + 2\sqrt{30}) = 11^2 - (2\sqrt{30})^2 = 121 - 4 \cdot 30 = 121 - 120 = 1$.

Теперь приведем дроби к общему знаменателю и выполним вычитание:

$\frac{1}{11 - 2\sqrt{30}} - \frac{1}{11 + 2\sqrt{30}} = \frac{1 \cdot (11 + 2\sqrt{30})}{(11 - 2\sqrt{30})(11 + 2\sqrt{30})} - \frac{1 \cdot (11 - 2\sqrt{30})}{(11 - 2\sqrt{30})(11 + 2\sqrt{30})} = \frac{(11 + 2\sqrt{30}) - (11 - 2\sqrt{30})}{1}$

Раскроем скобки в числителе:

$11 + 2\sqrt{30} - 11 + 2\sqrt{30} = (11-11) + (2\sqrt{30} + 2\sqrt{30}) = 4\sqrt{30}$.

Ответ: $4\sqrt{30}$

б)

Чтобы найти значение выражения $\frac{5}{3 + 2\sqrt{2}} + \frac{5}{3 - 2\sqrt{2}}$, приведем дроби к общему знаменателю.

Общий знаменатель: $(3 + 2\sqrt{2})(3 - 2\sqrt{2})$.
По формуле разности квадратов: $3^2 - (2\sqrt{2})^2 = 9 - 4 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$.

Приведем дроби к общему знаменателю и выполним сложение:

$\frac{5(3 - 2\sqrt{2})}{(3 + 2\sqrt{2})(3 - 2\sqrt{2})} + \frac{5(3 + 2\sqrt{2})}{(3 - 2\sqrt{2})(3 + 2\sqrt{2})} = \frac{5(3 - 2\sqrt{2}) + 5(3 + 2\sqrt{2})}{1}$

Вынесем 5 за скобки в числителе:

$5((3 - 2\sqrt{2}) + (3 + 2\sqrt{2})) = 5(3 - 2\sqrt{2} + 3 + 2\sqrt{2}) = 5(6) = 30$.

Ответ: 30

в)

Чтобы найти значение выражения $\frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} + \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$, приведем дроби к общему знаменателю.

Общий знаменатель: $(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})$.
По формуле разности квадратов: $(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2 = 5 - 3 = 2$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{(\sqrt{5} - \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})}{(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})} + \frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{(\sqrt{5} - \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3})} = \frac{(\sqrt{5} - \sqrt{3})^2 + (\sqrt{5} + \sqrt{3})^2}{2}$.

Используем формулы квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
$(\sqrt{5} - \sqrt{3})^2 = (\sqrt{5})^2 - 2\sqrt{5}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 5 - 2\sqrt{15} + 3 = 8 - 2\sqrt{15}$.
$(\sqrt{5} + \sqrt{3})^2 = (\sqrt{5})^2 + 2\sqrt{5}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 5 + 2\sqrt{15} + 3 = 8 + 2\sqrt{15}$.

Подставим полученные значения в числитель:

$\frac{(8 - 2\sqrt{15}) + (8 + 2\sqrt{15})}{2} = \frac{16}{2} = 8$.

Ответ: 8

г)

Чтобы найти значение выражения $\frac{11 + \sqrt{21}}{11 - \sqrt{21}} + \frac{11 - \sqrt{21}}{11 + \sqrt{21}}$, приведем дроби к общему знаменателю.

Общий знаменатель: $(11 - \sqrt{21})(11 + \sqrt{21})$.
По формуле разности квадратов: $11^2 - (\sqrt{21})^2 = 121 - 21 = 100$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{(11 + \sqrt{21})(11 + \sqrt{21})}{(11 - \sqrt{21})(11 + \sqrt{21})} + \frac{(11 - \sqrt{21})(11 - \sqrt{21})}{(11 + \sqrt{21})(11 - \sqrt{21})} = \frac{(11 + \sqrt{21})^2 + (11 - \sqrt{21})^2}{100}$.

Воспользуемся тождеством $(a+b)^2 + (a-b)^2 = 2(a^2+b^2)$.
В нашем случае $a=11$ и $b=\sqrt{21}$.
$(11 + \sqrt{21})^2 + (11 - \sqrt{21})^2 = 2(11^2 + (\sqrt{21})^2) = 2(121 + 21) = 2(142) = 284$.

Подставим полученное значение в числитель:

$\frac{284}{100} = 2,84$.

Ответ: 2,84

494. Найдите значение дроби x² - 3xy + y²x + y + 2 при x = 3 + 5 и y =3 – 5

$$\begin{gathered} \frac{x^2-3xy+y^2}{x+y+2}= \\ =\frac{{(3+\sqrt{5})}^2-3(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})+{(3-\sqrt{5})}^2}{3+\sqrt{5}+3-\sqrt{5}+2}= \\ =\frac{9+2·3\sqrt{5}+5-3(9-5)+9-2·3\sqrt{5}+5}{8}= \\ =\frac{14-12+14}{8}=\frac{16}{8}=2 \end{gathered}$$

при $x=3+\sqrt{5}$ и $y=3-\sqrt{5}$

Для нахождения значения дроби $\frac{x^2 - 3xy + y^2}{x + y + 2}$ при $x = 3 + \sqrt{5}$ и $y = 3 - \sqrt{5}$ удобно сначала вычислить значения некоторых вспомогательных выражений, таких как сумма $x+y$ и произведение $xy$. Это позволит значительно упростить вычисления.

1. Вычислим сумму $x$ и $y$:

$x + y = (3 + \sqrt{5}) + (3 - \sqrt{5}) = 3 + 3 + \sqrt{5} - \sqrt{5} = 6$.

2. Вычислим произведение $x$ и $y$. Заметим, что $x$ и $y$ являются сопряженными числами, поэтому их произведение можно найти по формуле разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:

$xy = (3 + \sqrt{5})(3 - \sqrt{5}) = 3^2 - (\sqrt{5})^2 = 9 - 5 = 4$.

3. Теперь преобразуем числитель и знаменатель исходной дроби.

Знаменатель дроби равен $x + y + 2$. Подставим найденное значение $x+y=6$:

$x + y + 2 = 6 + 2 = 8$.

Числитель дроби равен $x^2 - 3xy + y^2$. Преобразуем его, выделив полный квадрат суммы. Для этого воспользуемся тождеством $x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy$.

Тогда числитель можно записать в виде:

$x^2 - 3xy + y^2 = (x^2 + y^2) - 3xy = ((x+y)^2 - 2xy) - 3xy = (x+y)^2 - 5xy$.

Подставим в это выражение ранее найденные значения $x+y=6$ и $xy=4$:

$(x+y)^2 - 5xy = 6^2 - 5 \cdot 4 = 36 - 20 = 16$.

4. Теперь, когда мы нашли значения числителя и знаменателя, можем вычислить значение дроби:

$\frac{x^2 - 3xy + y^2}{x + y + 2} = \frac{16}{8} = 2$.

Ответ: 2.