Страница 118 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

510. Является ли квадратным уравнение:

a) да

б) нет

в) да

г) да

д) да

е) да

Квадратным уравнением называется уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $x$ — переменная, $a, b$ и $c$ — некоторые числа (коэффициенты), причём старший коэффициент $a$ не равен нулю ($a \neq 0$). Наивысшая степень переменной в уравнении должна быть равна 2.

а) Уравнение $3,7x^2 - 5x + 1 = 0$ является квадратным. Оно полностью соответствует стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты равны: $a = 3,7$, $b = -5$, $c = 1$. Главное условие $a \neq 0$ выполняется.

Ответ: да

б) Уравнение $48x^2 - x^3 - 9 = 0$ не является квадратным. Наивысшая степень переменной $x$ в этом уравнении равна 3 (из-за члена $-x^3$). Уравнения третьей степени называются кубическими.

Ответ: нет

в) Уравнение $2,1x^2 + 2x - \frac{2}{3} = 0$ является квадратным. Оно имеет вид $ax^2 + bx + c = 0$ с коэффициентами $a = 2,1$, $b = 2$ и $c = -\frac{2}{3}$. Условие $a \neq 0$ выполнено.

Ответ: да

г) Уравнение $x + x^2 - 1 = 0$ является квадратным. Если поменять члены местами, чтобы записать его в стандартном виде, получим $x^2 + x - 1 = 0$. Здесь $a = 1$, $b = 1$, $c = -1$. Так как $a \neq 0$, это квадратное уравнение.

Ответ: да

д) Уравнение $7x^2 - 13 = 0$ является неполным квадратным уравнением. Оно также соответствует виду $ax^2 + bx + c = 0$, где $a = 7$, $b = 0$ и $c = -13$. Поскольку коэффициент $a$ не равен нулю, это квадратное уравнение.

Ответ: да

е) Уравнение $-x^2 = 0$ является неполным квадратным уравнением. Его можно записать в виде $-1 \cdot x^2 + 0 \cdot x + 0 = 0$. Здесь $a = -1$, $b = 0$, $c = 0$. Так как $a \neq 0$, это квадратное уравнение.

Ответ: да

511. Выпишите коэффициенты квадратного уравнения:

Какие из данных уравнений являются приведёнными квадратными уравнениями?

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} 5x^2-9x+4=0 \\ a=5; b=-9; c=4 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} x^2+3x-10=0 \\ a=1; b=3; c=-10 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в)}} -x^2-8x+1=0 \\ a=-1; b=-8; c=1 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г)}} x^2+5x=0 \\ a=1; b=5; c=0 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д)}} 6x^2-30=0 \\ a=6; b=0; c=-30 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{е)}} 9x^2=0 \\ a=9; b=0; c=0 \end{gathered}$$

Ответ: б), г)

Квадратное уравнение в общем виде записывается как $ax^2 + bx + c = 0$, где $a$ — старший коэффициент (коэффициент при $x^2$), $b$ — второй коэффициент (коэффициент при $x$), а $c$ — свободный член.

а) В уравнении $5x^2 - 9x + 4 = 0$ старший коэффициент $a = 5$, второй коэффициент $b = -9$, свободный член $c = 4$.
Ответ: $a = 5, b = -9, c = 4$.

б) В уравнении $x^2 + 3x - 10 = 0$ старший коэффициент $a = 1$ (поскольку $x^2$ — это то же самое, что и $1 \cdot x^2$), второй коэффициент $b = 3$, свободный член $c = -10$.
Ответ: $a = 1, b = 3, c = -10$.

в) В уравнении $-x^2 - 8x + 1 = 0$ старший коэффициент $a = -1$ (поскольку $-x^2$ — это то же самое, что и $-1 \cdot x^2$), второй коэффициент $b = -8$, свободный член $c = 1$.
Ответ: $a = -1, b = -8, c = 1$.

г) В уравнении $x^2 + 5x = 0$ старший коэффициент $a = 1$, второй коэффициент $b = 5$. Свободный член в уравнении отсутствует, поэтому его значение равно нулю: $c = 0$.
Ответ: $a = 1, b = 5, c = 0$.

д) В уравнении $6x^2 - 30 = 0$ старший коэффициент $a = 6$, свободный член $c = -30$. Член с $x$ в первой степени отсутствует, поэтому второй коэффициент равен нулю: $b = 0$.
Ответ: $a = 6, b = 0, c = -30$.

е) В уравнении $9x^2 = 0$ старший коэффициент $a = 9$. Второй член (с $x$) и свободный член отсутствуют, поэтому их значения равны нулю: $b = 0$ и $c = 0$.
Ответ: $a = 9, b = 0, c = 0$.

Приведённым квадратным уравнением называется такое уравнение, в котором старший коэффициент $a$ равен 1.

Проанализируем каждое уравнение:
а) $a = 5 \ne 1$
б) $a = 1$ — является приведённым.
в) $a = -1 \ne 1$
г) $a = 1$ — является приведённым.
д) $a = 6 \ne 1$
е) $a = 9 \ne 1$

Таким образом, приведёнными являются уравнения под буквами б) и г).

Ответ: приведёнными являются уравнения б) $x^2 + 3x - 10 = 0$ и г) $x^2 + 5x = 0$.

512. Приведите примеры неполных квадратных уравнений различных видов.

$$\begin{gathered} 5x^2=0 \\ -x^2+2x=0 \\ 6x^2-36=0 \end{gathered}$$

Полное квадратное уравнение имеет вид $ax^2 + bx + c = 0$, где $a$, $b$, $c$ - числовые коэффициенты, причем $a \neq 0$. Если хотя бы один из коэффициентов $b$ или $c$ равен нулю, то такое квадратное уравнение называется неполным. Существует три вида неполных квадратных уравнений.

Это неполное квадратное уравнение, в котором второй коэффициент $b$ равен нулю. В общем виде его записывают как $ax^2 + c = 0$.

Пример: $2x^2 - 18 = 0$.

В данном уравнении $a=2$, $b=0$ и $c=-18$. Для его решения переносят свободный член в правую часть и делят на коэффициент при $x^2$:

$2x^2 = 18$

$x^2 = \frac{18}{2}$

$x^2 = 9$

Корнями уравнения являются $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.

Ответ: Примером такого уравнения является $2x^2 - 18 = 0$.

Это неполное квадратное уравнение, в котором свободный член $c$ равен нулю. В общем виде его записывают как $ax^2 + bx = 0$.

Пример: $5x^2 + 10x = 0$.

В данном уравнении $a=5$, $b=10$ и $c=0$. Для его решения выносят общий множитель $x$ (или $ax$) за скобки:

$5x(x + 2) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

$5x = 0$ или $x + 2 = 0$.

Отсюда получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = -2$.

Ответ: Примером такого уравнения является $5x^2 + 10x = 0$.

Это неполное квадратное уравнение, в котором и второй коэффициент $b$, и свободный член $c$ равны нулю.

Пример: $-7x^2 = 0$.

В данном уравнении $a=-7$, $b=0$ и $c=0$. Разделив обе части на $a=-7$, получаем:

$x^2 = 0$

Такое уравнение всегда имеет один корень (или два совпадающих корня):

$x = 0$.

Ответ: Примером такого уравнения является $-7x^2 = 0$.

513. Найдите корни уравнения:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} 4x^2-9=0 \\ (2x-3)(2x+3)=0 \\ \begin{array}{lcl}2x-3=0& \text{или}& 2x+3=0\\ 2x=3& & 2x=-3\\ x=1,5& & x=-1,5\end{array} \\ \text{Ответ:} -1,5 \text{и} 1,5 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} -x^2+3=0 \\ {x}^2-3=0 \\ {x}^2=3 \\ {x}_1=\sqrt{3} \\ {x}_2=-\sqrt{3} \\ \text{Ответ:} -\sqrt{3} \text{и} \sqrt{3} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в)}} -0,1x^2+10=0 \\ 0,1x^2-10=0 \\ 0,1x^2=10 \\ {x}^2=\frac{10}{0,1} \\ {x}^2=100 \\ x=10 \text{или} x=-10 \\ \text{Ответ:} -10; 10 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г)}} y^2-\frac{1}{9}=0 \\ \left(y-\frac{1}{3}\right)\left(y+\frac{1}{3}\right)=0 \\ \begin{array}{lcl}y-\frac{1}{3}=0& \text{или}& y+\frac{1}{3}=0\\ y=\frac{1}{3}& & y=-\frac{1}{3}\end{array} \\ \text{Ответ:} -\frac{1}{3}; \frac{1}{3} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д)}} 6v^2+24=0 \\ 6v^2=-24 \\ {v}^2=-4 \\ \text{Ответ: нет корней} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{е)}} 3m^2-1=0 \\ 3m^2=1 \\ {m}^2=\frac{1}{3} \\ m=\frac{1}{\sqrt{3}} \text{или} m=-\frac{1}{\sqrt{3}} \\ \text{Ответ:} -\frac{1}{\sqrt{3}} \text{и }\frac{1}{\sqrt{3}} \text{или} -\frac{\sqrt{3}}{3}; \frac{\sqrt{3}}{3} \end{gathered}$$

а) $4x^2 - 9 = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Для его решения перенесем свободный член в правую часть уравнения:

$4x^2 = 9$

Разделим обе части уравнения на коэффициент при $x^2$, то есть на 4:

$x^2 = \frac{9}{4}$

Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Уравнение имеет два корня, так как $\frac{9}{4} > 0$:

$x_1 = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2} = 1,5$

$x_2 = -\sqrt{\frac{9}{4}} = -\frac{3}{2} = -1,5$

Ответ: $-1,5; 1,5$.

б) $-x^2 + 3 = 0$

Перенесем член с переменной в правую часть уравнения:

$3 = x^2$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$x = \pm\sqrt{3}$

Таким образом, корни уравнения:

$x_1 = \sqrt{3}$ и $x_2 = -\sqrt{3}$

Ответ: $-\sqrt{3}; \sqrt{3}$.

в) $-0,1x^2 + 10 = 0$

Перенесем свободный член в правую часть:

$-0,1x^2 = -10$

Разделим обе части на $-0,1$:

$x^2 = \frac{-10}{-0,1}$

$x^2 = 100$

Извлечем квадратный корень:

$x = \pm\sqrt{100}$

$x_1 = 10$ и $x_2 = -10$

Ответ: $-10; 10$.

г) $y^2 - \frac{1}{9} = 0$

Перенесем свободный член в правую часть:

$y^2 = \frac{1}{9}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$y = \pm\sqrt{\frac{1}{9}}$

$y_1 = \frac{1}{3}$ и $y_2 = -\frac{1}{3}$

Ответ: $-\frac{1}{3}; \frac{1}{3}$.

д) $6v^2 + 24 = 0$

Перенесем свободный член в правую часть:

$6v^2 = -24$

Разделим обе части на 6:

$v^2 = \frac{-24}{6}$

$v^2 = -4$

Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, данное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: корней нет.

е) $3m^2 - 1 = 0$

Перенесем свободный член в правую часть:

$3m^2 = 1$

Разделим обе части на 3:

$m^2 = \frac{1}{3}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$m = \pm\sqrt{\frac{1}{3}}$

Можно представить ответ в виде $m = \pm\frac{1}{\sqrt{3}}$ или избавиться от иррациональности в знаменателе:

$m = \pm\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{3}$

Корни уравнения:

$m_1 = \frac{\sqrt{3}}{3}$ и $m_2 = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{3}; \frac{\sqrt{3}}{3}$.

514. Решите уравнение и укажите приближённые значения корней с точностью до 0,1 (воспользуйтесь калькулятором):

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} 2x^2-17=0 \\ 2x^2=17 \\ {x}^2=8,5 \\ x=\sqrt{8,5} \text{или} x=-\sqrt{8,5} \\ x\approx 2,9 \text{или} x\approx -2,9 \\ \text{Ответ:} \approx -2,9; \approx 2,9 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} 3t^2-7,2=0 \\ 3t^2=7,2 \\ {t}^2=\frac{7,2}{3} \\ {t}^2=2,4 \\ \begin{array}{lcl}t=\sqrt{2,4}& \text{или}& t=-\sqrt{2,4}\\ t\approx 1,5& & t\approx -1,5\end{array} \\ \text{Ответ:} \approx -1,5; \approx 1,5 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в)}} -p^2+12,6=0 \\ -p^2=-12,6 \\ {p}^2=12,6 \\ \begin{array}{lcl}p=\sqrt{12,6}& \text{или}& p=-\sqrt{12,6}\\ p\approx 3,5& & p\approx -3,5\end{array} \\ \text{Ответ:} \approx -3,5; \approx 3,5 \end{gathered}$$

а) $2x^2 - 17 = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Для его решения перенесем свободный член в правую часть уравнения:

$2x^2 = 17$

Теперь разделим обе части уравнения на коэффициент при $x^2$, то есть на 2:

$x^2 = \frac{17}{2}$

$x^2 = 8,5$

Чтобы найти $x$, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Уравнение будет иметь два противоположных по знаку корня:

$x = \pm\sqrt{8,5}$

Воспользуемся калькулятором, чтобы найти приближенное значение корня, и округлим результат с точностью до 0,1:

$\sqrt{8,5} \approx 2,91547...$

Округляя до десятых, получаем $2,9$.

Таким образом, корни уравнения:

$x_1 \approx 2,9$ и $x_2 \approx -2,9$

Ответ: $x_1 \approx 2,9; x_2 \approx -2,9$.

б) $3t^2 - 7,2 = 0$

Это также неполное квадратное уравнение. Перенесем $-7,2$ в правую часть:

$3t^2 = 7,2$

Разделим обе части уравнения на 3:

$t^2 = \frac{7,2}{3}$

$t^2 = 2,4$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$t = \pm\sqrt{2,4}$

С помощью калькулятора найдем приближенное значение и округлим до десятых:

$\sqrt{2,4} \approx 1,54919...$

Округляя до десятых, получаем $1,5$.

Корни уравнения:

$t_1 \approx 1,5$ и $t_2 \approx -1,5$

Ответ: $t_1 \approx 1,5; t_2 \approx -1,5$.

в) $-p^2 + 12,6 = 0$

Перенесем член $-p^2$ в правую часть, чтобы он стал положительным:

$12,6 = p^2$

Запишем в более привычном виде:

$p^2 = 12,6$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$p = \pm\sqrt{12,6}$

С помощью калькулятора найдем приближенное значение и округлим до десятых:

$\sqrt{12,6} \approx 3,54964...$

Округляя до десятых, получаем $3,5$.

Корни уравнения:

$p_1 \approx 3,5$ и $p_2 \approx -3,5$

Ответ: $p_1 \approx 3,5; p_2 \approx -3,5$.

515. Решите уравнение:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} 3x^2-4x=0 \\ x(3x-4)=0 \\ \begin{array}{ccl}x=0& \text{или}& 3x-4=0\\ & & 3x=4\\ & & x=\frac{4}{3}=1\frac{1}{3}\end{array} \\ \text{Ответ:} 0; 1\frac{1}{3} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} -5x^2+6x=0 \\ x(-5x+6)=0 \\ \begin{array}{ccl}x=0& \text{или}& -5x+6=0\\ & & -5x=-6\\ & & x=\frac{6}{5}=1,2\end{array} \\ \text{Ответ:} 0; 1,2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в)}} 10x^2+7x=0 \\ x(10x+7)=0 \\ \begin{array}{ccl}x=0& \text{или}& 10x+7=0\\ & & 10x=-7\\ & & x=-0,7\end{array} \\ \text{Ответ:} -0,7; 0 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г)}} 4a^2-3a=0 \\ a(4a-3)=0 \\ \begin{array}{ccl}a=0& \text{или}& 4a-3=0\\ & & 4a=3\\ & & a=\frac{3}{4}\end{array} \\ \text{Ответ:} 0; \frac{3}{4} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д)}} 6z^2-z=0 \\ z(6z-1)=0 \\ \begin{array}{ccl}z=0& \text{или}& 6z-1=0\\ & & 6z=1\\ & & z=\frac{1}{6}\end{array} \\ \text{Ответ:} 0; \frac{1}{6} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{е)}} 2y+y^2=0 \\ y(2+y)=0 \\ \begin{array}{ccl}y=0& \text{или}& 2+y=0\\ & & y=-2\end{array} \\ \text{Ответ:} -2; 0 \end{gathered}$$

а) $3x^2 - 4x = 0$

Данное уравнение является неполным квадратным уравнением вида $ax^2+bx=0$. Для его решения вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(3x - 4) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, мы имеем два случая:

1) $x = 0$

2) $3x - 4 = 0$

Решим второе уравнение:

$3x = 4$

$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$

Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = 1\frac{1}{3}$.

б) $-5x^2 + 6x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(-5x + 6) = 0$

Приравняем каждый из множителей к нулю:

1) $x = 0$

2) $-5x + 6 = 0$

Решим второе уравнение:

$-5x = -6$

$5x = 6$

$x = \frac{6}{5} = 1.2$

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = 1.2$.

в) $10x^2 + 7x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(10x + 7) = 0$

Приравняем каждый из множителей к нулю:

1) $x = 0$

2) $10x + 7 = 0$

Решим второе уравнение:

$10x = -7$

$x = -\frac{7}{10} = -0.7$

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = -0.7$.

г) $4a^2 - 3a = 0$

В данном уравнении переменная — $a$. Вынесем общий множитель $a$ за скобки:

$a(4a - 3) = 0$

Приравняем каждый из множителей к нулю:

1) $a = 0$

2) $4a - 3 = 0$

Решим второе уравнение:

$4a = 3$

$a = \frac{3}{4} = 0.75$

Ответ: $a_1 = 0, a_2 = 0.75$.

д) $6z^2 - z = 0$

В данном уравнении переменная — $z$. Вынесем общий множитель $z$ за скобки:

$z(6z - 1) = 0$

Приравняем каждый из множителей к нулю:

1) $z = 0$

2) $6z - 1 = 0$

Решим второе уравнение:

$6z = 1$

$z = \frac{1}{6}$

Ответ: $z_1 = 0, z_2 = \frac{1}{6}$.

е) $2y + y^2 = 0$

В данном уравнении переменная — $y$. Для удобства перепишем уравнение в стандартном виде $y^2 + 2y = 0$. Вынесем общий множитель $y$ за скобки:

$y(y + 2) = 0$

Приравняем каждый из множителей к нулю:

1) $y = 0$

2) $y + 2 = 0$

Решим второе уравнение:

$y = -2$

Ответ: $y_1 = 0, y_2 = -2$.