Страница 119 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

516. Решите уравнение:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} 2x^2+3x=0 \\ x(2x+3)=0 \\ \begin{array}{ccl}x=0& \text{или}& 2x+3=0\\ & & 2x=-3\\ & & x=-1,5\end{array} \\ \text{Ответ:} -1,5; 0 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} 3x^2-2=0 \\ 3x^2=2 \\ {x}^2=\frac{2}{3} \\ \begin{array}{lcl}x=\sqrt{\frac{2}{3}}& \text{или}& x=-\sqrt{\frac{2}{3}}\\ x=\frac{\sqrt{6}}{3}& & x=-\frac{\sqrt{6}}{3}\end{array} \\ \text{Ответ:} -\frac{\sqrt{6}}{3}; \frac{\sqrt{6}}{3} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в)}} 5u^2-4u=0 \\ u(5u-4)=0 \\ \begin{array}{ccl}u=0& \text{или}& 5u-4=0\\ & & 5u=4\\ & & u=0,8\end{array} \\ \text{Ответ:} 0; 0,8 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г)}} 7a-14a^2=0 \\ 7a(1-2a)=0 \\ \begin{array}{ccl}a=0& \text{или}& 1-2a=0\\ & & 2a=1\\ & & a=0,5\end{array} \\ \text{Ответ:} 0; 0,5 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д)}} 1-4y^2=0 \\ (1-2y)(1+2y)=0 \\ \begin{array}{lcl}1-2y=0& \text{или}& 1+2y=0\\ 2y=1& & 2y=-1\\ y=0,5& & y=-0,5\end{array} \\ \text{Ответ:} -0,5; 0,5 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{е)}} 2x^2-6=0 \\ 2x^2=6 \\ {x}^2=3 \\ x=\sqrt{3} \text{или} x=-\sqrt{3} \\ \text{Ответ:} -\sqrt{3}; \sqrt{3} \end{gathered}$$

а) $2x^2 + 3x = 0$

Это неполное квадратное уравнение, в котором отсутствует свободный член ($c=0$). Для его решения вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(2x + 3) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем каждый множитель к нулю и находим корни:

1) $x = 0$

2) $2x + 3 = 0 \implies 2x = -3 \implies x = -\frac{3}{2} = -1.5$

Ответ: $x_1 = 0; x_2 = -1.5$.

б) $3x^2 - 2 = 0$

Это неполное квадратное уравнение, в котором отсутствует член с первой степенью переменной ($b=0$). Для его решения перенесем свободный член в правую часть уравнения:

$3x^2 = 2$

Разделим обе части уравнения на коэффициент при $x^2$:

$x^2 = \frac{2}{3}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$x = \pm\sqrt{\frac{2}{3}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель дроби под корнем на 3, или домножим дробь на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$:

$x = \pm\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \pm\frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \pm\frac{\sqrt{6}}{3}$

Ответ: $x_1 = -\frac{\sqrt{6}}{3}, x_2 = \frac{\sqrt{6}}{3}$.

в) $5u^2 - 4u = 0$

Это неполное квадратное уравнение ($c=0$). Вынесем общий множитель $u$ за скобки:

$u(5u - 4) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

1) $u = 0$

2) $5u - 4 = 0 \implies 5u = 4 \implies u = \frac{4}{5} = 0.8$

Ответ: $u_1 = 0; u_2 = 0.8$.

г) $7a - 14a^2 = 0$

Это неполное квадратное уравнение ($c=0$). Вынесем общий множитель $7a$ за скобки:

$7a(1 - 2a) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

1) $7a = 0 \implies a = 0$

2) $1 - 2a = 0 \implies 2a = 1 \implies a = \frac{1}{2} = 0.5$

Ответ: $a_1 = 0; a_2 = 0.5$.

д) $1 - 4y^2 = 0$

Это неполное квадратное уравнение ($b=0$). Можно решить его, применив формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$1^2 - (2y)^2 = 0$

$(1 - 2y)(1 + 2y) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

1) $1 - 2y = 0 \implies 2y = 1 \implies y = \frac{1}{2} = 0.5$

2) $1 + 2y = 0 \implies 2y = -1 \implies y = -\frac{1}{2} = -0.5$

Ответ: $y_1 = -0.5; y_2 = 0.5$.

е) $2x^2 - 6 = 0$

Это неполное квадратное уравнение ($b=0$). Перенесем свободный член в правую часть и разделим на 2:

$2x^2 = 6$

$x^2 = \frac{6}{2}$

$x^2 = 3$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$x = \pm\sqrt{3}$

Ответ: $x_1 = -\sqrt{3}, x_2 = \sqrt{3}$.

517. Верно ли утверждение:

а) неполное квадратное уравнение x² – 19 = 0 не имеет корней;

б) неполное квадратное уравнение x² + 19 = 0 не имеет корней;

в) неполное квадратное уравнение x² + 19x = 0 не имеет корней?

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} x^2-19=0 \\ {x}^2=19 \\ \begin{array}{ccc}x=\sqrt{19}& \text{или}& x=-\sqrt{19}\end{array} \end{gathered}$$

Ответ: неверно

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} x^2+19=0 \\ {x}^2=-19 \end{gathered}$$

Ответ: верно

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в)}} x^2+19x=0 \\ x(x+19)=0 \\ \begin{array}{ccl}x=0& \text{или}& x+19=0\\ & & x=-19\end{array} \end{gathered}$$

Ответ: неверно

а) неполное квадратное уравнение $x^2 - 19 = 0$ не имеет корней;

Чтобы проверить данное утверждение, решим это неполное квадратное уравнение. Перенесем свободный член в правую часть уравнения:

$x^2 = 19$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения, чтобы найти значения $x$:

$x = \pm\sqrt{19}$

Уравнение имеет два действительных корня: $x_1 = \sqrt{19}$ и $x_2 = -\sqrt{19}$. Поскольку у уравнения есть корни, исходное утверждение является неверным.

Ответ: неверно.

б) неполное квадратное уравнение $x^2 + 19 = 0$ не имеет корней;

Рассмотрим уравнение $x^2 + 19 = 0$. Перенесем свободный член в правую часть:

$x^2 = -19$

Квадрат любого действительного числа $x$ является неотрицательной величиной, то есть $x^2 \ge 0$. В правой части уравнения находится отрицательное число ($-19$). Равенство $x^2 = -19$ не может быть выполнено ни при каком действительном значении $x$. Следовательно, данное уравнение не имеет действительных корней.

Утверждение является верным.

Ответ: верно.

в) неполное квадратное уравнение $x^2 + 19x = 0$ не имеет корней?

Решим уравнение $x^2 + 19x = 0$. Это неполное квадратное уравнение, для решения которого можно вынести общий множитель $x$ за скобки:

$x(x + 19) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда мы получаем два возможных случая:

$x = 0$

или

$x + 19 = 0$, что дает $x = -19$.

Уравнение имеет два действительных корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = -19$. Таким образом, утверждение о том, что у уравнения нет корней, является неверным.

Ответ: неверно.

518. Найдите значения переменной a, при которых:

а) значение выражения 5a² + 5a – 6 равно 24;

б) значение выражения a(a – 4) равно 60.

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} 5a^2+5a-6=24 \\ 5a^2+5a=30 \\ 5(a^2+a)=30 \\ {a}^2+a=6 \\ {a}^2+a-6=0 \\ {a}^2+3a-2a-6=0 \\ (a^2+3a)-(2a+6)=0 \\ a(a+3)-2(a+3)=0 \\ (a+3)(a-2)=0 \\ \begin{array}{lcl}a+3=0& \text{или}& a-2=0\\ a=-3& & a=2\end{array} \\ \text{Ответ:} -3; 2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} a(a-4)=60 \\ {a}^2-4a-60=0 \\ {a}^2-10a+6a-60=0 \\ (a^2-10a)+(6a-60)=0 \\ a(a-10)+6(a-10)=0 \\ (a-10)(a+6)=0 \\ \begin{array}{lcl}a-10=0& \text{или}& a+6=0\\ a=10& & a=-6\end{array} \\ \text{Ответ:} -6; 10 \end{gathered}$$

а) Чтобы найти значения переменной $a$, при которых значение выражения $5a^2 + 5a - 6$ равно 24, необходимо составить и решить уравнение:

$5a^2 + 5a - 6 = 24$

Перенесем все члены в левую часть уравнения, чтобы получить квадратное уравнение стандартного вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$5a^2 + 5a - 6 - 24 = 0$

$5a^2 + 5a - 30 = 0$

Для упрощения разделим обе части уравнения на 5:

$a^2 + a - 6 = 0$

Теперь решим полученное приведенное квадратное уравнение. Найдем корни через дискриминант. Дискриминант $D$ вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Корни находятся по формуле $a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$a_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$a_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Таким образом, выражение равно 24 при $a=2$ и $a=-3$.

Ответ: -3; 2.

б) Чтобы найти значения переменной $a$, при которых значение выражения $a(a - 4)$ равно 60, составим и решим уравнение:

$a(a - 4) = 60$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$a^2 - 4a = 60$

$a^2 - 4a - 60 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-60) = 16 + 240 = 256$

Найдем корни уравнения по формуле $a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$a_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 16}{2} = \frac{20}{2} = 10$

$a_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 16}{2} = \frac{-12}{2} = -6$

Следовательно, выражение равно 60 при $a=10$ и $a=-6$.

Ответ: -6; 10.

519. Решите уравнение:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} 4x^2-3x+7=2x^2+x+7 \\ 4x^2-3x+7-2x^2-x-7=0 \\ 2x^2-4x=0 \\ 2x(x-2)=0 \\ \begin{array}{ccl}x=0& \text{или}& x-2=0\\ & & x=2\end{array} \\ \text{Ответ:} 0; 2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} -5y^2+8y+8=8y+3 \\ -5y^2+8y+8-8y-3=0 \\ -5y^2+5=0 \\ -5(y^2-1)=0 \\ {y}^2-1=0 \\ (y-1)(y+1)=0 \\ \begin{array}{lcl}y-1=0& \text{или}& y+1=0\\ y=1& & y=-1\end{array} \\ \text{Ответ:} -1; 1 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в)}} 10-3x^2=x^2+10-x \\ 10-3x^2-x^2-10+x=0 \\ -4x^2+x=0 \\ -x(4x-1)=0 \\ \begin{array}{lcl}-x=0& \text{или}& 4x-1=0\\ x=0& & 4x=1\\ & & x=\frac{1}{4}\end{array} \\ \text{Ответ:} 0; \frac{1}{4} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} 1-2y+3y^2=y^2-2y+1 \\ 1-2y+3y^2-y^2+2y-1=0 \\ 2y^2=0 \\ {y}^2=0 \\ y=0 \\ \text{Ответ:} 0 \end{gathered}$$

а) $4x^2 - 3x + 7 = 2x^2 + x + 7$
Для решения уравнения перенесем все его члены в левую часть, чтобы привести его к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$.
$4x^2 - 3x + 7 - 2x^2 - x - 7 = 0$
Теперь приведем подобные слагаемые:
$(4x^2 - 2x^2) + (-3x - x) + (7 - 7) = 0$
$2x^2 - 4x = 0$
Это неполное квадратное уравнение. Мы можем решить его, вынеся общий множитель $2x$ за скобки:
$2x(x - 2) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, у нас есть два случая:
$2x = 0$ или $x - 2 = 0$
Из первого уравнения получаем: $x_1 = 0$.
Из второго уравнения получаем: $x_2 = 2$.
Ответ: 0; 2.

б) $-5y^2 + 8y + 8 = 8y + 3$
Перенесем все члены уравнения в левую часть:
$-5y^2 + 8y + 8 - 8y - 3 = 0$
Приведем подобные слагаемые. Члены $8y$ и $-8y$ взаимно уничтожаются.
$-5y^2 + (8 - 3) = 0$
$-5y^2 + 5 = 0$
Это неполное квадратное уравнение. Перенесем свободный член в правую часть:
$-5y^2 = -5$
Разделим обе части уравнения на -5:
$y^2 = 1$
Чтобы найти $y$, извлечем квадратный корень из обеих частей. Не забываем про два корня: положительный и отрицательный.
$y = \pm\sqrt{1}$
$y_1 = 1$, $y_2 = -1$
Ответ: -1; 1.

в) $10 - 3x^2 = x^2 + 10 - x$
Перенесем все члены уравнения в одну сторону. Удобнее перенести все в правую часть, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным.
$0 = x^2 + 3x^2 - x + 10 - 10$
Приведем подобные слагаемые:
$0 = 4x^2 - x$
Или, что то же самое:
$4x^2 - x = 0$
Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(4x - 1) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
$x = 0$ или $4x - 1 = 0$
Из первого уравнения получаем корень: $x_1 = 0$.
Из второго уравнения: $4x = 1$, откуда $x_2 = \frac{1}{4}$.
Ответ: 0; 1/4.

г) $1 - 2y + 3y^2 = y^2 - 2y + 1$
Перенесем все члены уравнения в левую часть:
$1 - 2y + 3y^2 - y^2 + 2y - 1 = 0$
Приведем подобные слагаемые:
$(3y^2 - y^2) + (-2y + 2y) + (1 - 1) = 0$
$2y^2 + 0 + 0 = 0$
$2y^2 = 0$
Разделим обе части на 2:
$y^2 = 0$
Извлекая квадратный корень, получаем единственный корень:
$y = 0$
Ответ: 0.

520. Найдите корни уравнения:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} (x+3)(x-4)=-12 \\ {x}^2-4x+3x-12+12=0 \\ {x}^2-x=0 \\ x(x-1)=0 \\ \begin{array}{ccl}x=0& \text{или}& x-1=0\\ & & x=1\end{array} \\ \text{Ответ:} 0; 1 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} 1\frac{2}{3}t+(2t+1)\left(\frac{1}{3}t-1\right)=0 \\ 1\frac{2}{3}t+\frac{2}{3}{t}^2-2t+\frac{1}{3}t-1=0 \\ \frac{2}{3}{t}^2-1=0 /·3 \\ 2t^2-3=0 \\ 2t^2=3 \\ {t}^2=1,5 \\ \begin{array}{ccc}t=\sqrt{1,5}& \text{или}& t=-\sqrt{1,5}\end{array} \\ \text{Ответ:} -\sqrt{1,5}; \sqrt{1,5} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в)}} 3x(2x+3)=2x(x+4,5)+2 \\ 6x^2+9x=2x^2+9x+2 \\ 6x^2+9x-2x^2-9x-2=0 \\ 4x^2-2=0 \\ 2(2x^2-1)=0 \\ 2x^2-1=0 \\ 2x^2=1 \\ {x}^2=\frac{1}{2} \\ \begin{array}{lcl}x=\sqrt{\frac{1}{2}}& \text{или}& x=-\sqrt{\frac{1}{2}}\\ x=\frac{\sqrt{2}}{2}& & x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array} \\ \text{Ответ:} -\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г)}} (x-1)(x+1)=2(x^2-3) \\ {x}^2-1=2x^2-6 \\ {x}^2-1-2x^2+6=0 \\ -x^2+5=0 \\ {x}^2-5=0 \\ {x}^2=5 \\ \begin{array}{ccc}x=-\sqrt{5}& \text{или}& x=\sqrt{5}\end{array} \\ \text{Ответ:} -\sqrt{5}; \sqrt{5} \end{gathered}$$

а) $(x+3)(x-4) = -12$

Раскроем скобки в левой части уравнения, используя правило умножения многочленов:

$x \cdot x + x \cdot (-4) + 3 \cdot x + 3 \cdot (-4) = -12$

$x^2 - 4x + 3x - 12 = -12$

Приведем подобные слагаемые:

$x^2 - x - 12 = -12$

Перенесем свободный член из правой части в левую с противоположным знаком:

$x^2 - x - 12 + 12 = 0$

$x^2 - x = 0$

Получилось неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x-1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$x_1 = 0$ или $x - 1 = 0$

Из второго уравнения находим второй корень:

$x_2 = 1$

Ответ: $0; 1$

б) $1\frac{2}{3}t + (2t+1)(\frac{1}{3}t - 1) = 0$

Сначала преобразуем смешанное число $1\frac{2}{3}$ в неправильную дробь: $1\frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{5}{3}$.

Теперь раскроем скобки в произведении $(2t+1)(\frac{1}{3}t - 1)$:

$\frac{5}{3}t + (2t \cdot \frac{1}{3}t + 2t \cdot (-1) + 1 \cdot \frac{1}{3}t + 1 \cdot (-1)) = 0$

$\frac{5}{3}t + \frac{2}{3}t^2 - 2t + \frac{1}{3}t - 1 = 0$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$\frac{2}{3}t^2 + (\frac{5}{3}t - 2t + \frac{1}{3}t) - 1 = 0$

$\frac{2}{3}t^2 + (\frac{5}{3}t - \frac{6}{3}t + \frac{1}{3}t) - 1 = 0$

$\frac{2}{3}t^2 + \frac{5-6+1}{3}t - 1 = 0$

$\frac{2}{3}t^2 + 0 \cdot t - 1 = 0$

$\frac{2}{3}t^2 - 1 = 0$

Решим полученное неполное квадратное уравнение:

$\frac{2}{3}t^2 = 1$

$t^2 = 1 \cdot \frac{3}{2}$

$t^2 = \frac{3}{2}$

$t = \pm\sqrt{\frac{3}{2}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$t = \pm\frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \pm\frac{\sqrt{6}}{2}$

Ответ: $-\frac{\sqrt{6}}{2}; \frac{\sqrt{6}}{2}$

в) $3x(2x+3) = 2x(x+4,5) + 2$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$3x \cdot 2x + 3x \cdot 3 = 2x \cdot x + 2x \cdot 4,5 + 2$

$6x^2 + 9x = 2x^2 + 9x + 2$

Перенесем все слагаемые из правой части в левую, меняя их знаки на противоположные:

$6x^2 + 9x - 2x^2 - 9x - 2 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(6x^2 - 2x^2) + (9x - 9x) - 2 = 0$

$4x^2 - 2 = 0$

Решим полученное неполное квадратное уравнение:

$4x^2 = 2$

$x^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$x = \pm\sqrt{\frac{1}{2}} = \pm\frac{1}{\sqrt{2}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$x = \pm\frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}$

г) $(x-1)(x+1) = 2(x^2 - 3)$

В левой части уравнения применим формулу разности квадратов: $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$. В правой части раскроем скобки.

$x^2 - 1^2 = 2 \cdot x^2 - 2 \cdot 3$

$x^2 - 1 = 2x^2 - 6$

Перенесем все слагаемые в правую часть уравнения:

$0 = 2x^2 - x^2 - 6 + 1$

$x^2 - 5 = 0$

Решим полученное неполное квадратное уравнение:

$x^2 = 5$

$x = \pm\sqrt{5}$

Ответ: $-\sqrt{5}; \sqrt{5}$

521. Решите уравнение:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} x^2-5=(x+5)(2x-1) \\ {x}^2-5=2x^2-x+10x-5 \\ {x}^2-2x^2-9x=-5+5 \\ -x^2-9x=0 \\ -x(x+9)=0 \\ \begin{array}{lcl}-x=0& \text{или}& x+9=0\\ x=0& & x=-9\end{array} \\ \text{Ответ:} -9; 0 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} 2x-{(x+1)}^2=3x^2-6 \\ 2x-(x^2+2x+1)=3x^2-6 \\ 2x-x^2-2x-1-3x^2=-6 \\ -4x^2=-6+1 \\ -4x^2=-5 \\ {x}^2=\frac{5}{4} \\ x=-\frac{\sqrt{5}}{2} \text{или} x=\frac{\sqrt{5}}{2} \\ \text{Ответ:} -\frac{\sqrt{5}}{2}; \frac{\sqrt{5}}{2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в)}} 6a^2-{(a+2)}^2=-4(a-4) \\ 6a^2-(a^2+4a+4)=-4a+16 \\ 6a^2-a^2-4a-4+4a=16 \\ 5a^2=16+4 \\ 5a^2=20 \\ {a}^2=4 \\ a=2 \text{или} a=-2 \\ \text{Ответ:} -2; 2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г)}} (5y+2)(y-3)=-13(2+y) \\ 5y^2-15y+2y-6=-26-13y \\ 5y^2-13y+13y=-26+6 \\ 5y^2=-20 \\ {y}^2=-4 \\ \text{Ответ: корней нет} \end{gathered}$$

а) $x^2 - 5 = (x + 5)(2x - 1)$

Сначала раскроем скобки в правой части уравнения, перемножив многочлены:

$(x + 5)(2x - 1) = x \cdot 2x + x \cdot (-1) + 5 \cdot 2x + 5 \cdot (-1) = 2x^2 - x + 10x - 5 = 2x^2 + 9x - 5$

Теперь подставим полученное выражение в исходное уравнение:

$x^2 - 5 = 2x^2 + 9x - 5$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 - 5 - 2x^2 - 9x + 5 = 0$

Приведем подобные члены:

$-x^2 - 9x = 0$

Умножим обе части на $-1$ для удобства:

$x^2 + 9x = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x + 9) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

$x = 0$ или $x + 9 = 0$

Решая второе уравнение, получаем $x = -9$.

Таким образом, у уравнения два корня.

Ответ: $-9; 0$.

б) $2x - (x + 1)^2 = 3x^2 - 6$

Раскроем скобки в левой части, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(x + 1)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2 = x^2 + 2x + 1$

Подставим это в уравнение:

$2x - (x^2 + 2x + 1) = 3x^2 - 6$

Раскроем скобки, учитывая знак минус перед ними:

$2x - x^2 - 2x - 1 = 3x^2 - 6$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$-x^2 - 1 = 3x^2 - 6$

Перенесем все слагаемые в правую часть:

$0 = 3x^2 + x^2 - 6 + 1$

$4x^2 - 5 = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Выразим $x^2$:

$4x^2 = 5$

$x^2 = \frac{5}{4}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$x = \pm\sqrt{\frac{5}{4}} = \pm\frac{\sqrt{5}}{2}$

Ответ: $-\frac{\sqrt{5}}{2}; \frac{\sqrt{5}}{2}$.

в) $6a^2 - (a + 2)^2 = -4(a - 4)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения. В левой части используем формулу квадрата суммы, в правой — распределительный закон:

$6a^2 - (a^2 + 4a + 4) = -4a + 16$

Раскроем скобки в левой части:

$6a^2 - a^2 - 4a - 4 = -4a + 16$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$5a^2 - 4a - 4 = -4a + 16$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$5a^2 - 4a - 4 + 4a - 16 = 0$

Приведем подобные члены:

$5a^2 - 20 = 0$

Решим неполное квадратное уравнение:

$5a^2 = 20$

$a^2 = \frac{20}{5}$

$a^2 = 4$

$a = \pm\sqrt{4}$

$a = \pm 2$

Ответ: $-2; 2$.

г) $(5y + 2)(y - 3) = -13(2 + y)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$5y \cdot y + 5y \cdot (-3) + 2 \cdot y + 2 \cdot (-3) = -13 \cdot 2 - 13 \cdot y$

$5y^2 - 15y + 2y - 6 = -26 - 13y$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$5y^2 - 13y - 6 = -26 - 13y$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$5y^2 - 13y - 6 + 26 + 13y = 0$

Приведем подобные члены:

$5y^2 + 20 = 0$

Решим полученное неполное квадратное уравнение:

$5y^2 = -20$

$y^2 = -\frac{20}{5}$

$y^2 = -4$

Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, данное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет корней.

522. Произведение двух последовательных целых чисел в 1,5 раза больше квадрата меньшего из них. Найдите эти числа.

Пусть x и x+1 - два последовательных целых чисел. Зная, что их произведение в 1,5 раза больше x², составим и решим уравнение

$$\begin{gathered} x(x+1)=1,5x^2 \\ {x}^2+x-1,5x^2=0 \\ x-0,5x^2=0 \\ x(1-0,5x)=0 \\ \begin{array}{ccl}x=0& \text{или}& 1-0,5x=0\\ & & 0,5x=1\\ & & x=1\end{array} \end{gathered}$$

x=0 не удовлетворяет условию задачи, так 0*1 должно быть в 1,5 раза больше, чем 0², и это неверно

Значит, x=2; 2+1=3

Ответ: 2 и 3

Пусть меньшее из двух последовательных целых чисел равно $n$. Тогда следующее за ним целое число будет $n+1$.

Согласно условию задачи, произведение этих чисел, которое равно $n(n+1)$, в 1,5 раза больше квадрата меньшего из них, то есть $n^2$. Это можно выразить с помощью уравнения:

$n(n+1) = 1,5 \cdot n^2$

Теперь решим это уравнение. Сначала раскроем скобки в левой части:

$n^2 + n = 1,5n^2$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$1,5n^2 - n^2 - n = 0$

$0,5n^2 - n = 0$

Для решения вынесем общий множитель $n$ за скобки:

$n(0,5n - 1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных решения для $n$:

1) $n_1 = 0$

2) $0,5n - 1 = 0$

Решим второе уравнение:

$0,5n = 1$

$n_2 = \frac{1}{0,5} = 2$

Мы нашли два возможных значения для меньшего числа. Теперь найдем соответствующие им пары последовательных чисел.

Если меньшее число $n = 0$, то следующее число $n+1 = 0+1 = 1$. Таким образом, первая пара чисел — это 0 и 1.

Проверка для пары (0, 1): произведение $0 \cdot 1 = 0$. Квадрат меньшего числа $0^2 = 0$. Равенство $0 = 1,5 \cdot 0$ является верным.

Если меньшее число $n = 2$, то следующее число $n+1 = 2+1 = 3$. Таким образом, вторая пара чисел — это 2 и 3.

Проверка для пары (2, 3): произведение $2 \cdot 3 = 6$. Квадрат меньшего числа $2^2 = 4$. Равенство $6 = 1,5 \cdot 4$ является верным ($6=6$).

Следовательно, существуют две пары чисел, которые удовлетворяют условию задачи.

Ответ: 0 и 1; 2 и 3.

523. Теннисный корт представляет собой прямоугольную площадку, длина которой вдвое больше ширины, а площадь равна 800 м². Найдите длину и ширину корта.

Пусть Xм - ширина прямоугольной площадки, тогда 2Xм - длина площадки. Зная, что её площадь равна 800м², составим и решим уравнение

1) x*2x=800

x²=400

x=20 или x=-20 - не удовлетворяет условию задачи, x>0

2) 20*2=40(м) - длина

Ответ: 20м, 40м

Пусть ширина теннисного корта равна $x$ метров.

Согласно условию задачи, длина корта вдвое больше ширины. Следовательно, длина корта составляет $2x$ метров.

Площадь прямоугольника находится как произведение его длины на ширину. Формула площади $S$ выглядит так:

$S = \text{длина} \times \text{ширина}$

Подставим в формулу наши значения:

$S = 2x \cdot x = 2x^2$

По условию, площадь корта равна $800$ м?. Мы можем составить уравнение:

$2x^2 = 800$

Чтобы найти $x^2$, разделим обе части уравнения на 2:

$x^2 = \frac{800}{2}$

$x^2 = 400$

Теперь найдем $x$, извлекая квадратный корень из 400. Поскольку ширина — это физическая величина, она не может быть отрицательной, поэтому мы рассматриваем только арифметический (положительный) корень:

$x = \sqrt{400}$

$x = 20$

Таким образом, ширина корта составляет 20 метров.

Теперь найдем длину корта:

Длина = $2x = 2 \cdot 20 = 40$ метров.

Проверим наше решение: площадь равна $20 \text{ м} \times 40 \text{ м} = 800 \text{ м}^2$, что соответствует условию задачи.

Ответ: ширина корта — 20 м, а длина — 40 м.

524. Если от квадрата отрезать треугольник площадью 59 см², то площадь оставшейся части будет равна 85 см². Найдите сторону квадрата.

1) 59+85=144(см²) - S квадрата

2) Пусть x см - сторона квадрата, тогда

x²=144

x=12 или x=-12 - не удовлетворяет условию задачи x>0

Ответ: 12см

Чтобы найти сторону квадрата, необходимо сначала вычислить его полную площадь. Полная площадь квадрата равна сумме площади отрезанного от него треугольника и площади оставшейся части.

1. Находим площадь квадрата.

Пусть $S_{кв}$ — искомая площадь квадрата, $S_{тр}$ — площадь отрезанного треугольника, а $S_{ост}$ — площадь оставшейся части.

По условию задачи имеем:

$S_{тр} = 59 \text{ см}^2$

$S_{ост} = 85 \text{ см}^2$

Складываем эти площади, чтобы найти первоначальную площадь квадрата:

$S_{кв} = S_{тр} + S_{ост} = 59 \text{ см}^2 + 85 \text{ см}^2 = 144 \text{ см}^2$

2. Находим сторону квадрата.

Площадь квадрата вычисляется по формуле $S_{кв} = a^2$, где $a$ — длина его стороны. Чтобы найти сторону квадрата, нужно извлечь квадратный корень из его площади.

$a = \sqrt{S_{кв}}$

$a = \sqrt{144 \text{ см}^2}$

$a = 12 \text{ см}$

Ответ: 12 см.

525. Две группы туристов отправились одновременно из одного пункта — одна на север со скоростью 4 км/ч, а другая на запад со скоростью 5 км/ч. Через какое время расстояние между туристами окажется равным 16 км?

Пусть через tч расстояние между ними окажется равным 16км, тогда

$$\begin{gathered} {\left(5t\right)}^2+{\left(4t\right)}^2={16}^2 \\ 25t^2+16t^2=256 \\ 41t^2=256 \\ {t}^2=\frac{256}{41} \end{gathered}$$
$t=\frac{16}{\sqrt{41}} \text{или\hspace{0.17em}}t=-\frac{16}{\sqrt{41}}$ - не удовлетворяет условию задачи t>0

$t=\frac{16}{\sqrt{41}}\approx 2,5\text{ч}$

Ответ: через ≈2,5ч

Обозначим искомое время через $t$ (в часах).

Первая группа туристов движется на север со скоростью $v_1 = 4$ км/ч. За время $t$ она пройдет расстояние $S_1$, равное: $S_1 = v_1 \cdot t = 4t$ км.

Вторая группа туристов движется на запад со скоростью $v_2 = 5$ км/ч. За то же время $t$ она пройдет расстояние $S_2$, равное: $S_2 = v_2 \cdot t = 5t$ км.

Так как направления движения групп (север и запад) взаимно перпендикулярны, то их пути образуют катеты прямоугольного треугольника. Расстояние между группами в момент времени $t$ будет гипотенузой этого треугольника.

По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В нашем случае расстояние между группами $S = 16$ км. $S_1^2 + S_2^2 = S^2$

Подставим в формулу выражения для $S_1$, $S_2$ и значение $S$: $(4t)^2 + (5t)^2 = 16^2$

Решим полученное уравнение относительно $t$: $16t^2 + 25t^2 = 256$ $41t^2 = 256$ $t^2 = \frac{256}{41}$

Поскольку время не может быть отрицательным, извлекаем положительный квадратный корень: $t = \sqrt{\frac{256}{41}} = \frac{\sqrt{256}}{\sqrt{41}} = \frac{16}{\sqrt{41}}$

Таким образом, расстояние между туристами станет равным 16 км через $\frac{16}{\sqrt{41}}$ часа.

Ответ: $\frac{16}{\sqrt{41}}$ ч.

526. Путь свободно падающего тела вычисляется по формуле s =gt²2 где t (с) — время, g ≈ 10 м/с², s (м) — пройденный путь. Через сколько секунд от начала падения камень достигнет дна шахты глубиной 80 м?

$$\begin{gathered} s=\frac{q{t}^2}{2}, q\approx 10{\text{м/с}}^2 \\ q{t}^2=2s; t^2=\frac{2s}{q}\approx \frac{2·80}{10}=16 \end{gathered}$$

t=4 или t=-4 - не удовлетворяет условию задачи t>0

Ответ: через ≈4с

Для решения задачи воспользуемся формулой пути свободно падающего тела: $s = \frac{gt^2}{2}$.
В условии даны следующие значения:

• пройденный путь $s$ (глубина шахты) = 80 м;
• ускорение свободного падения $g \approx 10$ м/с$^2$.

Нам необходимо найти время падения $t$.

Подставим известные значения в формулу:
$80 = \frac{10 \cdot t^2}{2}$

Теперь решим полученное уравнение относительно $t$. Сначала упростим правую часть:
$80 = 5t^2$

Выразим $t^2$:
$t^2 = \frac{80}{5}$
$t^2 = 16$

Чтобы найти $t$, извлечем квадратный корень. Поскольку время не может быть отрицательной величиной, мы рассматриваем только положительный корень:
$t = \sqrt{16}$
$t = 4$ (с)

Следовательно, камень достигнет дна шахты через 4 секунды.
Ответ: 4 секунды.