Номер 517, страница 119 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

20. Неполные квадратные уравнения. § 7. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 517, страница 119.

517. Верно ли утверждение:

а) неполное квадратное уравнение x² – 19 = 0 не имеет корней;

б) неполное квадратное уравнение x² + 19 = 0 не имеет корней;

в) неполное квадратное уравнение x² + 19x = 0 не имеет корней?

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} x^2-19=0 \\ {x}^2=19 \\ \begin{array}{ccc}x=\sqrt{19}& \text{или}& x=-\sqrt{19}\end{array} \end{gathered}$$

Ответ: неверно

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} x^2+19=0 \\ {x}^2=-19 \end{gathered}$$

Ответ: верно

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в)}} x^2+19x=0 \\ x(x+19)=0 \\ \begin{array}{ccl}x=0& \text{или}& x+19=0\\ & & x=-19\end{array} \end{gathered}$$

Ответ: неверно

а) неполное квадратное уравнение $x^2 - 19 = 0$ не имеет корней;

Чтобы проверить данное утверждение, решим это неполное квадратное уравнение. Перенесем свободный член в правую часть уравнения:

$x^2 = 19$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения, чтобы найти значения $x$:

$x = \pm\sqrt{19}$

Уравнение имеет два действительных корня: $x_1 = \sqrt{19}$ и $x_2 = -\sqrt{19}$. Поскольку у уравнения есть корни, исходное утверждение является неверным.

Ответ: неверно.

б) неполное квадратное уравнение $x^2 + 19 = 0$ не имеет корней;

Рассмотрим уравнение $x^2 + 19 = 0$. Перенесем свободный член в правую часть:

$x^2 = -19$

Квадрат любого действительного числа $x$ является неотрицательной величиной, то есть $x^2 \ge 0$. В правой части уравнения находится отрицательное число ($-19$). Равенство $x^2 = -19$ не может быть выполнено ни при каком действительном значении $x$. Следовательно, данное уравнение не имеет действительных корней.

Утверждение является верным.

Ответ: верно.

в) неполное квадратное уравнение $x^2 + 19x = 0$ не имеет корней?

Решим уравнение $x^2 + 19x = 0$. Это неполное квадратное уравнение, для решения которого можно вынести общий множитель $x$ за скобки:

$x(x + 19) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда мы получаем два возможных случая:

$x = 0$

или

$x + 19 = 0$, что дает $x = -19$.

Уравнение имеет два действительных корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = -19$. Таким образом, утверждение о том, что у уравнения нет корней, является неверным.

Ответ: неверно.