Номер 491, страница 112 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 6. Дополнительные упражнения к главе II. Глава 2. Квадратные корни - номер 491, страница 112.

491. Докажите, что значения выражений являются натуральными числами.

$$\begin{gathered} \sqrt{7+4\sqrt{3}}+\sqrt{7-4\sqrt{3}}=\sqrt{2^2+{\left(\sqrt{3}\right)}^2+2·2·\sqrt{3}}+ \\ +\sqrt{2^2+{\left(\sqrt{3}\right)}^2-2·2·\sqrt{3}}=\sqrt{{(2+\sqrt{3})}^2}+ \\ +\sqrt{{(2-\sqrt{3})}^2}=\left|2+\sqrt{3}\right|+\left|2-\sqrt{3}\right|= \\ =2+\sqrt{3}+2-\sqrt{3}=4 \\ \sqrt{7+4\sqrt{3}}·\sqrt{7-4\sqrt{3}}=\sqrt{(7+4\sqrt{3})(7-4\sqrt{3})}= \\ =\sqrt{7^2-{\left(4\sqrt{3}\right)}^2}=\sqrt{49-16·3}=\sqrt{49-48}=\sqrt{1}=1 \end{gathered}$$

Для доказательства того, что значения данных выражений являются натуральными числами, мы упростим каждое из них.

$ \sqrt{7 + 4\sqrt{3}} + \sqrt{7 - 4\sqrt{3}} $

Сначала упростим каждое слагаемое отдельно, представив подкоренные выражения в виде полных квадратов. Формула полного квадрата суммы: $ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $.

Рассмотрим подкоренное выражение $ 7 + 4\sqrt{3} $. Попробуем представить его в виде $ (a+b)^2 $. $ 7 + 4\sqrt{3} = 7 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} $. Можно предположить, что $ a^2+b^2 = 7 $ и $ 2ab = 4\sqrt{3} $. Если взять $ a=2 $ и $ b=\sqrt{3} $, то $ a^2+b^2 = 2^2 + (\sqrt{3})^2 = 4 + 3 = 7 $. Условия выполняются. Следовательно, $ 7 + 4\sqrt{3} = (2 + \sqrt{3})^2 $. Тогда $ \sqrt{7 + 4\sqrt{3}} = \sqrt{(2 + \sqrt{3})^2} = |2 + \sqrt{3}| = 2 + \sqrt{3} $.

Аналогично для второго слагаемого, используя формулу полного квадрата разности $ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $: $ 7 - 4\sqrt{3} = 4 - 4\sqrt{3} + 3 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = (2 - \sqrt{3})^2 $. Тогда $ \sqrt{7 - 4\sqrt{3}} = \sqrt{(2 - \sqrt{3})^2} = |2 - \sqrt{3}| $. Так как $ 2 = \sqrt{4} $ и $ \sqrt{4} > \sqrt{3} $, то $ 2 - \sqrt{3} > 0 $, поэтому $ |2 - \sqrt{3}| = 2 - \sqrt{3} $.

Теперь найдем сумму полученных выражений: $ \sqrt{7 + 4\sqrt{3}} + \sqrt{7 - 4\sqrt{3}} = (2 + \sqrt{3}) + (2 - \sqrt{3}) = 2 + 2 + \sqrt{3} - \sqrt{3} = 4 $. Число 4 является натуральным числом.

Ответ: 4.

$ \sqrt{7 + 4\sqrt{3}} \cdot \sqrt{7 - 4\sqrt{3}} $

Для вычисления значения этого выражения воспользуемся свойством произведения корней $ \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} $: $ \sqrt{7 + 4\sqrt{3}} \cdot \sqrt{7 - 4\sqrt{3}} = \sqrt{(7 + 4\sqrt{3})(7 - 4\sqrt{3})} $.

Выражение под корнем является произведением суммы и разности двух чисел. Применим формулу разности квадратов $ (x+y)(x-y) = x^2 - y^2 $: $ (7 + 4\sqrt{3})(7 - 4\sqrt{3}) = 7^2 - (4\sqrt{3})^2 = 49 - (16 \cdot 3) = 49 - 48 = 1 $.

Тогда исходное выражение равно: $ \sqrt{1} = 1 $. Число 1 является натуральным числом.

Ответ: 1.