Номер 496, страница 113 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 6. Дополнительные упражнения к главе II. Глава 2. Квадратные корни - номер 496, страница 113.

496. Сократите дробь:

a) $\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a^2}\sqrt{a}+\sqrt{b^2}\sqrt{b}}=$

$$\begin{gathered} =\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a^3}+\sqrt{b^3}}=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{{\left(\sqrt{a}\right)}^3+{\left(\sqrt{b}\right)}^3}= \\ =\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(a-\sqrt{ab}+b)}=\frac{1}{a-\sqrt{ab}+b} \end{gathered}$$

б) $\frac{a-\sqrt{3a}+3}{a\sqrt{a}+3\sqrt{3}}=\frac{a-\sqrt{3a}+3}{\sqrt{a^2}\sqrt{a}+\sqrt{9}\sqrt{3}}=$

$$\begin{gathered} =\frac{a-\sqrt{3a}+3}{{\left(\sqrt{a}\right)}^3+{\left(\sqrt{3}\right)}^3}=\frac{a-\sqrt{3a}+3}{(\sqrt{a}+\sqrt{3})(a-\sqrt{3a}+3)}= \\ =\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{3}} \end{gathered}$$

а)

Чтобы сократить дробь $ \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{a\sqrt{a} + b\sqrt{b}} $, преобразуем ее знаменатель.

Заметим, что $ a = (\sqrt{a})^2 $ и $ b = (\sqrt{b})^2 $. Тогда знаменатель можно представить в следующем виде:
$ a\sqrt{a} + b\sqrt{b} = (\sqrt{a})^2 \cdot \sqrt{a} + (\sqrt{b})^2 \cdot \sqrt{b} = (\sqrt{a})^3 + (\sqrt{b})^3 $.

Полученное выражение является суммой кубов. Воспользуемся формулой разложения суммы кубов: $ x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2) $.

Применив эту формулу к нашему знаменателю, где $ x = \sqrt{a} $ и $ y = \sqrt{b} $, получим:
$ (\sqrt{a})^3 + (\sqrt{b})^3 = (\sqrt{a} + \sqrt{b})((\sqrt{a})^2 - \sqrt{a}\sqrt{b} + (\sqrt{b})^2) = (\sqrt{a} + \sqrt{b})(a - \sqrt{ab} + b) $.

Теперь подставим разложенный знаменатель обратно в исходную дробь:
$ \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{(\sqrt{a} + \sqrt{b})(a - \sqrt{ab} + b)} $.

Сократим общий множитель $ (\sqrt{a} + \sqrt{b}) $ в числителе и знаменателе:
$ \frac{1}{a - \sqrt{ab} + b} $.

Ответ: $ \frac{1}{a - \sqrt{ab} + b} $

б)

Чтобы сократить дробь $ \frac{a - \sqrt{3a} + 3}{a\sqrt{a} + 3\sqrt{3}} $, преобразуем ее знаменатель, используя тот же подход, что и в предыдущем пункте.

Представим знаменатель в виде суммы кубов.
$ a\sqrt{a} = (\sqrt{a})^2 \cdot \sqrt{a} = (\sqrt{a})^3 $.
$ 3\sqrt{3} = (\sqrt{3})^2 \cdot \sqrt{3} = (\sqrt{3})^3 $.
Следовательно, знаменатель равен: $ a\sqrt{a} + 3\sqrt{3} = (\sqrt{a})^3 + (\sqrt{3})^3 $.

Используем формулу суммы кубов $ x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2) $, где $ x = \sqrt{a} $ и $ y = \sqrt{3} $:
$ (\sqrt{a})^3 + (\sqrt{3})^3 = (\sqrt{a} + \sqrt{3})((\sqrt{a})^2 - \sqrt{a}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2) = (\sqrt{a} + \sqrt{3})(a - \sqrt{3a} + 3) $.

Подставим разложенный знаменатель в исходную дробь:
$ \frac{a - \sqrt{3a} + 3}{(\sqrt{a} + \sqrt{3})(a - \sqrt{3a} + 3)} $.

Мы видим, что числитель дроби совпадает с одним из множителей в знаменателе. Сократим этот общий множитель $ (a - \sqrt{3a} + 3) $:
$ \frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{3}} $.

Ответ: $ \frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{3}} $