Номер 495, страница 113 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 6. Дополнительные упражнения к главе II. Глава 2. Квадратные корни - номер 495, страница 113.

495. Сократите дробь:

a) $\frac{x\sqrt{x}-y\sqrt{y}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}=\frac{\sqrt{x^2}\sqrt{x}-\sqrt{y^2}\sqrt{y}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}=\frac{\sqrt{x^3}-\sqrt{y^3}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}=$

$$\begin{gathered} =\frac{{\left(\sqrt{x}\right)}^3-{\left(\sqrt{y}\right)}^3}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}=\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(x+\sqrt{xy}+y)}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}= \\ =x+\sqrt{xy}+y \end{gathered}$$

б) $\frac{2\sqrt{2}-x\sqrt{x}}{2+\sqrt{2x}+x}=\frac{\sqrt{4}\sqrt{2}-\sqrt{x^2}\sqrt{x}}{2+\sqrt{2x}+x}=\frac{\sqrt{8}-\sqrt{x^3}}{2+\sqrt{2x}+x}=$

$$\begin{gathered} =\frac{{\left(\sqrt{2}\right)}^3-{\left(\sqrt{x}\right)}^3}{2+\sqrt{2x}+x}=\frac{(\sqrt{2}-\sqrt{x})(2+\sqrt{2x}+x)}{2+\sqrt{2x}+x}= \\ =\sqrt{2}-\sqrt{x} \end{gathered}$$

а)

Чтобы сократить дробь $\frac{x\sqrt{x} - y\sqrt{y}}{\sqrt{x} - \sqrt{y}}$, преобразуем её числитель. Заметим, что $x = (\sqrt{x})^2$ и $y = (\sqrt{y})^2$. Следовательно, мы можем переписать числитель следующим образом:

$x\sqrt{x} = (\sqrt{x})^2 \cdot \sqrt{x} = (\sqrt{x})^3$

$y\sqrt{y} = (\sqrt{y})^2 \cdot \sqrt{y} = (\sqrt{y})^3$

Таким образом, числитель представляет собой разность кубов: $(\sqrt{x})^3 - (\sqrt{y})^3$.

Воспользуемся формулой разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$. В нашем случае $a = \sqrt{x}$ и $b = \sqrt{y}$.

Применяя формулу, получаем:

$(\sqrt{x})^3 - (\sqrt{y})^3 = (\sqrt{x} - \sqrt{y})((\sqrt{x})^2 + \sqrt{x}\sqrt{y} + (\sqrt{y})^2) = (\sqrt{x} - \sqrt{y})(x + \sqrt{xy} + y)$

Теперь подставим это выражение обратно в дробь:

$\frac{(\sqrt{x} - \sqrt{y})(x + \sqrt{xy} + y)}{\sqrt{x} - \sqrt{y}}$

При условии, что $x \ge 0, y \ge 0$ и $\sqrt{x} \neq \sqrt{y}$ (то есть $x \neq y$), мы можем сократить дробь на общий множитель $(\sqrt{x} - \sqrt{y})$.

После сокращения остается: $x + \sqrt{xy} + y$.

Ответ: $x + \sqrt{xy} + y$.

б)

Чтобы сократить дробь $\frac{2\sqrt{2} - x\sqrt{x}}{2 + \sqrt{2x} + x}$, также преобразуем числитель. Заметим, что:

$2\sqrt{2} = (\sqrt{2})^2 \cdot \sqrt{2} = (\sqrt{2})^3$

$x\sqrt{x} = (\sqrt{x})^2 \cdot \sqrt{x} = (\sqrt{x})^3$

Числитель является разностью кубов: $(\sqrt{2})^3 - (\sqrt{x})^3$.

Снова используем формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$, где $a = \sqrt{2}$ и $b = \sqrt{x}$.

Получаем:

$(\sqrt{2})^3 - (\sqrt{x})^3 = (\sqrt{2} - \sqrt{x})((\sqrt{2})^2 + \sqrt{2}\sqrt{x} + (\sqrt{x})^2) = (\sqrt{2} - \sqrt{x})(2 + \sqrt{2x} + x)$

Теперь подставим разложенный числитель в исходную дробь:

$\frac{(\sqrt{2} - \sqrt{x})(2 + \sqrt{2x} + x)}{2 + \sqrt{2x} + x}$

Знаменатель $2 + \sqrt{2x} + x$ совпадает с одним из множителей в числителе. При области допустимых значений $x \ge 0$, знаменатель всегда больше нуля, поэтому мы можем сократить дробь на выражение $(2 + \sqrt{2x} + x)$.

В результате сокращения получаем: $\sqrt{2} - \sqrt{x}$.

Ответ: $\sqrt{2} - \sqrt{x}$.